中國科學技術大學高等固體物理2

1、第二章第二章 無序無序2.1 2.1 無序系統(tǒng)無序系統(tǒng) 2.2 2.2 無序系統(tǒng)的電子態(tài)無序系統(tǒng)的電子態(tài)2.3 2.3 無序系統(tǒng)的直流電導無序系統(tǒng)的直流電導2.4 2.4 無序系統(tǒng)的光學性質(zhì)無序系統(tǒng)的光學性質(zhì)2.5 2.5 無序系統(tǒng)的應用無序系統(tǒng)的應用2.1 2.1 無序系統(tǒng)無序系統(tǒng)1.無序無序 體系的性質(zhì)不再能以長程有序的理想晶體作為零級體系的性質(zhì)不再能以長程有序的理想晶體作為零級近似，無序作為微擾來解釋的情形。近似，無序作為微擾來解釋的情形。 2.2.無序的類型無序的類型 （1)1)成分無序成分無序 （2)2)位置無序位置無序 （3)3)拓撲無序拓撲無序(a)(a)晶態(tài)晶態(tài)(b)(b)成分

2、無序成分無序 位置無序位置無序(d)(d)拓撲無序拓撲無序3.3.無序的形成無序的形成T TTgTgTfTfTbTb晶體晶體玻璃玻璃玻璃化轉變玻璃化轉變氣體氣體液體液體V V10101212a a10103 3s s1010-12-12s s原子（或分子）的馳豫時間原子（或分子）的馳豫時間：體系中原子（分子）進行結構構造重體系中原子（分子）進行結構構造重新排列的時間新排列的時間. .系統(tǒng)從系統(tǒng)從TfTfTgTg所需時間所需時間tt 峰展寬峰展寬任何非晶結構模型，首先要符合任何非晶結構模型，首先要符合RDFRDFRDFRDF可以從衍射實驗結果通過富氏變換可以從衍射實驗結果通過富氏變換而得到而得到

3、單色單色X X射線、電子束、中子束射線、電子束、中子束原原子子密密度度樣樣品品中中單單位位體體積積的的平平均均度度分分布布性性散散射射粒粒子子按按動動量量的的強強散散射射相相干干函函數(shù)數(shù)，反反映映彈彈波波長長入入射射粒粒子子波波長長，入入射射光光 0002)sin(1)(24)(:)(sin42sin22,; dkkrkikrrrJkikdkndmEhEEhcE以以X X射線衍射為例，說明射線衍射為例，說明RDFRDF的實驗測量公式的實驗測量公式非晶整體非晶整體一個單胞一個單胞 結構因子：結構因子： iijiiijrk ijiirrk ijiiirk ijjrk iiiifirk iirkki

4、iijjijiiifefffefffefefkFkFkFIfkkkefefkF)()(*2)(*2*20)()()()(:,)(0衍射強度：衍射強度：為原子的散射因子為原子的散射因子德德拜拜方方程程原原子子間間相相對對取取向向任任意意ijijiiijjiiijijijikrijrkijiijkrkrfffkIkrkrddrererrrijij)sin()()sin(sin41:)(*20202cos2 的的貢貢獻獻離離平平均均密密度度對對衍衍射射強強度度第第二二項項表表示示原原子子分分布布偏偏種種原原子子的的平平均均密密度度：表表示示第第對對原原子子種種類類求求和和。如如令令種種原原子子的的密

5、密度度處處第第個個原原子子距距離離為為它它表表示示距距第第數(shù)數(shù)并并引引入入相相對對原原子子密密度度函函求求和和用用積積分分表表示示對對 immmiiimimmmiimiiimmmiiimdrkrkrrffdrkrkrrrfffkImmdrkrkrrrfffkImrirj02*02*202*2sin4sin)(4)(sin)(4)()(, 21)(4:)(sin)1)(24)(4212)(sin)(41)()(sin)(4)()(1203)3(sin4sin)(4)(20022000200222000002200222rrikxdrrrrNkrdkkikrrrrdkexdrkkrrrfkIkid

6、rkrkrrrffNkIkIdrkrkrrNfdrkrkrrrNfNfkIN 配配位位數(shù)數(shù)定定義義相相干干函函數(shù)數(shù)：內(nèi)內(nèi)可可不不計計：時時才才有有強強度度，在在第第三三項項只只在在小小角角度度范范圍圍個個單單一一原原子子組組成成況況：只只考考慮慮單單元元系系非非晶晶體體情情AsAs2 2S S3 3 玻璃：短程序玻璃：短程序N(As)=3, N(S)=2-XN(As)=3, N(S)=2-X衍射衍射RDF-N=2.4 RDF-N=2.4 加權平均加權平均擴展擴展X X射線吸收精細結構譜射線吸收精細結構譜 (EXAFS)(EXAFS)X X射線吸收：各種元素的吸收系數(shù)隨射線吸收：各種元素的吸收系

7、數(shù)隨X X射線波長射線波長( (能量能量) )的變化的變化公式公式VictoreenEbEaDC4343 III E E增加，吸收系數(shù)減少。每種元素在某些特定能量處出現(xiàn)增加，吸收系數(shù)減少。每種元素在某些特定能量處出現(xiàn)吸收系數(shù)突變吸收系數(shù)突變 吸收邊吸收邊EXAFSEXAFS是指在吸收邊高能側一定的能量間隔內(nèi)，出現(xiàn)吸收系數(shù)隨是指在吸收邊高能側一定的能量間隔內(nèi)，出現(xiàn)吸收系數(shù)隨X X射線能量增大而振蕩變化的現(xiàn)象。振蕩可延伸到高于吸收邊射線能量增大而振蕩變化的現(xiàn)象。振蕩可延伸到高于吸收邊103 eV103 eV處處包含結構信息包含結構信息 (1929(1929發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)，7070年代建立和完善）年代建

