5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算教師(一)解析

1、第1頁(yè)共 15 頁(yè)5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算【2014 高考會(huì)這樣考】1考查平面向量的概念、線性運(yùn)算；2考查向量運(yùn)算的幾何意義，向量共線的應(yīng)用.【復(fù)習(xí)備考要這樣做】1重視向量的概念，熟練掌握向量加減法及幾何意義；2理解應(yīng)用向量共線和點(diǎn)共線、直線平行的關(guān)系.I要點(diǎn)梳理I1 .向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量； 向量的大小叫作向量的長(zhǎng)度（或稱模）平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量；其方向是任意的記作0一單位向量長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量片a非零向量a的單位向量為士皐a平行向量方向相同或相反的非零向量10 與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫作共線向量

2、相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0 的相反向量為 02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算力、aa交換律：a a+ b b= b b+ a a.結(jié)合律：(a a+ b b) + c c= a a+ (b b+ c c).減法求 a a 與 b b 的相反向量一 b b 的和的運(yùn)算叫a a b b= a a+ ( b b)第2頁(yè)共 15 頁(yè)作 a a 與 b b 的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)X與向量 a a 的積的運(yùn)算| |掃掃| |=| |陽(yáng)陽(yáng)| |;當(dāng)X0 時(shí)，X的方向與 a a 的方向相同；

3、 當(dāng)X0 時(shí)，掃的方向與 a a 的方向相反；當(dāng)X=0 時(shí)，X =0X=入灌；（入 +a a = =掃掃 + ；Xa a+b b）= X +X X）3.共線向量定理a a 是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)入使得 b b= :a,則向量 b b 與非零向量 a a 共線.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1.向量的兩要素向量具有大小和方 向兩個(gè)要素用有向線段表示向量時(shí)，與有向線段起點(diǎn)的位置沒(méi)有關(guān) 系.同向且等長(zhǎng)的有向線段都表示同一向量.2.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的 向量.3.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題， 可用向量共線來(lái)解決， 但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系, 當(dāng)兩向

4、量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直 線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合.I基礎(chǔ)自測(cè)1. 若 a a =向東走 8 km”，b b=向北走 8 km，貝 U |a a + b b| =_; a a + b b 的方向是I.答案 82 東北方向解析 根據(jù)向量加法的幾何意義，|a a+ b b 表示以 8 km 為邊長(zhǎng)的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)， |a a+ b b|= 8,2, a a+ b b 的方向是東北方向.如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 為 DC 邊的中點(diǎn),AD = b b,貝 U BE =_ .1答案 b b 2 a a且 AB= a a,2.第3頁(yè)共 1

5、5 頁(yè)有ir即觀察選項(xiàng)易知C滿足題意.題型一平面向量的概念辨析【例 1】給出下列命題：1_若a a= b b,貝 U a a= b b;若 A, B, C, D 是不共線的四點(diǎn)， 貝 U AB=DC 是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件； 若 a a= b b, b b= c,c,則 a a= c;c;a a = b b 的充要條件是a a=b b且 a a / b b. 其中正確命題的序號(hào)是.1 解析 BE= BA +AD+ 1DC1 1=-a a+ b b+ 2a a= b bqa a.3.已知 D 為三角形 ABC 邊 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足PA+ BP+ CP= 0, AP

6、= ?PD，則實(shí)數(shù) 入 的值為_ .答案2A解析如圖所示，由AP= ?PD，且PA+EP+CP= 0,貝 yP是以 AB、2.已知 O 是厶 ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D 為 BC 邊的中點(diǎn)，且 2OA + OB+ OC= 0,那么（A. AO=ODB.AO = 2ODC.AO = 3ODD. 2AO= OD答案解析 由 2OA+ OB + OC = 0 可知，O 是底邊 BC 上的中線 AD 的中點(diǎn)，故 AO = OD.(2012 四川）設(shè) a a、b b 都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使i=常成立的充分條件是（A . a a= b ba a / b bC. a a = 2b ba a / b

