最新高考數(shù)學(xué)專題數(shù)列

1、專題二數(shù)列的通項(xiàng)與求和【主干知識(shí)主干知識(shí)】1.1.必記公式必記公式(1)(1)“基本數(shù)列基本數(shù)列”的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式: :數(shù)列數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=_(nn=_(nn* *).).數(shù)列數(shù)列1,2,3,4,1,2,3,4,的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=_(nn=_(nn* *).).數(shù)列數(shù)列3,5,7,9,3,5,7,9,的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=_(nn=_(nn* *).).數(shù)列數(shù)列2,4,6,8,2,4,6,8,的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=_(nn=_(nn* *).).(-1)(-1)n nn n

2、2n+12n+12n2n數(shù)列數(shù)列1,2,4,8,1,2,4,8,的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=_(nn=_(nn* *).).數(shù)列數(shù)列1,4,9,16,1,4,9,16,的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=_(nn=_(nn* *).).數(shù)列數(shù)列1,3,6,10,1,3,6,10,的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=_(nn=_(nn* *).).數(shù)列數(shù)列 , ,的通項(xiàng)公式是的通項(xiàng)公式是a an n=_(nn=_(nn* *).).2 2n-1n-1n n2 2n n121 1 1 1, ,1 2 3 41n 2(nn*)1_.n n111 11().n nkk nnk1_.2n1

3、 2n1常用的拆項(xiàng)公式 其中：111()2 2n12n111nn1 nnn 1nn 1nn 2nn 2ad,11111111()().a ad aaa a2d aa1111.n n1 n22 n n1n1 n21n1n.nn111( nkn).knnkn n!n1 ! n!. 若等差數(shù)列的公差為則；2.2.易錯(cuò)提醒易錯(cuò)提醒（1 1）裂項(xiàng)求和的系數(shù)出錯(cuò)裂項(xiàng)求和的系數(shù)出錯(cuò)：裂項(xiàng)時(shí)，把系數(shù)寫成它的倒數(shù)或：裂項(xiàng)時(shí)，把系數(shù)寫成它的倒數(shù)或者忘記系數(shù)致錯(cuò)者忘記系數(shù)致錯(cuò). .（2 2）忽略驗(yàn)證第一項(xiàng)致誤忽略驗(yàn)證第一項(xiàng)致誤: :利用利用 求通項(xiàng)，忽求通項(xiàng)，忽略略n2n2的限定，忘記第一項(xiàng)單獨(dú)求解與檢驗(yàn)的限定，忘

4、記第一項(xiàng)單獨(dú)求解與檢驗(yàn). .（3 3）求錯(cuò)項(xiàng)數(shù)致誤求錯(cuò)項(xiàng)數(shù)致誤：錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后總項(xiàng)數(shù)為：錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后總項(xiàng)數(shù)為n+1,n+1,易錯(cuò)并且還易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng)易錯(cuò)并且還易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng). .1nnn 1s ,n1,ass,n2【考題回顧考題回顧】1.1.一組高考題回做！一組高考題回做！ 【答案】()設(shè)an的公差為 d,據(jù)已知有 7+21d=28,解得 d=1. 所以an的通項(xiàng)公式為 an=n. b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2. ()因?yàn)橐驗(yàn)?bn= 所以數(shù)列所以數(shù)列bn的前的前 1 000 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 190+2900+31=

5、1 893. 【其它考題回顧其它考題回顧】1.(20131.(2013新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷)設(shè)首項(xiàng)為設(shè)首項(xiàng)為1,1,公比為公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s sn n, ,則則( () )a.sa.sn n=2a=2an n-1-1b.sb.sn n=3a=3an n-2-2c.sc.sn n=4-3a=4-3an nd.sd.sn n=3-2a=3-2an n【解析解析】選選d.d.因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1,1,公比為公比為 , , 所以所以s sn n=3-2a=3-2an n. .2323n1nn21aaa q3s21 q13，2.