8、立和完善）E E吸收邊吸收邊精細結構精細結構 h h凝聚態(tài)物質(zhì)：由于吸收原子周圍存在其他原子，它所射出的凝聚態(tài)物質(zhì)：由于吸收原子周圍存在其他原子，它所射出的光電子被近鄰原子散射，形成背散射波。出射波與背散射波光電子被近鄰原子散射，形成背散射波。出射波與背散射波在吸收原子處發(fā)生干涉。在吸收原子處發(fā)生干涉。只有同種原子的散射波才能與出射波發(fā)生干涉。只有同種原子的散射波才能與出射波發(fā)生干涉。出射和背散射波的相位差隨光電子的德布洛意波長出射和背散射波的相位差隨光電子的德布洛意波長( (依賴于依賴于X X射射線能量線能量) )變化而發(fā)生變化變化而發(fā)生變化-原子末態(tài)波函數(shù)振蕩變化原子末態(tài)波函數(shù)振蕩變化 ：

9、凝聚態(tài)物質(zhì)中某組元的：凝聚態(tài)物質(zhì)中某組元的X X射線吸收系數(shù)射線吸收系數(shù)0 ：組元出于自由原子態(tài)的吸收系數(shù)：組元出于自由原子態(tài)的吸收系數(shù)0 ：凝聚態(tài)物質(zhì)中不考慮周圍原子散射作用時的吸收系數(shù)：凝聚態(tài)物質(zhì)中不考慮周圍原子散射作用時的吸收系數(shù) 相相移移因因子子方方均均層層原原子子偏偏離離平平均均位位置置的的因因子子層層的的：為為光光電電子子的的平平均均自自由由程程因因子子，非非彈彈性性散散射射引引起起的的衰衰減減振振幅幅層層內(nèi)內(nèi)每每個個原原子子的的背背散散射射第第配配位位數(shù)數(shù)層層半半徑徑第第配配位位層層序序號號吸吸收收譜譜：電電離離吸吸收收）和和吸吸收收似似下下，對對在在單單電電子子、單單次次散散射

10、射近近譜譜函函數(shù)數(shù)：定定義義為為修修正正項項:)(:2:)(:)(22sin()()(21()()()1(22/22/2200002222kjWallerDedyejeekjkFNjrjkkreekrkFNkSLSKkkEXAFSjjkrejjjjjjkrjjjssjjjj 譜函數(shù)是一系列正玄函數(shù)的疊加譜函數(shù)是一系列正玄函數(shù)的疊加)(30803080)()(21)(maxmin22XANESXeVeVeVNrRSFdkekkrjkkkrinj射射線線吸吸收收近近邊邊結結構構多多重重散散射射對對平平面面波波修修正正德德布布洛洛意意近近似似適適用用單單電電子子散散射射、平平面面電電子子，原原子子類

11、類型型及及分分布布配配位位數(shù)數(shù)振振蕩蕩振振幅幅的的信信息息吸吸收收原原子子近近鄰鄰距距離離振振蕩蕩頻頻率率徑徑向向結結構構函函數(shù)數(shù)付付氏氏變變換換：要要前前一一、兩兩層層的的貢貢獻獻為為主主很很大大有有限限，而而高高層層的的由由于于 N=1,2 N=1,2 或或3 36.非晶態(tài)固體的結構模型和缺陷非晶態(tài)固體的結構模型和缺陷(1)剛球無規(guī)密堆模型（非晶態(tài)金屬或金屬合金剛球無規(guī)密堆模型（非晶態(tài)金屬或金屬合金DRPHSDRPHS）Finney:793Finney:793個硬球模型個硬球模型無規(guī)密堆有一個明確的堆積密度上限無規(guī)密堆有一個明確的堆積密度上限0.6366;0.6366;密堆晶體密堆晶體 0

12、.74050.7405非晶具有一些不同類型的局域短程序。以原子為中心作其最近非晶具有一些不同類型的局域短程序。以原子為中心作其最近鄰的連心線。以這些連心線為棱邊所構成的多面體鄰的連心線。以這些連心線為棱邊所構成的多面體BernalBernal多多面體。面體。 (a)(a)四面體四面體(e)(e)四角十四角十二面體二面體(d)(d)帶三個半八帶三個半八面體的阿基米德面體的阿基米德反棱柱反棱柱(c)(c)有三個半八面有三個半八面體的三角棱柱體的三角棱柱(b)(b)八面體八面體(2) 連續(xù)無規(guī)網(wǎng)格模型（連續(xù)無規(guī)網(wǎng)格模型（CRN）以共價結合的非晶態(tài)固體，最近鄰配位與晶態(tài)類似以共價結合的非晶態(tài)固體，最近

13、鄰配位與晶態(tài)類似用球代表原子位置，線段代表大小，線段間的夾角代表鍵角，用球代表原子位置，線段代表大小，線段間的夾角代表鍵角，所有球和線段組成的網(wǎng)絡非晶網(wǎng)絡模型所有球和線段組成的網(wǎng)絡非晶網(wǎng)絡模型 (3)非晶中的缺陷非晶中的缺陷 非晶半導體非晶半導體 i）懸掛鍵）懸掛鍵 ii）微孔）微孔 iii）雜質(zhì)）雜質(zhì)2.2 2.2 無序系統(tǒng)的電子態(tài)無序系統(tǒng)的電子態(tài)1.擴展態(tài)和局域態(tài)擴展態(tài)和局域態(tài)具有嚴格周期性的有序晶格是平移不變的：具有嚴格周期性的有序晶格是平移不變的： )()()exp()()(Rrururk irurkkkk 所有電子在有序晶格中作公有化運動所有電子在有序晶格中作公有化運動擴展態(tài)擴展態(tài)在

