1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題及答案文

1、1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文史類)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分第卷1至2頁(yè)第卷3至8頁(yè)共150分考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題共60分)一選擇題：本大題共14小題；第(1)(10)題每小題4分，第(11)(14)題每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1) 如圖，是全集，m、p、s是的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是( )(a) (mp)s(b) (mp)s(c) (mp)(d) (mp)(2) 已知映射f：ab，其中，集合a=3，2，1，1，2，3，4，集合b中的元素都是a中元素在映射f下的象，且對(duì)任意的aa，在b中和

2、它對(duì)應(yīng)的元素是|a|，則集合b中元素的個(gè)數(shù)是( )(a) 4(b) 5(c) 6(d) 7(3) 若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=g(x)，f(a)=b，ab0，則g(b)等于( )(a) a(b) a1(c) b(d) b1(4) 函數(shù)f(x)=msin(x+)(>0)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，且f(a)=m，f(b)=m，則函數(shù)g(x)=mcos(x+)在a，b上( )(a) 是增函數(shù)(b) 是減函數(shù)(c) 可以取得最大值m(d) 可以取得最小值m(5) 若f(x)sinx是周期為的奇函數(shù)，則f(x)可以是( )(a) sinx(b) cosx(c) sin2x(d) cos2x(6)

3、 曲線x2+y2+xy=0關(guān)于( )(a) 直線x=軸對(duì)稱(b) 直線y=x軸對(duì)稱(c) 點(diǎn)(2，)中心對(duì)稱(d) 點(diǎn)(，0)中心對(duì)稱(7) 若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是( )(a) 6cm(b) 6cm(c) 2cm(d) 3cm(8) 若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3，則(a0+a2)2(a1+a3)2的值為( )(a) 1(b) 1(c) 0(d) 2(9) 直線x+y2=0截圓x2+y2=4得的劣弧所對(duì)的圓心角為( )(a) (b) (c) (d) (10) 如圖，在

4、多面體abcdef中，已知面abcd是邊長(zhǎng)為3的正方形，efab，ef=，ef與面ac的距離為2，則該多面體的體積為( )(a) (b) 5(c) 6(d) (11) 若sina>tga>ctga(<a<)，則a( )(a) (，)(b) (，0)(c) (0，)(d) (，)(12) 如果圓臺(tái)的上底面半徑為5，下底面半徑為r，中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積的比為1：2，那么r=( )(a) 10(b) 15(c) 20(d) 25(13) 給出下列曲線：4x+2y1=0 x2+y2=3 其中與直線r=2x3有交點(diǎn)的所有曲線是( )(a) (b) (c)

5、(d) (14) 某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤. 根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒,則不同的選購(gòu)方式共有( )(a) 5種(b) 6種(c) 7種(d) 8種第卷(非選擇題共90分)二填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線(15)設(shè)橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為f1，右準(zhǔn)線為l1若過(guò)f1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)f1到l1的距離，則橢圓的離心率是_(16)在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植a、b兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)要求a、b兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟

6、方法共有_種(用數(shù)字作答) (17)若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是_(18) 、是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：mn n m以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確一個(gè)命題：_三解答題：本大題共6小題；共74分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟(19)(本小題滿分10分)解方程31gx+4=0(20)(本小題滿分12分)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為sn，已知an=5sn3(nn)求(a1+a3+a2n1)的值(21)(本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)z=3cos+isin求函數(shù)y=tg(argz)(0<<)的最大值以

7、及對(duì)應(yīng)的值(22)(本小題滿分12分)如圖，已知正四棱柱abcda1b1c1d1，點(diǎn)e在棱d1d上，截面eacd1b，且面eac與底面abcd所成的角為45º，ab=a()求截面eac的面積；()求異面直線a1b1與ac之間的距離；()求三棱錐b1eac的體積(23)(本小題滿分14分)下圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出()輸入帶鋼的厚度為a，輸出帶鋼的厚度為，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)r0，問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥？輸入該對(duì)的帶鋼厚度從該對(duì)輸出的帶鋼厚度輸入該對(duì)的帶鋼厚度(一對(duì)軋輥減薄率= )()已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄

8、率為20%的軋輥，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600mm，若第k對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)的間距為lk，為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算l1、l2、l3并填入下表(軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗)軋輥序號(hào)k1234疵點(diǎn)間距l(xiāng)k(單位：mm)1600(24)(本小題滿分14分)如圖，給出定點(diǎn)a(a，0) (a>0，a1)和直線l：x=1，b是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，boa的角平分線交ab于點(diǎn)c，求點(diǎn)c的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系1999年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(文史類)參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力

9、，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則二對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四只給整數(shù)分?jǐn)?shù)選擇題和填空題不給中間分一選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算第(1)(10)題每小題4分，第(11)(14)題每小題5分滿分60分(1) c (2) a (3) a (4) c (5) b (6) b (7) b