6、(20162.(2016紹興模擬紹興模擬) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s sn n, ,且且a a3 3+a+a8 8=13,s=13,s7 7=35,=35,則則a a7 7= =( () )a.8a.8 b.9 b.9 c.10 c.10 d.11 d.11【解析解析】選選a.a.由已知條件可得由已知條件可得, ,所以所以a a7 7=a=a1 1+6d=2+6+6d=2+61=8.1=8.1112a9d13,a2,7(2a6d)d1,35,2解得3.3.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列,a,a1 1=1,=1,公差公差d0,ad0,a

7、1 1,a,a2 2,a,a5 5成成等比數(shù)列等比數(shù)列, ,則則a a20172017的值為的值為 4.4.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和是項(xiàng)和是s sn n, ,若若a a1 10,0,且且a a1 1+9a+9a6 6=0,=0,則則s sn n取最大值時(shí)取最大值時(shí)n n為為( () )a.11a.11 b.10 b.10 c.6 c.6 d.5 d.5【解析解析】選選d.d.因?yàn)橐驗(yàn)閍 a1 10,0,a a1 1+9a+9a6 6=a=a1 1+a+a6 6+8a+8a6 6 =a =a2 2+a+a5 5+8a+8a6 6 =a =a2 2+a+a6 6+a+

8、a5 5+7a+7a6 6 =2a =2a4 4+a+a5 5+7a+7a6 6 =2(a =2(a4 4+a+a6 6)+a)+a5 5+5a+5a6 6 =5(a =5(a5 5+a+a6 6)=0,)=0,所以所以a a5 50,a0,a6 60,0,即前即前5 5項(xiàng)和最大項(xiàng)和最大. .5.(20165.(2016銀川模擬銀川模擬) )某音樂酒吧的霓虹燈是用某音樂酒吧的霓虹燈是用 三個(gè)不同三個(gè)不同音符組成的一個(gè)含音符組成的一個(gè)含n+1(nnn+1(nn* *) )個(gè)音符的音符串個(gè)音符的音符串, ,要求由音符要求由音符開始開始, ,相鄰兩個(gè)音符不能相同相鄰兩個(gè)音符不能相同. .例如例如n=

9、1n=1時(shí)時(shí), ,排出的音符串是排出的音符串是, , ;n=2;n=2時(shí)排出的音符串是時(shí)排出的音符串是, , , , , , ,記這種記這種含含n+1n+1個(gè)音符的所有音符串中個(gè)音符的所有音符串中, ,排在最后一個(gè)的音符仍是排在最后一個(gè)的音符仍是的音的音符串的個(gè)數(shù)為符串的個(gè)數(shù)為a an n, ,故故a a1 1=0,a=0,a2 2=2.=2.則則(1)a(1)a4 4= =; ;(2)a(2)an n= =. .【解析解析】a a1 1=0,a=0,a2 2=2=2=2=21 1-a-a1 1, ,a a3 3=2=2=2=22 2-a-a2 2,a,a4 4=6=2=6=23 3-a-a3

10、 3;a;a5 5=10=2=10=24 4-a-a4 4, ,所以所以a an n=2=2n-1n-1-a-an-1n-1, ,所以所以a an-1n-1=2=2n-2n-2-a-an-2n-2, ,兩式相減得兩式相減得:a:an n-a-an-2n-2=2=2n-2n-2, ,當(dāng)當(dāng)n n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), ,利用累加法得利用累加法得a an n-a-a1 1=2=21 1+2+23 3+ +2+2n-2n-2= ,= ,所以所以a an n= ,= ,同理同理, ,當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), ,利用累加法得利用累加法得a an n-a-a2 2=2=22 2+2+24 4+ +2+2n-