14、晶體中引入缺陷在晶體中引入缺陷周周期性局域破壞期性局域破壞雜質(zhì)態(tài)雜質(zhì)態(tài)局域局域在雜質(zhì)附近在雜質(zhì)附近)/exp()(0 rrr ：定域化長度：定域化長度雜質(zhì)濃度高時雜質(zhì)濃度高時, ,局域態(tài)的電子能級可密集局域態(tài)的電子能級可密集成帶成帶, ,與導帶相連接與導帶相連接, ,形成導帶的尾部形成導帶的尾部. .2.Anderson的無序模型的無序模型無平移對稱性，波矢無平移對稱性，波矢k不再是描述電子態(tài)的好量子數(shù)不再是描述電子態(tài)的好量子數(shù)TBA(緊束縛近似緊束縛近似)無序系統(tǒng)無序系統(tǒng)dlrHalraHVVldlrHalraHccVccHelruNlralracrllrarVmHlllllllllllll

15、lllllllklrk ikl)()(:,)()()(1)(),()(:,)()(2*)(22交疊積分而格點附近局域電子能量代表示成將二次量子化態(tài)向量表為格矢為基取瓦尼爾函數(shù)有有序序晶晶格格的的電電子子能能量量若若取取配配位位數(shù)數(shù)能能帶帶寬寬度度無無關關與與及及由由于于平平移移對對稱稱引引入入波波矢矢系系統(tǒng)統(tǒng)有有序序積積分分格格點點處處電電子子的的近近鄰鄰交交疊疊代代表表為為近近鄰鄰格格點點間間位位置置矢矢差差在在 hhkihhkilhkkkhlllllllllkklkillhllllleVkEZBVZTBAeVkEcckEccVccHVVlVceNcklVhVVTBA)(:0:2)()(:,

16、1:0000, 0 W W)( PW12W 2W系系統(tǒng)統(tǒng)的的短短程程有有序序特特性性不不變變系系統(tǒng)統(tǒng)的的無無序序程程度度是是獨獨立立無無規(guī)規(guī)變變量量各各格格點點上上寬寬度度內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)均均勻勻分分布布在在假假定定不不變變作作隨隨機機變變化化將將隨隨格格點點無無序序系系統(tǒng)統(tǒng):)2(0)2(1)(:,:VWccVccHWWWPWVlAndersonlhhllllllllllll 3.推遲格林函數(shù)推遲格林函數(shù)雙時推遲格林函數(shù)雙時推遲格林函數(shù) 數(shù)數(shù)是是實實時時間間的的溫溫度度格格林林函函對對于于正正則則系系綜綜統(tǒng)統(tǒng)計計平平均均波波戈戈留留玻玻夫夫記記號號rBHHrGTKeTrZAeTrZAtBtAtt

17、tttAtBtBtAitBtAttittG1),(),(:.) ();(0),)() () ()()(),() () ,(1 HtiHtirrrrHttHittHiHHtittHiHtiHrrAeetABBBtABtAtitGttttGttGBttAttitBtAttittGttABtAtBBttABttAeTrZBAeeeTrZBeAeeeTrZtBtABCATrCABTrABCTrTrttGttG )(),0();(),()()(:,0,) () ()0(),() ()(),() () ,() ()0()() (:)0() () ()()() ()()()()(:) () ,().1(1)

18、 () (1) (1 代代表表時時間間差差取取的的函函數(shù)數(shù)只只是是時時間間差差同同理理號號內(nèi)內(nèi)具具有有循循環(huán)環(huán)性性算算符符的的乘乘積積在在傳傳播播子子)(0)()(0|0| )(|0:,0|,:|)(,0).()().2()()(0)(21)(:)(.,)( ninrrtiirrtiirrrrenAntAHnHGKTaGetdtGGeGdtGtGtG利利用用矩矩陣陣元元關關系系的的基基態(tài)態(tài)和和基基態(tài)態(tài)能能為為的的特特性性時時統(tǒng)統(tǒng)的的元元激激發(fā)發(fā)的的極極點點確確定定相相互互作作用用系系的的付付氏氏變變換換為為數(shù)數(shù)是是最最重重要要的的一一個個格格林林函函與與實實驗驗測測量量直直接接相相關關 元元激

19、激發(fā)發(fā)極極點點由由極極點點的的實實軸軸坐坐標標為為函函數(shù)數(shù)它它在在上上半半復復平平面面是是解解析析的的極極點點在在下下半半復復平平面面表表示示萊萊曼曼付付氏氏變變換換時時 0000)()(,)(|0|00|01)(:)(0|00|0)(0| )(|00|)(|0)()()(1:000nrnrrinonnortintirnnGGGBAiAnnBiBnnAGLehmanneAnnBeBnnAtitBABtAtitGKTnn (b). T0K(b). T0K 有限溫度下有限溫度下: :1)(exp)(exp|exp()()(1vuvuuuvrtiuAvvBuZtitG ivuvuuvurBAiuAv

20、vBuZG |)(1)(exp|)exp(1)(,引入函數(shù)引入函數(shù))(|)exp()(,1vuuvuuAvvBuZJ 萊曼表示的積分公式萊曼表示的積分公式: : ) ()1)()( dieJGr(3). (3). 譜定理譜定理:)(| BAJBABAi量量對對頻頻率率的的積積分分等等于于平平均均之之間間的的關關系系與與平平均均量量構構造造一一個個格格林林函函數(shù)數(shù) BAuBAueZuAvvBueZdJuvuuu|)(1,1 另一方面另一方面: :)()1() () ()1()(Im JedJeGr deGBAr1)(Im221 譜定理，漲落耗散定理譜定理，漲落耗散定理函數(shù)函數(shù)可作為描述漲落的關聯(lián)

21、可作為描述漲落的關聯(lián)而而與系統(tǒng)阻尼有關與系統(tǒng)阻尼有關 BAGr,)(Im :,:解解析析函函數(shù)數(shù)定定義義一一個個下下半半復復平平面面的的推推遲遲格格林林函函數(shù)數(shù) iiG iuAvvBuZBAvuvuuvui )(1)(exp|)exp(|,1:|)(Im2:0)()(00),()()(:|譜譜定定理理可可改改寫寫為為由由于于付付氏氏變變換換是是下下列列超超前前格格林林函函數(shù)數(shù)的的不不難難證證明明 iiraiBABAiGttBABtAitBtAtitGBA deBABAiBAii 1|2格林函數(shù)計算平均量的有用工具格林函數(shù)計算平均量的有用工具利用玻戈留玻夫格林函數(shù)作實際運算的步驟利用玻戈留玻夫格