10、 (8) a (9) c (10) d (11) b (12) d (13) d (14) c二填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題4分，滿分16分(15) (16) 12 (17) (18) m，n，mn或mn，m，n三解答題(19) 本小題主要考查對(duì)數(shù)方程、無(wú)理方程的解法和運(yùn)算能力滿分10分解：設(shè)，原方程化為 yy2+2=0 4分解得 y=1，y=2 6分因?yàn)?，所以將y=1舍去由=2，得lgx=2，所以x=100 9分經(jīng)檢驗(yàn)，x=100為原方程的解 10分(20) 本小題主要考查等比數(shù)列和數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)滿分12分解：由 sn=a1+a2+an知an=snsn1(n2)，a1=s1

11、， 2分由已知an=5sn3得 an1=5sn13 4分于是 anan1=5(snsn1)=5an，所以 an=an1 6分由 a1=5s13，得 a1=所以，數(shù)列an是首項(xiàng)a1=，公比q=的等比數(shù)列 8分由此知數(shù)列 a1，a3，a5，a2n1，是首項(xiàng)為a1=，公比為的等比數(shù)列 ( a1+a3+a5+a2n1)= 12分(21) 本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、三角公式和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力滿分12分解：由得由z=3cos+isin得tg(argz)= 3分故 y=tg(argz) 6分 ， 9分當(dāng)且僅當(dāng)=tg()時(shí)，即tg=時(shí)，上式取等號(hào)所以當(dāng)=時(shí)，函數(shù)y取

12、得最大值 12分(22) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力滿分12分() 解：如圖，連結(jié)db交ac于o，連結(jié)eo 底面abcd是正方形， doac又 ed底面ac， eoac eod是面eac與底面ac所成二面角的平面角， 2分 eod=45ºdo=a，ac=a，eo=a·sec45º=a故 seac=a 2 4分() 解：由題設(shè)abcda1b1c1d1是正四棱柱，得a1a底面ac，a1aac又 a1aa1b1， a1a是異面直線a1b1與ac間的公垂線 6分 d1b面eac，且面d1bd與面eac交線為eo，

13、d1beo又o是db的中點(diǎn)， e是d1d的中點(diǎn)，d1b=2eo=2a d1d=a異面直線a1b1與ac間的距離為a 8分() 解法一：如圖，連結(jié)d1b1 d1d=db=a， bdd1b1是正方形連結(jié)b1d交d1b于p，交eo于q b1dd1b，eod1b， b1deo又 aceo，aced ac面bdd1b1， b1dac， b1d面eac b1q是三棱錐b1eac的高 10分由dq=pq，得b1q=b1d=a 所以三棱錐b1eac的體積是 12分解法二：連結(jié)b1o，則=2 10分 ao面bdd1b1， ao是三棱錐aeob1的高，ao=a在正方形bdd1b1中，e、o分別是d1d、db的中點(diǎn)

14、(如右圖)，則 所以三棱錐b1eac的體積是 12分(23) 本小題主要考查等比數(shù)列、對(duì)數(shù)計(jì)算等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力滿分14分() 解：厚度為的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為r0的n對(duì)軋輥后厚度為(1r0)n為使輸出帶鋼的厚度不超過(guò)，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)(以對(duì)為單位)應(yīng)滿足(1r0)n，即 (1r0)n 4分由于(1r0)n>0，>0，對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)，得nlg(1r0)lg由于lg(1r0)<0，所以n因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對(duì)軋輥 7分()解法一：第k對(duì)軋輥出口外疵點(diǎn)間距離為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為1600·(1r)k&#

15、183;寬度 (其中r=20%)，而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為lk·(1r)4·寬度因?qū)挾认嗟龋覠o(wú)損耗，由體積相等得1600·(1r)k=lk·(1r)4 (r=20%)，即 lk=1600·0.8k4 10分由此得l3=2000(mm)，l2=2500(mm)，l1=3125(mm)填表如下軋輥序號(hào)k1234疵點(diǎn)間距l(xiāng)k(mm)3125250020001600解法二：第3對(duì)軋輥出口疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔儯?600=l3·(10.2)，所以 l3=20

16、00(mm) 10分同理 l2=2500(mm)l1=3125(mm)填表如下軋輥序號(hào)k1234疵點(diǎn)間距l(xiāng)k(mm)3125250020001600 14分(24) 本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力滿分14分解法一：依題意，記b(1，b) (br)，則直線oa和ob的方程分別為y=0和y=bx設(shè)點(diǎn)c(x，y)，則有0x<a，由oc平分aob，知點(diǎn)c到oa、ob距離相等根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得 4分依題設(shè)，點(diǎn)c在直線ab上，故有 6分由 xa0，得 將式代入代得，整理得y2(1a)x22ax+(1+a)y2=0 9分若y0，則(1a)x22ax+(1+a)y2=0 (0<x<a)；若y=0，則b=0，aob=，點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式綜上得點(diǎn)c的軌跡方程為 (1a)x22ax+(1+a)y2=0 (0x<a) 10分 a1， (0x<a) 12分由此知，當(dāng)0<a<1時(shí)，方程表示橢圓弧段；當(dāng)a>