高等代數(shù)第5章習(xí)題解

1、第五章習(xí)題解答習(xí)題5.11、用消元法解下列線性方程組:(1)(2)(3) (4) 解：（1）原方程組無(wú)解。（2）所以 （3）即 所以原方程組的通解為：（4）所以有即方程組的通解為2、當(dāng)a、b取何值時(shí),下列線性方程組有解,并求其解。(1) (2) 解（1）所以當(dāng)時(shí)方程組有無(wú)窮多解。此時(shí)方程組的通解為（2）對(duì)增廣矩陣施行行變換：所以當(dāng)時(shí)，方程組有解。此時(shí)通解為3、當(dāng)取何值時(shí)，下列線性方程組有解、有無(wú)窮多解、無(wú)解？（1） （2）解：（1）所以當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)方程組有無(wú)窮多解；當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解。（2），當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，上面的矩陣?yán)^續(xù)變換成：，此時(shí)時(shí)方程組無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。

2、綜上所述，當(dāng)或時(shí)方程組無(wú)解；當(dāng)且時(shí)方程組有唯一解。4、當(dāng)取何值時(shí)，下列齊次線性方程組有非零解？（1） （2）解：（1）所以當(dāng)或時(shí)，方程組有非零解。（2）所以當(dāng)或時(shí)，方程組有非零解。習(xí)題5.21、求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并寫(xiě)出全部解（1） （2）解：（1）分別取和，得基礎(chǔ)解系為全部解為（2）分別取和，得基礎(chǔ)解系為全部解為2、判斷下列線性方程組是否有解：如有解，求出它的全部解（1） （2）解：（1）所以方程組的全部解為 （2）原方程組可以寫(xiě)成所以方程組的全部解為 3、試證明：如果是方程組的解，那么也是該方程組的解，其中滿足證明：記則方程組用矩陣形式表示為，依題意有那么 所以，也是該方程

3、組的解4、如果是某個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，試問(wèn)：是否也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系？解：答案是肯定的，事實(shí)上是某個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則線性無(wú)關(guān)，此時(shí)也線性無(wú)關(guān)，并且設(shè)是的任意解，而即的任意解都可以由線性表示，所以也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。5、證明齊次線性方程組的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解都是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，這里r是系數(shù)矩陣a的秩。證明：設(shè)是所給方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，是它的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則可以由線性表出，由§4.3的習(xí)題5知這兩個(gè)向量組等價(jià)，從而也是方程組的基礎(chǔ)解系。6、證明線性方程組有唯一解的充分必要條件是它的導(dǎo)出組只有零解。注：這是一個(gè)錯(cuò)題，充分性不成立。證明：由于所給方程組只有唯一解，所以它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都必然為n，此時(shí)應(yīng)有。那么對(duì)應(yīng)的齊次方程組中，必然有個(gè)方程是由其余方程通過(guò)初等變換得到的，去掉這個(gè)方程后，剩余的n元n個(gè)齊次方程構(gòu)成的方程組的系數(shù)行列式不