22、林函數(shù)作實際運算的步驟: :(1).(1).選擇選擇A A與與B B(2).(2).確定格林函數(shù)確定格林函數(shù)(3).(3).建立建立 的運動方程的運動方程(4).(4).求運動方程的近似解求運動方程的近似解(5).(5).利用譜定理決定所需物理量利用譜定理決定所需物理量 BA| BA|4. Anderson局域化（局域化（1958，PRB）局域化的嚴格定義：局域化的嚴格定義：熱力學極限下的體系（熱力學極限下的體系（N,VN,V無限大無限大 N/VN/V有限），設有限），設t t0 0時時l l格點格點( (或附近或附近) )有一個電子有一個電子, 經(jīng)過較長時間后在該格點找到電子的幾經(jīng)過較長時間

23、后在該格點找到電子的幾率振幅為率振幅為A(t):A(t):A(t)=0A(t)=0 擴展態(tài)擴展態(tài) A(t) 0A(t) 0 局域態(tài)局域態(tài) (1).(1).定性說明定性說明(Thouless(Thouless公式公式) )強無序情況強無序情況 W/V1W/V1考慮有一個電子定域在格點考慮有一個電子定域在格點l,l,由于相互作用可以使鄰近格點由于相互作用可以使鄰近格點ll上的電子波函數(shù)混入上的電子波函數(shù)混入, ,由量子力學微擾理論由量子力學微擾理論( (一級一級):): ZlllnnknknkkEEVEEH0000混混入入態(tài)態(tài)的的振振幅幅 態(tài)態(tài)都都是是局局域域態(tài)態(tài)無無序序系系統(tǒng)統(tǒng)中中所所有有的的本

24、本征征時時大大于于臨臨界界值值之之比比與與帶帶寬寬寬寬度度當當無無規(guī)規(guī)起起伏伏勢勢能能的的分分布布擴擴展展收收斂斂定定域域的的主主導導項項為為的的最最小小典典型型值值個個間間隔隔內(nèi)內(nèi)均均勻勻分分布布在在處處于于帶帶中中心心設設,2, 1, 12.| )2(|22:/,2cZlllllllllllZVBWWZVlWZVOlEEVlWZVEEVZWEEEEZWEE 電子波動性的本質(zhì)反映電子波動性的本質(zhì)反映推廣：光波，聲波等推廣：光波，聲波等(2).(2).嚴格推導嚴格推導就就可可討討論論局局域域化化條條件件只只要要解解出出子子的的幾幾率率振振幅幅同同一一格格點點上上找找到到這這個個電電在在時時間間

25、后后經(jīng)經(jīng)格格點點上上產(chǎn)產(chǎn)生生一一個個電電子子時時刻刻在在是是有有關關直直接接與與簡簡化化為為時時定定義義雙雙時時推推遲遲格格林林函函數(shù)數(shù)),()0()(0| )0()(|0)()()0(,0)(:)()(0| )0()(|0)()(:,00001)()0(),()()(:tGttiGctctAtAttlttiGtAtGctctitGKTtttBAABBActctitGlllllllllllllllllllll )()()()()(21)()(21)(:)(:()()()()(:)(,:llllllllllliEtlliEtlllllllllllllllllllllllllllllllllEGV

26、EGEdEetEGdEetGtdtdtGVtGttGitGccHcc iccVccH 作作付付氏氏變變換換用用到到的的運運動動方方程程寫寫出出利利用用 )( ) ,()( )( ) ,()( )( )(.);(:1)();(:)(1)()(:)(1)()(:)(0:)()()()(1llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllVgVgVVgVElEGElEEGVgVEGVgVEGEGVEGEEGiEEEGEGVggEGEg 自自能能逐逐次次迭迭代代代代入入將將考考察察是是推推遲遲格格林林函函

27、數(shù)數(shù)由由于于全全格格林林函函數(shù)數(shù)自自由由格格林林函函數(shù)數(shù)定定義義) );(1)()(: ElEEGEGllll的的極極點點全全對對角角格格林林函函數(shù)數(shù)自自能能的的物物理理含含義義tiEiEtlllllllleiEEedEitiGtAiEiEGEEltAEG02)()(:0,)(,);().()(000 趨趨向向實實軸軸它它隨隨的的極極點點在在則則并并設設其其取取值值為為上上收收斂斂的的微微擾擾展展開開級級數(shù)數(shù)在在實實軸軸如如自自能能決決定定在在復復平平面面上上的的解解析析性性質(zhì)質(zhì)由由 的的判判據(jù)據(jù)能能量量上上形形成成電電子子局局域域態(tài)態(tài)微微擾擾級級數(shù)數(shù)收收斂斂條條件件就就是是局局域域態(tài)態(tài)當當E

28、EltAtl);(0)(,)(,.,.,:).(.);(21211)(1)(1自自回回避避路路徑徑不不能能重重復復其其中中的的可可能能路路徑徑個個不不同同格格點點再再回回到到格格點點出出發(fā)發(fā)經(jīng)經(jīng)過過從從利利用用LLLilllLLjLjLjlllllllllllllllllljVgEEVTTVVVgVgVVgElVViL :lnln,ln|lnln,1,)(1)()()()(代代替替可可用用無無規(guī)規(guī)平平均均無無規(guī)規(guī)變變化化取取不不同同格格點點中中由由于于的的對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)討討論論計計決決定定其其收收斂斂條條件件由由概概率率的的統(tǒng)統(tǒng)是是一一個個隨隨機機級級數(shù)數(shù)是是無無規(guī)規(guī)分分布布的的數(shù)數(shù)目目個個

