2020版第3章第5節(jié)三角恒等變換

1、第五節(jié)三角恒等變換考綱傳真1會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式 2會用兩角差的 余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式.3. 會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角 的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4. 能運用上述公式進行簡單的三角恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、 半角公式，但不要求記憶）.1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)si n( a±3 = sin_ acos_ 3±pos_ asin_ 3;(2)cos(a±® = cos_acos_3?sin_ fi(sin_ 3(3)ta n(a±

2、;3 =tan a±a n1?tan aan2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2a= 2si n acos a;2. 22 2(2)cos 2a= cos a sin a= 2cos a 1 = 1 一 2sin a tan 2 a=2tan a1 一 tan2 a常用結(jié)論1. 公式t（日的變形:(1) ta n a+ tantan(a+ ®(1 tan aan ®；(2) ta n a tantan (a ®(1 + tan aan2. 公式c2a的變形：2 1(1) sin a2(1 cos 2o)；2 1(2) cos a= 2(1

3、 + cos 2o).3. 公式逆用：衛(wèi)丄n(2)sin 3±an?(1)sin 4±a = cos 4?a ;(3)sin 6±a = cos4. 輔助角公式：22卜i f tbasin a+ bcos a= ' a + b sin( a+ 枷其中 tan r；), wa特別的sin odcos a . 2sin ；sin a± 3cos a 2sin a±3 ；aicos a= 2sin基礎自測1. （思考辨析）判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“v”，錯誤的打“x”）（1）存在實數(shù) a, b,使等式sin（a+ 3= sin a+ s

4、in b成立.（）在銳角厶abc中，sin as in b和cos acos b的大小關系不確定.（）,tan a+ tan(3) 公式 tan( a+ ® = 1以變形為 tan a+ tan a tan(a+ 3(1 tanatan ®,且對任意角a, 3都成立. ()函數(shù)y = 3sin x+ 4cos x的最大值為7.()答案v (2)x (3)x x2. (教材改編)sin 20 cos 10 cos 160sin 10 =()a. -2b#c. 1d.1d sin 20°cos 10° cos 160°sin 10° =

5、sin 20°cos 10° + cos 20°sin 10° =1sin(20 +10°) = sin 30 =2,故選 d.3.（教材改編）已知3cos a= 5,a是第二象限角，則ncos 4 +a的值為（）a並a.10210d -需a 由 cosa=35,a是第二象限角知sin4a= 5,i -尹=半.故選a.725丄.3由 sin( a n = 5,3得 sin a= 5,則cos 2a= 1 2sin2 a= 1 2x2=25.5.（教材改編）11 tan 1511 + tan 15nn. n .' 2、,則 cos4+a=

6、 cos4cos a- sin4sinx34 .已知 sin( a n = 5，貝u cos 2a=,3 111+ tan 15 - 1 tan 15 ° 2tan 15 ° = =31 tan 15 ° 1 + tan 15 °1 tan 15 °1 + tan 15 °1 tan215°30三角函數(shù)式的化簡1 .已知sinna= cos6+a，貝u tan a=(b. 0c.17ta 因為 sin 6 an=cos 6+oc ,所以 1cos a-sina 2 cos1 .a qsincl所以cos a=3 1 sin

7、a所以tansin aa= =cos a-1,故選a.sin 110 sin 202.計算 8白55° sin21551b.1sin70 in 20cos 310 °c.hsin 110 sin 20 °cos 155° sin2155 cos 20 s° 20cos 501sin 40°_ sin 40 _ 2.3.已知茨n0, 4，且 sin 0 cos缸一，則 2cos：0- 1 _（）cos 4+ 02a.34b.43c.33d.3d 由 sin0- cos 0嚴得sinn4彳,0,因為所以nov 4所以ncos40= 4.2