7、 b 且|a a|= |b b|答案 Ca a解析 a a 表示與a同向的單位向量,器示與b同向的單位向量，只要a與b同向,AC 為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此AP= 2PD，貝y X=第4頁(yè)共 15 頁(yè)答案解析 不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.2正確./AB= DC , |AB|=|5C| 且 AB/DC,又/ A, B, C, D 是不共線的四點(diǎn)，四邊形 ABCD 為平行四邊形；反之，若四邊形 ABCD 為平行四邊形，則AB/ De 且 AB|=|DC|,因此，AB=DC.3正確./ a a = b b, a a, b b 的長(zhǎng)度相等且方向相同；又 b b= c

8、c, b b, c c 的長(zhǎng)度相等且方向相同， a a, c c 的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a a = c c.4不正確.當(dāng) a a / b b 且方向相反時(shí)，即使|a a|=|b b|,也不能得到 a a = b b,故|a a|=|b b|且 a a / b b” 不是“a a= b b”的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號(hào)是.探究提高(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.(2) 相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(3) 共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖像移動(dòng)混為一談.

9、非零向量 a a 與看的關(guān)系：|0|0j 是 a a 方向上的單位向量.山“氓下列命題中正確的是()A . a a 與 b b 共線，b b 與 c c 共線，則 a a 與 c c 也共線B .任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C .向量 a a 與 b b 不共線，則 a a 與 b b 都是非零向量D .有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行答案 C解析 由于零向量與任一向量都共線，所以A 不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，所以B 不正第5頁(yè)共 15 頁(yè)確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同

10、無(wú)關(guān)， 所以 D 不正確；對(duì)于 C,其條件以否定形式給出， 所以可從其逆否命題入手來(lái)考慮，假設(shè) a a 與 b b 不都是非零向量，即 a a 與 b b 中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a a 與 b b 共線，符第6頁(yè)共 15 頁(yè)合已知條件，所以有向量a a 與 b b 不共線，則 a a 與 b b 都是非零向量，故選C.題型二 向量的線性運(yùn)算【例 2 如圖，以向量OA= a a, OB= b b 為鄰邊作？OADB ,BM= CN，:3廣廣 ”* *=1CD，用 a a, b b 表示 OM ,ON, MN.思維啟迪：結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊

11、形法則是向量加減運(yùn)算 的關(guān)鍵.解 / EA= OA - OB = a a b b, El =1EA =1a a-2 3b,b,OM = OB + BM = ia a+ 5b b.2112C.2b-1c0 尹+2c答案 A第7頁(yè)共 15 頁(yè)O O1O1O1OON=OC+ -CD=- OD+7OD2O22=3OD= 3a+3b，.MN = ON-OM = 3a a+ fb b-4511綜上，OM=1a a +5b b,ON=2a a+2b b, MN = 7a a -b.663326探究提高（1）解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個(gè)問(wèn)題間的相互關(guān)系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量

12、將加減法相互轉(zhuǎn)化.（2）用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：觀察各向量的位置； 尋找相應(yīng)的三角形或多邊形； 運(yùn)用法則找關(guān)系； 化簡(jiǎn)結(jié)果.繪式訂濟(jì)？ 在厶ABC中，AB= c c，AC= b b，若點(diǎn)D滿足 BD =2DC，則AD等于（）2 15 2A 2b+1cB.3c-?解析 /BD=2DC，. AD -AB=2（AC- AD）， 3AD = 2AC + AB，第8頁(yè)共 15 頁(yè)二 AD=3 正+1AB=知+3c c.題型三共線向量定理及應(yīng)用【例 3】設(shè)兩個(gè)非零向量 a a 與 b b 不共線,(1)若 AB= a a+ b b, EBC= 2a a + 8b b, CD = 3(a

13、a-b b),求證：A、B、D 三點(diǎn)共線;試確定實(shí)數(shù) k,使 ka a+ b b 和 a a + kb b 共線.思維啟迪：解決點(diǎn)共線或向量共線的問(wèn)題，要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行.BD = BC + CD = 2a a+ 8b b+ 3( a a b b)=2 a a + 8b b+ 3 a a 3 b b= 5( a a+ b b)= 5AB. A、B、D 三點(diǎn)共線.(2)解 / ka a+ b b 與 a a+ kb b 共線，存在實(shí)數(shù) 人 使 ka a+ b b=Xa a + kb b),即 ka a+b b= X + Xb b.(k Xa a=(X k-1)b b. a a、b b 是不共