29、階階項項大大致致有有相相似似的的與與個個近近鄰鄰由由于于每每個個格格點點有有 iiiiiiiillliLjLilLilLjLjLjlllLLjVgVgglTVgVgTQTTEgjZLTZ VgLVgQVgVgWWWPAndersonPEVPdVgLilllllllliiiiiilnlnlnln)2(0)2(1)(:)(ln)(ln與與格格點點無無關關顯顯然然所所取取得得分分布布 即即形形成成局局域域態(tài)態(tài)的的條條件件級級數(shù)數(shù)的的絕絕對對收收斂斂條條件件作作為為件件可可用用這這個個級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂條條何何級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性差差的的收收斂斂性性不不會會比比下下列列幾幾自自能能級級數(shù)數(shù)指指出

30、出可可正正可可負負形形式式相相同同項項與與由由于于有有,);(1lnexp:lnexp:);(:|:lnexp|:lnexplnexp1)()()()()()( ElVgZVgZVElZimanTTTVgZTTZVgLVgeTLLljLjjLjLjLjLjLjLLilQLji 2ln)21 (2ln)21(211ln1ln)(:ln)(22VEVWWEVEVWWEdEVWVgEVgPWW 代代入入計計算算將將)()(.(,)(,. 1)lnexp()0(,0,ln07 . 2202ln1)0(:02122 ZVPPAndersonVgZEEVgEeVZWEVWEcc同同樣樣可可以以證證明明取取

31、其其他他形形式式如如局局域域化化條條件件態(tài)態(tài)都都是是局局域域態(tài)態(tài)時時無無序序系系統(tǒng)統(tǒng)中中所所有有本本征征當當因因此此必必然然都都能能滿滿足足收收斂斂條條件件其其他他本本征征態(tài)態(tài)態(tài)態(tài)成成為為局局域域態(tài)態(tài)所所以以當當取取最最大大值值時時由由于于態(tài)態(tài)的的局局域域化化條條件件代代入入收收斂斂條條件件得得態(tài)態(tài)對對于于5. 莫特莫特(Mott)模型模型SIR NEVILL F. MOTT (1905-1996) 1977 Nobel Laureate in Physics for their fundamental theoretical investigations of the electronic

32、structure of magnetic and disordered systems. (1). :無序系統(tǒng)既存在擴展態(tài)，也有局域態(tài)，擴展態(tài)在無序系統(tǒng)既存在擴展態(tài)，也有局域態(tài)，擴展態(tài)在TBA能量中心，局域態(tài)在帶尾能量中心，局域態(tài)在帶尾, , 并有一個劃分擴展態(tài)與局域并有一個劃分擴展態(tài)與局域態(tài)能量的分界態(tài)能量的分界Ec:Ec:遷移率邊遷移率邊c -Ec-EcEcEcE EDOS(E)DOS(E)擴展態(tài)擴展態(tài)局域態(tài)局域態(tài)任意任意E E態(tài)的局域化條件態(tài)的局域化條件: :WEcWEWEWEeEVZW/2/21/21)/2(1)(2 )(,),(EEVWc 對對于于給給定定(2). 態(tài)密度和態(tài)密度和

33、Anderson轉變轉變 在無序固體中在無序固體中,波矢波矢K不再是好的量子數(shù)不再是好的量子數(shù). 但不論是晶態(tài)還是非但不論是晶態(tài)還是非晶態(tài)晶態(tài),體系的總自由度不變體系的總自由度不變,因而模式密度因而模式密度,能態(tài)密度的概念依能態(tài)密度的概念依舊有效舊有效. iiVg)(1)( v c )( g擴展態(tài)擴展態(tài)擴展態(tài)擴展態(tài)遷移率邊遷移率邊擴展態(tài)擴展態(tài)局域態(tài)局域態(tài)Anderson轉變轉變: EF處在擴展態(tài)處在擴展態(tài)金屬金屬 EF處在局域態(tài)處在局域態(tài)絕緣體絕緣體無序引起的相變叫無序引起的相變叫Anderson相變相變6. 滲流理論滲流理論 滲流：流體在隨機介質(zhì)中的運動滲流：流體在隨機介質(zhì)中的運動現(xiàn)象：現(xiàn)象

34、：人體、動物體內(nèi)存在多孔結構的組織和器官，如肺、心、人體、動物體內(nèi)存在多孔結構的組織和器官，如肺、心、肝等，體液在其中流動著肝等，體液在其中流動著植物的莖、枝、根和葉等，也是多空結構植物的莖、枝、根和葉等，也是多空結構地層里多孔巖石中石油和水地層里多孔巖石中石油和水 滲流體系：用滲流模型所描述的體系滲流體系：用滲流模型所描述的體系K.Broadbent, M.Hammersley 1957K.Broadbent, M.Hammersley 1957年首次提出年首次提出 每格點被占據(jù)的幾率為每格點被占據(jù)的幾率為P,P,不占據(jù)的幾率為不占據(jù)的幾率為1-P1-P。相鄰格點都被占據(jù)，相鄰格點都被占據(jù)，

35、這些格點形成一個集團。這些格點形成一個集團。當當P P增大增大, ,集團的大小增大集團的大小增大P P達到一個臨界點，點陣上就出現(xiàn)一個無限大集團達到一個臨界點，點陣上就出現(xiàn)一個無限大集團 滲流相變滲流相變Pc:Pc:滲流閾值或滲流臨界值滲流閾值或滲流臨界值Pc=0.59Pc=0.59Pc=0.27Pc=0.27A A滲流體系最基本點：閾值滲流體系最基本點：閾值PPcPPcPPc：無限集團：無限集團P-Pc-0:P-Pc-0:出現(xiàn)一個初始無限大集團出現(xiàn)一個初始無限大集團滲流相變是一個二級相變滲流相變是一個二級相變序參量：滲流幾率序參量：滲流幾率定義：當占據(jù)幾率為時，點陣上任意格點屬于無限大集團的