11、2n-2= ,= ,所以所以a an n= ,= ,綜上所述綜上所述a an n= .= .答案答案: :(1)6(1)6 (2)(2)n223n223n243n223nn2213nn2213熱點(diǎn)考向一熱點(diǎn)考向一 求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式【考情快報(bào)考情快報(bào)】難度難度: :中檔題中檔題命題指數(shù)命題指數(shù): :題型題型: :在客觀題、解答題中都會(huì)出現(xiàn)在客觀題、解答題中都會(huì)出現(xiàn)考查方式考查方式: :考查等差、等比數(shù)列的基本量的求解考查等差、等比數(shù)列的基本量的求解, ,考查考查a an n與與s sn n的的關(guān)系關(guān)系, ,遞推關(guān)系等遞推關(guān)系等, ,體現(xiàn)方程思想、整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)方程思

12、想、整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用的應(yīng)用1(1)nn2n1,.2an2，【典題典題1 1】(1)(2015(1)(2015衢州模擬衢州模擬) )在數(shù)列在數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+ +ln ,ln ,則則a an n= =( () )a.2+lnna.2+lnnb.2+(n-1)lnnb.2+(n-1)lnnc.2+nlnnc.2+nlnnd.1+n+lnnd.1+n+lnn(2)(2016(2)(2016浙江五校聯(lián)考浙江五校聯(lián)考) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s sn n, ,且且s sn n= =則則a an n

13、= = 【信息聯(lián)想信息聯(lián)想】（1 1）看到）看到a an+1n+1=a=an n+ln +ln ，即，即a an+1n+1-a-an n=ln(n+1)=ln(n+1)-ln n-ln n，想到，想到_._.（2 2）看到前）看到前n n項(xiàng)和形式，想到項(xiàng)和形式，想到_._.1(1)n累加或累乘累加或累乘1nnn 1s ,n1,ass,n2【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選a.aa.an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+=ln

14、n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+ln2-ln1+2=2+lnn.+ln2-ln1+2=2+lnn.(2)(2)當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),s,sn n=2a=2an n=2(s=2(sn n-s-sn-1n-1),s),sn n=2s=2sn-1n-1,s,s1 1=2,=2,所以所以s sn n=2=2n n，所以，所以a an n= =n 12n12n2.，【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】題題(1)(1)條件變化為條件變化為: :已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=1,=1,2na2nan+1n+1=(n+1)a=(n+1)an n, ,求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公

15、式. .【解析解析】已知條件可化為已知條件可化為n 1nan1,a2nnn 1n 22n1n 1n 2n 31n 1aaaaaaaaaann1n22n1.2(n1) 2(n2) 2(n3)2 12所以【規(guī)律方法規(guī)律方法】求通項(xiàng)的常用方法求通項(xiàng)的常用方法(1)(1)歸納猜想法歸納猜想法: :已知數(shù)列的前幾項(xiàng)已知數(shù)列的前幾項(xiàng), ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式, ,可采用可采用歸納猜想法歸納猜想法. .(2)(2)已知已知s sn n與與a an n的關(guān)系的關(guān)系, ,利用利用a an n= = 求求a an n. .(3)(3)累加法累加法: :數(shù)列遞推關(guān)系形如數(shù)列遞推關(guān)系形如a an+1n+1

16、=a=an n+f(n),+f(n),其中數(shù)列其中數(shù)列f(n)f(n)前前n n項(xiàng)和可求項(xiàng)和可求, ,這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí)這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí), ,常用累加法常用累加法( (疊加疊加法法).).(4)(4)累乘法累乘法: :數(shù)列遞推關(guān)系如數(shù)列遞推關(guān)系如a an+1n+1=g(n)a=g(n)an n, ,其中數(shù)列其中數(shù)列g(shù)(n)g(n)前前n n項(xiàng)項(xiàng)積可求積可求, ,此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法( (疊乘法疊乘法).).1nn 1s ,n1ss,n2，（5 5）構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如）構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如a an+1n+1=pa=pan n+q(p,q