8、cos 0- 1cos 20ncos 4+ 0nsin 4 0.7tsin 2 2 0 sin 2 4 0nsin 4 0sinn40n=2cos4 034.已知ov0<n 則91 + sin 0+ cos 0 sinq cos 2+2cos 0cos 0原式=20 0 _2sincos+ 2cos ? sin? co%4cos200co*2020sin 2 cos 20cos0cos cos 00 . cos因為0v (x n所以0v2<2，所以cos 2>0.所以原式=cos 6規(guī)律方法1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則2.三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異

9、角化同角，降幕或升幕.在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中 含有三角函數(shù)式時，一般需要升次.三角函數(shù)式的求值?考法1給值求值1【例1】(1)(2018全國卷川)若sin a3,則cos 2尸()8 一 9-d.7- 9-cc7- 9b8_ 9n 1n(2)(2019太原模擬)已知角a是銳角，若sin a 6二3,則cos a 3等于()26+ 1 a. 6若a, b是銳角，且.11沖sin a sin b= 2, cos a cos b空，貝u tan(a ® =b (2)a(3) 37212(1)cos 2 a= 1 2sin2 a= 1 2x 32=

10、£.故選b.由ov av得一nv得6vn na 6v 3又sinna 6cosna 61 sin2cosna 3=cosna 6n n . n . n a 6 cos6 + sin a 6 sing+ 1x32 十 322 6+ 16 ，故選a.因為sin a sin12,1、十cos a cos2,兩式平方相加得：2 2cos acos1b 2s in ain2,即 2 2cos(a® = 2,3所以 cos(a b = 4,因為a b是銳角，且sin a sin 匸一0,nn所以 0 v av 3v 2*所以2v a_ bv 0.所以 sin(a b = ' 1

11、 cos2sin a b所以 tan( a b =cos a b?考法2給角求值【例 2 (1)tan 20 + tan 40 + j3tan 20 tan 40 =(2)sin 50 (1+ 也tan 10) =-tan 20 tan 40 廠 3 (2)1(1)由 tan(20 °4°)= 1tan 20tan4。= 3得tan 20 + tan 40 = 3(1 tan 20 tan 40 )°原式= 3(1 -tan 20 tan 40)°+ , 3tan 20 tan 40 = 3.(2)sin 50 (1+ .3tan 10)°=s

12、in 50“ 匚 sin 101+3 cos 10=sin 50cos 10 +p3si n 10 乂 cos 10=sin 502 cos 10 in 10 乂 一cos 102sin 50 cos 50= cos 10o10 = cos 10 =1.sin 100 cos 10 =cos?考法3給值求角例 3】(1)若 sin 2a=./z0 口n3 nsin( b- a) = 10，且 a 4,冗，b n 2，則a+b的值是（）7nat9 nb.9tc57n45 n、9 n或匸已知 a, b (0，n，且 tan(a1 13 = 2，tan a 7,則 2 a- b的值為3 nna 4(

13、1) v a 4,又 sin 2a=¥> 0，二 2a cos 2oc= 曽且 a n3n又氏 n , 3 an2,5n 4 .v sin(3-悴需 > 0,310 cos(3 a) = 且n3 a 2，n ,%/5-cos( a+ 3 = cos2 a+ ( p a) = cos 2 acos(p a) sin 2 ain( p a) = 53 1010510 2n2, n , p an2，兀，a+ 二 5> 0,又因為tan 2a=2ta n a2 1 tan a 1 二 3> 0,n所以 ov2av,7 n r. - a+ 3= ，故選 a.因為 tan

14、 a= tan( atan a 3 + tan 3tan 2 a tan3 =31所以 tan(2 a=4+71 + tan 2ota n 3 13x ta n a 3ta n 31 1 7=1 11+1x1所以ov a1 4x 7因為 tan a 1 v0,n所以 2< 3v n nv 2 a 3v 0,所以 2 a "4.規(guī)律方法三角函數(shù)求值的三種情況1 “給角求值”中一般所給出的角都是非特殊角，應仔細觀察非特殊角與 特殊角之間的關系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求 解.2 “給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函 數(shù)值，解題關鍵