36、定義：當占據(jù)幾率為時，點陣上任意格點屬于無限大集團的幾率。幾率。 )(P )44. 0(365:0| )()0()(1)(:0)(00），一維），一維二維（二維（臨界指數(shù)臨界指數(shù)按相變的普適規(guī)律：按相變的普適規(guī)律：生了長程關聯(lián)性生了長程關聯(lián)性處：點陣上從無到有發(fā)處：點陣上從無到有發(fā)的光滑的增函數(shù)，最后的光滑的增函數(shù)，最后是是非零值非零值：到到 PcPPPcPPcPPPcPPPPcPPcPPPcPP兩點間的關聯(lián)函數(shù)兩點間的關聯(lián)函數(shù)G(x)G(x)定義：當原點被占據(jù)時，距原點為定義：當原點被占據(jù)時，距原點為x x的格點也屬于同一集的格點也屬于同一集團的點占據(jù)的幾率，亦即原點與團的點占據(jù)的幾率，亦即

37、原點與x x點之間至少存在一條鍵點之間至少存在一條鍵聯(lián)路徑的幾率。聯(lián)路徑的幾率。1)1(, 1, 111ln1)(1)(0,.2, 1,)1(, 11)0(, 01臨臨界界指指數(shù)數(shù)滲滲流流態(tài)態(tài)集集團團變變成成無無限限大大集集團團：為為關關聯(lián)聯(lián)長長度度當當所所有有點點一一一一被被占占有有：直直到到處處的的關關聯(lián)聯(lián)點點，則則要要求求對對距距原原點點為為集集團團：，這這一一點點必必然然屬屬于于同同一一當當最最近近鄰鄰點點也也被被占占據(jù)據(jù)時時以以一一維維為為例例： PPPPPexGPcPPxGxxxxxPGxGxxx88. 0, 334, 21)1()exp()(:)32(2 ddPcPPcPxPcP

38、xxGordd高高維維滲流體系兩個重要量：參量滲流體系兩個重要量：參量P(P(格點占有率格點占有率) )，關聯(lián)長度，關聯(lián)長度類比類比 P P：熱力學中的溫度：熱力學中的溫度 滲流集團唯一的長度標度滲流集團唯一的長度標度按照按照P參量劃分滲流集團參量劃分滲流集團:(1). PPc, 體系出現(xiàn)大量無限大集團，集團自身的密度向均體系出現(xiàn)大量無限大集團，集團自身的密度向均勻化發(fā)展，不再具有自相識性勻化發(fā)展，不再具有自相識性 )(P )(P )(P 自相識性自相識性:縮放對稱性縮放對稱性 ，即不管對結構作怎樣的放大與縮小，即不管對結構作怎樣的放大與縮小，結構看上去仍是相同的。結構看上去仍是相同的。分形分

39、形(Fractal)(Fractal)：存在自相似性的幾何對象。：存在自相似性的幾何對象。19671967年，年， Mandelbrot “Mandelbrot “英國的海岸線有多長英國的海岸線有多長” Many man-made objects are made up of Euclidean shapesBut what about these familiar things from the natural world? Can they be easily described with Euclidean shapes?I dont think so.“Why is geometry

40、often described as cold or dry? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastline, or a tree. Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.”Benoit Mandelbrot,

41、 the father of fractal geometry, from his book The Fractal Geometry of Nature, 1982.The Koch Snowflake34Length1Length342LengthFirst iterationAfter2 iterationsAfter 3 iterations343LengthAfter n iterations34nLength34LengthAfter iterationsThe Koch snowflake is six of these put together to form . . . .

42、. well, a snowflake.Notice that the perimeter of the Koch snowflake is infinite . . . . . but that the area it bounds is finite (indeed, it iscontained in the white square).The Koch snowflake has even been used in technology:Boston - Mar 13, 2002Fractal Antenna Systems, Inc. today disclosed that it

43、hasfiled for patent protection on a new class of antenna arraysthat use close-packed arrangements of fractal elements toget superior performance characteristics.Fractal Tiling Arrays - Firm Reports Breakthrough in Array AntennasBut self-similarity is not what makes the Koch snowflakea fractal! (Cont

44、rary to a common misconception.)After all, many common geometric objects exhibitself-similarity. Consider, for example, the humblesquare.If you take a small square . . . . . and dilate by a factor of 2 . . . . . then you get 4 copies of the original.A square is self-similar, but it most certainly is

45、 not a fractal.If you take a small square . . . . . and dilate by a factor of 3 . . . . . then you get 9 copies of the original.Let k be the scale factor.Let N be the number of copies of the original that you get.Note that for the square, we have that:2log NDkNk 2Or in other words, we have:Thats rig

46、ht:Nklogtells us the dimension of the shape.(Note that for this to make sense, the shape has to beself-similar.)So for a self-similar shape, we can takeNklogto be the definition of its dimension.(It turns out that this definition coincides with a much moregeneral definition of dimension called the f

47、ractal dimension.)Now lets recall what k and N were for one side of theKoch snowflake:k = scale factor = 3N = number of copies of original = 4.261. 14loglog3 NDkThe Sierpinski Carpet89. 18log3 DThe fractal dimension of the Menger sponge is:73. 220log3 D利用初始無限大集團的標度特性來確定集團的分形維數(shù)利用初始無限大集團的標度特性來確定集團的分形維

48、數(shù)D和和滲流的臨界指數(shù)之間的關系滲流的臨界指數(shù)之間的關系設體系中出現(xiàn)一個初始無限大集團，集團的線度設體系中出現(xiàn)一個初始無限大集團，集團的線度在此集團上選取原點在此集團上選取原點O，則距該點則距該點r處格點屬于這個無限集團處格點屬于這個無限集團的幾率（的幾率（ ）： )(CPR )(CPr dDdDrrrrVrNrP )()()(一般地：一般地：)()( rfrrPdD 11)()()(1)()(1)(xxxxfrrPrxxxfrxxfDd常常量量不不依依賴賴于于不不依依賴賴于于的的特特性性：標標度度函函數(shù)數(shù) dDPcPcPPPPcPcPPcPPPPcrPcPcrrrPrPdDdD)()()()