17、+q(p,q為常數(shù)為常數(shù)) )可化為可化為a an+1n+1+ =p(a+ =p(an n+ )(p1)+ )(p1)的形式，利用的形式，利用 是以是以p p為為公比的等比數(shù)列求解公比的等比數(shù)列求解.(.(又配湊法或待定系數(shù)法又配湊法或待定系數(shù)法) )遞推關(guān)系形如遞推關(guān)系形如a an+1n+1= (p= (p為非零常數(shù)為非零常數(shù)) )可化為可化為的形式的形式. .（取（取倒數(shù)法倒數(shù)法）qp 1qp 1nqap 1nnpaapn 1n111aap)1, 0)(1 ppnfpaann（6 6）.)(:111后累加法求解后累加法求解待定系數(shù)法或化為待定系數(shù)法或化為求法求法 pnfpapannnnn

18、11 1,22(), .nnnnnaaaanna1.(1).在數(shù)列中求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）.已知已知an中中,a1=1 , , 求通項(xiàng)求通項(xiàng)annnnnaaa112.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=4,a=4,a2 2=2,a=2,a3 3=1,=1,又又aan+1n+1-a-an n 成等差數(shù)列成等差數(shù)列(nn(nn* *),),則則a an n等于等于. .【解析解析】由已知由已知,a,an+1n+1-a-an n 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為-2,-2,公差為公差為1 1的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,a an+1n+1-a-an n=-2+(n-1)=n-3,=-2+(n-1)=n

19、-3,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1= .= .答案答案: :2n7n1422n7n142【加固訓(xùn)練加固訓(xùn)練】3.3.（20162016杭州模擬）等差數(shù)列杭州模擬）等差數(shù)列aan n 中，中，a a1 1= =2 015,2 015,前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s sn n, =-2, =-2，則，則s s2 2 017017的值為的值為_._.1012ss1210【解析解析】設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d d，則則所以所以 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2 0152 0

20、15，公差為，公差為-1-1的等差數(shù)列，的等差數(shù)列， =2 015+(n-1)(-1)=2 016-n,=2 015+(n-1)(-1)=2 016-n,s s2 2 017017=-2 017.=-2 017.答案：答案：-2 017-2 017n1sddnan22，nsnnsn熱點(diǎn)考向二熱點(diǎn)考向二 求數(shù)列的前求數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 【考情快報(bào)考情快報(bào)】高頻考向高頻考向多維探究多維探究難度難度: :中檔題中檔題命題指數(shù)命題指數(shù): :題型題型: :客觀題、解答題都可能出現(xiàn)客觀題、解答題都可能出現(xiàn)考查方式考查方式: :主要考查等差、等比數(shù)列前主要考查等差、等比數(shù)列前n n項(xiàng)和公式以及其他求項(xiàng)和

21、公式以及其他求和方法和方法, ,尤其是錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)相消法是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容尤其是錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)相消法是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容, ,常與通項(xiàng)公式相結(jié)合考查常與通項(xiàng)公式相結(jié)合考查, ,有時(shí)也與函數(shù)、方程等知識(shí)綜合命有時(shí)也與函數(shù)、方程等知識(shí)綜合命題題命題角度一命題角度一 基本數(shù)列求和、分組求和基本數(shù)列求和、分組求和【典題典題2 2】設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s sn n(nn(nn* *),),數(shù)列數(shù)列aa2n-12n-1 是首是首項(xiàng)為項(xiàng)為1 1的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,數(shù)列數(shù)列aa2n2n 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,且滿足且滿足s s3 3=a=a4 4,

22、a,a3 3+a+a5 5=a=a4 4+2.+2.(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .(2)(2)求求s s2n2n. .【信息聯(lián)想信息聯(lián)想】(1)(1)看到數(shù)列看到數(shù)列aa2n-12n-1 是等差數(shù)列、是等差數(shù)列、aa2n2n 是等比是等比數(shù)列數(shù)列, ,想到想到_._.(2)(2)看到求看到求s s2n2n, ,想到想到_._.等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等差、等比數(shù)列前等差、等比數(shù)列前n n項(xiàng)和分組求和項(xiàng)和分組求和【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為設(shè)等差數(shù)列的公差為d,d,等比數(shù)列的公比為等比數(shù)列的公比為q,q,則則a a1