15、在于“變角”，使其角相同或具有某種關系.3 “給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再 求角的范圍，最后確定角.，一n n_右 0 v av 2， 2 v 0,n1cos 4+ a = 3,cos：- 2 =¥，貝 u cos a+ =()a 5/3a. 91 cos210(2)cos 80 0 1 cos 20v5w0a b均為銳角，則（2019長春模擬）已知sin尸石，sin（a 3二0，22(3):由ov av，口 n n 3 n 得4v4 + avr ,n又 cos 4+ an sin4+2：23，n n4、4n又 cos 4 2衛(wèi)-cos a+ 2 =

16、cossinn-p=3v+nn n由2< pv0得4v-p n v_ 2v2.sinn4_ncos 4+ an pcos 4 2 +. nsin 4+ a5,39'2= o原式=cos 8加2si10sin210,2sin210°(3) ta, b均為銳角，nn2< a pv 2.cvio c 3煩又 si n( a - p = 一 io , cos(a 一 p = 10 .f . 垂.25又 sin a= 5 , - - cos a= 5 , sin b= sin a (a=sin acos( a p cos o(sin( a p=逅3伍沁 血=亞 =5 % 1

17、0 一 5 % - 70 = 2 .二角恒等變換的綜合應用n【例4】(2019合肥模擬)已知函數(shù)f(x) = sin2x sin2 x6 , x r.(1)求f(x)的最小正周期;n n求f(x)在區(qū)間一3, 4上的最大值和最小值解(1)由已知得n1 cos 2xf(x) = 21 cos 2x 3 21 131 r=2 qcos 2x+ ysin 2x qcos 2x311c n= tsin 2x4cos “ 2sin 2x6.2 n所以f(x)的最小正周期t = 22 = n.1小 n由知 f(x) = 2sin 2x 6 .n n 一 w x w 一3 x 4,-警2x詐n3,二當2x詐

18、一£即x= 6時，f(x)有最小值，口 n 1 且 f - 6 =- 2，當2x 才二扌，即x= 4時，f(x)有最大值，且f n-亞所以f(x)在區(qū)間一扌，扌上的最大值為 甲，最小值為一2.規(guī)律方法三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應用解決此類問題可先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=asin 3汁©+1或余弦型函數(shù)y= acos 3汁©+1的形式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解(2019溫州模擬)已知函數(shù)f(x) = 3s in xcos x+ cosx.(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期；n5(2) 若一 2< av0, f( c)

19、 = 6，求 sin 2a的值.解(1) i 函數(shù) f(x)= 3sin xcos x+ cos2x31 + cos 2x=-s in 2x+2. n 1sin 2x+ g + 2,2 n函數(shù)f(x )的最小正周期為三 n.(2)若-扌< av0,冗廠 5 n n則 +-石，6，n 15 f(a sin 2a+ 6 + 2 g,.n-sin2a+ 613, i 2 a+ 6 0,n-cos2a+ 62 n2f21 sin 2 a+ § = 3，n n sin 2汗 sin2好 6 =sin2na 6 cos6cos2a+ 6sin 詐1 x"23-弩13 2 2di/

20、f(x) = jsin x+ nn+ cos x 6x 1=cos x+ 1sin x1 1_3_3=5 2sin x+ -cos x + 2 '丄. _j仝 1 .=1°s in x+ 1°cos x+ -cos x+ qsin x3 3 3 6 n=5sin x+ 5 cos x= 5sin x+ 3 ,n6當x= 6+ 2knk z)時，f(x)取得最大值5.故選a.法二：.n nn x+ 3 + 6 x = 2,nx 61n二f(x)= gsin x+3 + cos=5sinnx+3n+ cos 6 xnx+ 3n+ sin x+ 36=5sinnx+36 f(x)max = 5 故選 a.2. (2016全國卷n )若 cos 4b.1a.25725d 因