49、()()()()()(1由由關關聯(lián)聯(lián)長長度度：由由標標度度律律：的的極極限限標標度度：系統(tǒng)：導電疇非導電疇，無序度：發(fā)現(xiàn)導電疇的幾率系統(tǒng)：導電疇非導電疇，無序度：發(fā)現(xiàn)導電疇的幾率P湖湖山山滄海變桑田滄海變桑田無序無序Anderson轉變轉變海洋海洋海島海島2.3 2.3 無序體系的直流電導無序體系的直流電導1.跳躍電導跳躍電導體系處于強定域區(qū)，許多電子態(tài)為定域態(tài)，相鄰定域態(tài)體系處于強定域區(qū)，許多電子態(tài)為定域態(tài)，相鄰定域態(tài)間的能量十分不同。間的能量十分不同。能量能量距離距離R R(1)(1)兩個態(tài)波函數(shù)的交疊兩個態(tài)波函數(shù)的交疊(2)(2)兩個格點的能量差兩個格點的能量差的的兩兩個個決決定定因因素

50、素隧隧穿穿到到電電子子從從個個，產(chǎn)產(chǎn)生生跳跳躍躍電電導導一一個個定定域域位位置置跳跳到到另另一一，電電子子可可因因熱熱激激活活，從從絕絕緣緣體體時時，體體系系的的電電導導率率溫溫度度jiRRTTjjii , 00 (1)(1)兩個態(tài)波函數(shù)的交疊兩個態(tài)波函數(shù)的交疊ijRRRRPRr )/2exp()/exp( (2)(2)兩個格點的能量差兩個格點的能量差)exp(0TKPBij )/2exp(TKRPB 低溫下低溫下(2)(2)比比(1)(1)重要重要變程跳躍變程跳躍高溫下高溫下(1)(1)比比(2)(2)重要重要定程跳躍定程跳躍都都存存在在漲漲落落和和 RTKRPB)/2exp(為為一一適適當

51、當常常數(shù)數(shù)能能級級處處平平均均能能量量間間隔隔：靠靠近近維維空空間間總總狀狀態(tài)態(tài)數(shù)數(shù)的的，具具有有尺尺寸寸單單位位體體積積內(nèi)內(nèi)的的態(tài)態(tài)密密度度的的平平均均值值估估算算：aRgaFermiRgdRgdd)()()( )exp()(141,331,221, 1)(1)(20)(2011)/(1100TKgdddgTKeTKgadRTKRgaRdRdRBddBdTTCdBBd 定定程程跳跳躍躍：躍躍電電導導率率：設設最最可可幾幾跳跳躍躍支支配配了了跳跳的的計計算算：最最可可幾幾2.非晶半導體的直流電導非晶半導體的直流電導 與晶態(tài)半導體不同之處與晶態(tài)半導體不同之處(1).(1).非晶態(tài)半導體存在擴展態(tài)

52、、帶尾定域態(tài)、帶隙中的缺隙非晶態(tài)半導體存在擴展態(tài)、帶尾定域態(tài)、帶隙中的缺隙定域態(tài)定域態(tài)。這些狀態(tài)中的載流子都可能對電導有貢獻。這些狀態(tài)中的載流子都可能對電導有貢獻。(2).非晶態(tài)半導體中的費米能級通常是非晶態(tài)半導體中的費米能級通常是“釘扎釘扎”在帶隙中，在帶隙中，基本不隨溫度變化?；静浑S溫度變化。釘扎釘扎:Fermi能級的位置不因少量的淺施主和淺受主雜質(zhì)的引能級的位置不因少量的淺施主和淺受主雜質(zhì)的引入而發(fā)生變化。入而發(fā)生變化。Fermi能級之上有帶正電的狀態(tài)能級之上有帶正電的狀態(tài) 兩者的補償作用使兩者的補償作用使EF “釘扎釘扎”Fermi能級之下有帶負電的狀態(tài)能級之下有帶負電的狀態(tài)價帶價帶

53、導帶導帶施主施主受主受主E EF FEvEvEcEc深施主帶深施主帶深受主帶深受主帶E EB BE EA A FCTKEFATKETKEEFTKEFBFFEEEeWWEEEeeEWEeENTKEEneBBBFAB /0111/1/)(22/2).3(:).2()().1()(12 溫溫度度變變化化小小度度成成正正比比，遷遷移移率率依依賴賴與與激激發(fā)發(fā)到到導導帶帶的的電電子子濃濃導導帶帶擴擴展展態(tài)態(tài)帶帶隙隙中中缺缺陷陷定定域域態(tài)態(tài)激激活活能能導導帶帶帶帶尾尾之之間間跳跳躍躍平平均均的的電電子子濃濃度度激激發(fā)發(fā)電電子子到到導導帶帶尾尾部部中中由由導導帶帶尾尾定定域域態(tài)態(tài)帶帶隙隙中中缺缺陷陷定定域域

54、態(tài)態(tài)平平均均激激活活能能為為缺缺陷陷定定域域態(tài)態(tài)之之間間跳跳躍躍：電電子子密密度度為為電電子子才才對對電電導導率率有有貢貢獻獻范范圍圍內(nèi)內(nèi)附附近近之之中中，只只是是在在處處在在缺缺陷陷定定域域態(tài)態(tài)的的能能級級帶帶隙隙中中缺缺陷陷定定域域態(tài)態(tài)帶帶隙隙中中缺缺陷陷定定域域態(tài)態(tài)一一種種載載流流子子非非晶晶半半導導體體電電導導半半導導體體電電導導率率：導導態(tài)態(tài)電電導導缺缺陷陷定定域域態(tài)態(tài)電電擴擴展展態(tài)態(tài)電電導導尾尾部部定定域域電電導導率率與與溫溫度度的的關關系系：TKETKETKEBBBeee/2/1/021 的的關關系系示示意意圖圖非非晶晶態(tài)態(tài)半半導導體體的的1ln T lnT1FCEE 1WEEF