23、1=1,a=1,a2 2=2,a=2,a3 3=1+d,a=1+d,a4 4=2q,a=2q,a5 5=1+2d,=1+2d,所以所以解得解得d=2,q=3.d=2,q=3.所以所以a an n= (kn= (kn* *).).(2)s(2)s2n2n=(a=(a1 1+a+a3 3+ +a+a2n-12n-1)+(a)+(a2 2+a+a4 4+ +a+a2n2n) )=(1+3+5+=(1+3+5+2n-1)+(2+2n-1)+(23 30 0+2+23 31 1+ +2+23 3n-1n-1) )4d2q(1d) (12d)22q ， ，n12n,n2k1,2 3,n2kn2n2 1 3

24、12n1 nn13 .21 3命題角度二命題角度二 裂項(xiàng)相消求和裂項(xiàng)相消求和【典題典題3 3】已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s sn n,s,s5 5=35,a=35,a5 5和和a a7 7的等的等差中項(xiàng)為差中項(xiàng)為13.13.(1)(1)求求a an n及及s sn n. .(2)(2)令令b bn n= (nn= (nn* *),),求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .2n4a1【信息聯(lián)想信息聯(lián)想】(1)(1)看到等差數(shù)列、等差中項(xiàng)看到等差數(shù)列、等差中項(xiàng), ,想到等差數(shù)列的想到等差數(shù)列的_._.(2)(2)看到看到b bn n= = 的結(jié)構(gòu)的

25、結(jié)構(gòu), ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,想到想到_._.基本量、基本公式基本量、基本公式2n4a1裂項(xiàng)裂項(xiàng)相消求和相消求和【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為設(shè)等差數(shù)列的公差為d,d,因?yàn)橐驗(yàn)閟 s5 5=5a=5a3 3=35,a=35,a5 5+a+a7 7=26,=26,所以所以解得解得a a1 1=3,d=2,=3,d=2,所以所以a an n=3+2(n-1)=2n+1(nn=3+2(n-1)=2n+1(nn* *),),s sn n=3n+ =3n+ 2=n2=n2 2+2n(nn+2n(nn* *).).(2)(2)由由(1)(1)知知a an

26、 n=2n+1,=2n+1,所以所以b bn n= =所以數(shù)列所以數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和t tn n= =11a2d7,2a10d26,n n122n4111,a1n n1nn1111111n(1)()() 1.223nn1n1n1 命題角度三命題角度三 錯(cuò)位相減求和錯(cuò)位相減求和【典題典題4 4】已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為s sn n, ,公差公差d0,d0,且且s s3 3+s+s5 5=50,a=50,a1 1,a,a4 4,a,a1313成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .(2)(2)設(shè)設(shè) 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1,1,公比為公比為3 3的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和t tn n. .nnba【現(xiàn)場(chǎng)答案現(xiàn)場(chǎng)答案】【糾錯(cuò)析因糾錯(cuò)析因】找出以上答案的錯(cuò)誤之處找出以上答案的錯(cuò)誤之處, ,分析錯(cuò)因分析錯(cuò)因, ,并給出正確并給出正確答案答案. .提示提示: :以上解題過程中出錯(cuò)之處是以上解題過程中出錯(cuò)之處是- -后所得式子最后一項(xiàng)的后所得式子最后一項(xiàng)的符號(hào)寫錯(cuò)符號(hào)寫錯(cuò), ,應(yīng)是減號(hào)應(yīng)是減號(hào), ,從而導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)從而導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò). .【規(guī)范解答規(guī)范解答】（1 1）依題意得）依題意得所以所以a