平面幾何中的幾個重要定理

1、平面幾何中的幾個重要定理一 塞瓦定理塞瓦（g。ceva 16471743），意大利著名數(shù)學家。塞瓦定理 設為三邊所在直線外一點，連接分別和的邊或三邊的延長線交于（如圖1），則與塞瓦定理同樣重要的還有下面的定理。塞瓦定理逆定理 設為的邊或三邊的延長線上的三點（都在三邊上或只有其中之一在邊上），如果有 ，則三直線交于一點或互相平行。 e例1 如圖3，是內(nèi)一點，分別與邊交于，過三點作圓，與三邊交于。求證：交于一點。例2 設分別為三邊的中點，為內(nèi)一點，分別交于（如圖4）。求證：三線共點。例3 以各邊為底邊向外作相似的等腰三角形（如圖5）。求證相交于一點。二 梅涅勞斯定理menelaus（公元98年左右

2、），希臘數(shù)學家、天文學家，梅涅勞斯定理包含在其幾何著作球論里。梅涅勞斯定理 設的三邊或它們的延長線與一條不經(jīng)過其頂點的直線交于三點（如圖6），則 。梅涅勞斯定理逆定理 設分別是的三邊上或它們延長線上三點，若有 ，則三點在同一直線上。例4設的a的外角平分線與bc的延長線交于p,b的平分線與ac交于q,c的平分線和ab交于r.求證： 三點在同一直線上。例5 圖8，過abc的三個頂點a、b、c作它的外接圓的切線，分別和bc、ca、ab的延長線交于p、q、r，求證：p、q、r三點共線。注： 直線pqr叫做abc的萊莫恩（lemoine）線例6（戴沙格定理）設abc和對應點的連線、交于一點，這時如果對應

3、邊和、和、和（或它們的延長線）相交，則它們的交點d、e、f在同一直線上。注：戴沙格定理是射影幾何中的重要定理。例7（牛頓定理）設四邊形的一組對邊和的延長線交于點，另一組對邊 和的延長線交于點，則的中點、的中點及的中點，三點共線。三斯特瓦爾特定理stewart （17531828），英國數(shù)學家、哲學家。斯特瓦爾特定理 如圖，設p是的邊上一點，且=，則有 斯特瓦爾特定理另外形式： 或 當時，p為bc的中點，有 （巴布斯定理） （中線定理）當ap是abca的平分線是，有 。 例8在abc中設ab=c，ac=b，c>b，ad是a的平分線，e為bc上一點，且be=cd。求證：。例9設為abc的重心

4、，m是平面上任意一點，求證： 練習1abc的邊bc上任意一點d，設adb和adc的角平分線分別交ab、ac于f和e，求證：ad、be、cf交于一點。2已知ad是abc的邊bc上的高，p為ad上任意一點，直線bp、cp分別交ac、ab于e、f，求證：fda=ade。3abc中，內(nèi)切圓o與各邊bc、ca、ab相切于d、e、f，求證：ad、be、cf交于一點。4在abc中，am為bc邊上的中線，ad為a的平分線，頂點b在ad上的射影為e，be交am于n，求證：dnab。5設abc的三個旁切圓在bc、ca、ab上的切點分別為d、e、f，則ad、be、cf交于一點。6設平行四邊形abcd內(nèi)一點e，過e引

5、ab的平行線與ad、bc交于k、g，過e引ad的平行線與ab，cd交于f、h，則fk、bd、gh互相平行或交于一點。7一條直線與三角形三邊或其延長線交于l、m、n，若點與l、m、n關于三邊的中點對稱，求證三點共線。8設四邊形abcd外切于o，切點分別為，則相交于一點（或相交于一點）9設d、e為的邊上兩點，且，則10設正三角形abc邊長為a，p為平面上任意一點，證明：。三托勒密定理 ptolemy（約公元85165年），希臘大數(shù)學家，他的主要著作天文集被后人稱作“偉大的數(shù)學書”。托勒密定理 設四邊形abcd內(nèi)接于圓，則有 。例1 如圖，設為平行四邊形的邊上的兩點，的外接圓交對角線于。求證：。例2

6、設為圓內(nèi)接正方形，為弧上一點，求證：例3。如圖，已知圓內(nèi)接正五邊形，若為弧上一點，則 例4設為同心圓，的半徑是的半徑的2倍，四邊形內(nèi)接于圓，分別延長交圓于，求證：四邊形的周長不小于四邊形的周長的2倍。三 西姆松定理rsimson（18671768），英國數(shù)學家，曾于1756年校訂了歐幾里德的幾何原本。 西姆松定理 從的外接圓上任意一點向或它們的延長線引垂線，垂足分別為，則三點共線。過點的直線叫做關于點的西姆松線西姆松定理的逆定理也成立，即：從的三邊或它們的延長線引垂線，垂足分別為在同一直線上，則點在的外接圓上。西姆松定理還可以推廣為：（卡諾定理）過的外接圓上一點，引與三邊分別成同向的等角直線，

7、與三邊交點分別為，則三點共線。 例5設的三條高為，過作的垂線，垂足分別為，則在同一直線上。例6（史坦納定理）設垂心為，其外接圓上任意一點，則關于點的西姆松線過線段的中點。例7如圖，設為外接圓上的兩點，若關于的西姆松線和交于，則四 歐拉定理leuler（17071783），瑞士大數(shù)學家，在數(shù)學的多個領域都作出過重大貢獻。歐拉定理 設的外心、重心、垂心分別為，則三點共線，且。 我們稱的連線為歐拉線。例8如圖，設為三邊的中點，求證：的外心在的歐拉線上。例9三角形三邊中點、三垂線足、三頂點、和垂心所連線的中點，此九點在同一圓周上，此圓稱為九點圓，或歐拉圓。九點圓的圓心在三角形的歐拉線上，即三角形的外心、重心和九點圓的圓心在同一直線上。例10設為o的內(nèi)接四邊形，依次為、的垂心。求證：四點在同一圓上，并定出該圓圓心的位置。毆拉公式 設三角形的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為和，則兩圓的圓心距練習1若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，則兩對邊乘積的和等于四邊形的面積的兩倍。2已知為上兩點，為弧的中點，為圓上任意一點，求證：或為定值。3設圓內(nèi)接四邊形的四邊，兩對角線。求證：4設為的一條弦，為弧的中點，過作弦和分別交于，求證：。5利用西姆松定理證明托勒密定理。6為等邊的外接圓上的弧上任意一點，點的西姆松線為（在上，在上），與交于。求證：。7圓內(nèi)接四