55、A 2W41 T3.非晶態(tài)金屬的電阻率及其溫度關系非晶態(tài)金屬的電阻率及其溫度關系非晶態(tài)金屬的電阻率高于晶態(tài)金屬材料的電阻率非晶態(tài)金屬的電阻率高于晶態(tài)金屬材料的電阻率 100300cm “ “剩余電阻剩余電阻” ” 無序結構，數(shù)值較大無序結構，數(shù)值較大非晶態(tài)金屬的電阻率溫度系數(shù)非晶態(tài)金屬的電阻率溫度系數(shù) 特別小，特別小， 結構無序和雜質(zhì)貢獻大于原子熱運動貢獻結構無序和雜質(zhì)貢獻大于原子熱運動貢獻3) 3) 很多非晶態(tài)金屬在很寬范圍內(nèi)有負的電阻溫度系數(shù)很多非晶態(tài)金屬在很寬范圍內(nèi)有負的電阻溫度系數(shù)4) Mooij4) Mooij經(jīng)驗規(guī)律：經(jīng)驗規(guī)律：5) 5) 非晶態(tài)金屬的電阻率隨非晶結構的穩(wěn)定性而發(fā)生

56、不可逆非晶態(tài)金屬的電阻率隨非晶結構的穩(wěn)定性而發(fā)生不可逆變化。當溫度升高開始晶化時電阻率將發(fā)生突變變化。當溫度升高開始晶化時電阻率將發(fā)生突變估計估計非晶態(tài)金屬的非晶態(tài)金屬的晶化溫度。晶化溫度。dTd 1 510 為為負負為為正正 cmcm 150100理論模型：理論模型：1.1.推廣的推廣的ZimanZiman理論模型：理論模型： 非金屬玻璃非金屬玻璃 vs vs 液態(tài)金屬液態(tài)金屬 適用：簡單金屬玻璃的電導輸運特性適用：簡單金屬玻璃的電導輸運特性2.2.類類KondoKondo型型s-ds-d散射模型散射模型KondoKondo效應：含有極少量磁性雜質(zhì)的晶態(tài)金屬在低溫下出現(xiàn)效應：含有極少量磁性雜

57、質(zhì)的晶態(tài)金屬在低溫下出現(xiàn)電阻極小的現(xiàn)象。電阻極小的現(xiàn)象。s-ds-d散射機制散射機制: :產(chǎn)生電阻極小的必要條件是局域自旋具有翻產(chǎn)生電阻極小的必要條件是局域自旋具有翻轉自由度。轉自由度。3.3.雙能級隧道態(tài)模型理論：非晶態(tài)中存在雙能級隧道態(tài)模型理論：非晶態(tài)中存在2 2個等價的原子組個等價的原子組態(tài)態(tài)級級差差個個等等價價的的原原子子組組態(tài)態(tài)的的能能為為2)ln()(222 TkTB 非晶金屬低溫電阻的電阻極小的現(xiàn)象非晶金屬低溫電阻的電阻極小的現(xiàn)象4.定域的標度理論定域的標度理論c )( min 定域退定域轉變處電導定域退定域轉變處電導率的變化率的變化1973年，年，Mott:擴展態(tài)在擴展態(tài)在遷移

58、率邊處有一最小金屬遷移率邊處有一最小金屬電導率。電導率。0 T(a).一、二維體系不存在一、二維體系不存在Anderson轉變變化轉變變化(b).電導率連續(xù)減小為零電導率連續(xù)減小為零)2(ln)()/exp()1(2)()()(lnln)/ ),() ()()(2GGLGLdGGLdGdfLLLGfLGLLLGLGGdL 時時：在在定定域域的的絕絕緣緣體體極極限限及及定定域域化化長長度度無無序序增增加加，電電導導減減少少，良良導導體體對對通通常常金金屬屬的的電電導導決決定定的的變變化化僅僅由由前前一一尺尺寸寸下下體體系系尺尺寸寸改改變變時時，電電導導為為一一普普適適函函數(shù)數(shù)則則的的普普適適函函

59、數(shù)數(shù)是是與與系系統(tǒng)統(tǒng)微微觀觀結結構構無無關關律律：，假假設設電電導導遵遵從從標標度度規(guī)規(guī)意意長長度度現(xiàn)現(xiàn)改改變變系系統(tǒng)統(tǒng)長長度度，對對任任姆姆定定律律：如如系系統(tǒng)統(tǒng)是是宏宏觀觀的的，有有歐歐電電導導：小小尺尺寸寸系系統(tǒng)統(tǒng)單調(diào)連續(xù)外插行為單調(diào)連續(xù)外插行為給出其極限表達給出其極限表達函數(shù)函數(shù)標度理論認為存在單一標度理論認為存在單一)2(),1(),(G CGGln3 d2 d1 d對于對于d=3, 低于一特定值低于一特定值Gc， 為負為負(絕緣態(tài)）絕緣態(tài)）D=1,2, 總為負，系統(tǒng)總是總為負，系統(tǒng)總是處于絕緣態(tài)處于絕緣態(tài))(G )(G CCCCCCCaGLLLGLGLGLGGLGGLGLLGLGa

60、GLGaGGGGLGaGGG1)()()()()()()(1)()(1)(,)()()()0(0)(300000 積積分分到到小小得得多多的的尺尺度度尺尺度度的的定定義義，并并從從某某一一宏宏觀觀代代入入最最后后結結果果與與此此形形式式無無關關在在整整個個導導電電區(qū)區(qū)：為為了了為為一一線線性性函函數(shù)數(shù)：，設設邊邊在在固固定定點點附附近近，導導電電一一固固定定點點維維情情況況，點點對對1 . 05 . 1)1()1()()()(00000 為為遷遷移移率率邊邊，導導比比例例于于電電子子能能量量在在費費米米面面附附近近，電電子子電電電電導導率率趨趨于于零零為為一一常常數(shù)數(shù)，使使選選擇擇：對對于于宏