14、線的兩個(gè)非零向量，k X= X 1=0, k21=0.k= 1.探究提高(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.(2)向量 a a、b b 共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)X,X，使Xa a+Xb b= 0 成立，若Xa a +Xb b= 0,當(dāng)且僅當(dāng)X= X=0 時(shí)成立，否則向量 a a、b b 不共線.壺九汕 I 沽鳥 設(shè)D、E、F分別是 ABC 的三邊 BC、CA、AB 上的點(diǎn)，且 DC = 2BD, CE =2EA, AF = 2FB，貝 V AD + BE+ CF 與 BC()A .反向平行B .同向平行

15、C .互相垂直D .既不平行也不垂直答案 A(1)證明/ AB = a a + b b, Be = 2a a+ 8b b,CD = 3(a a b b), AB、BD 共線，又它們有公共點(diǎn)B,第9頁(yè)共 15 頁(yè)解析 由題意，得 DC =DA+ AC,BD=BA+AD.第10頁(yè)共 15 頁(yè)又 DC = 2BD，所以DA+ AC = 2(BA + AD).，口宀1T2TT1T2T同理，得 BE = 3BC + 3BA, CF = 3CA+ 3CB.-T-T-T1 -T將以上三式相加，得 AD + BE + CF = -BC.故選 A.方程思想在平面向量的線性運(yùn)算中的應(yīng)用典例 4: (14 分)如圖

16、所示，在 ABO 中，OC =1OA, 0D = OB, AD 與BC相交于點(diǎn) M，設(shè) OA = a a, OB= b b.試用 a a 和 b b 表示向量 OM.審題視角(1)用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.既然 OM 能用 a a、b b 表示，那我們不妨設(shè)出 OM = ma a + nb.b.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解.規(guī)范解答解設(shè)OM=ma a+ nb b,則 AM = OM OA = ma a+ n b b a a= (m- 1) a a+ nb b.TTT1 TT1AD = OD OA= ?OB OA=

17、 a a+ 尹3 分又A、M、D三點(diǎn)共線， AM與AD共線.存在實(shí)數(shù) t，使得AM= tAD,- (m 1)a a+ nb b= ta a + *tb.b.,消去 t 得，m 1 = 2n,即 m + 2n = 1.7 分即(m 1)a a+ n b b= t a a+分第11頁(yè)共 15 頁(yè)CB=B-C=b-4a=-4a+b.又 C、M、B 三點(diǎn)共線， CM 與 CB 共線.10 分存在實(shí)數(shù) X,使得 CM = tiCB,C i im4 =4tl44，消去 ti得，4m+ n=112 分小=t113T13由得 m= 7, n= 7, OM =尹 + 7b b.14 分溫馨提醒 （1）本題考查了

18、向量的線性運(yùn)算，知識(shí)要點(diǎn)清楚，但解題過(guò)程復(fù)雜，有一定的 難度.易錯(cuò)點(diǎn)是，找不到問(wèn)題的切入口，亦即想不到利用待定系數(shù)法求解.數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有形”的量，因此在解 決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最 重要的方法與技巧.如本題易忽視A、M、D 共線和 B、M、C 共線這個(gè)幾何特征.（4）方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會(huì)思想方法感悟提高方法與技巧1 .將向量用其它向量（特別是基向量）線性表示，是向量坐標(biāo)形式的基礎(chǔ).2 可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線.如 AB CD 且 AB 與 CD 不共線，則 AB /

19、 CD ;若 AB / BC,則 A、B、C 三點(diǎn)共線.失誤與防范1 .解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小， 更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2 .在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤.練出高分又/ CM =OM OC1ma a+ nb b 二a anb b.第12頁(yè)共 15 頁(yè)A 組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35 分鐘，滿分：57 分）一、選擇題（每小題 5 分，共 20 分）1 .給出下列命題：1兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；2兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；3掃=

20、0（入為實(shí)數(shù)），則入必為零；4人為實(shí)數(shù)，若/a/a= b b，貝 U a a 與 b b 共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為A . 1B. 2C. 3D. 4答案 C解析 錯(cuò)，由于終點(diǎn)相同，兩起點(diǎn)不一定相同，所以可以不共線.2對(duì)，由于模是實(shí)數(shù)，所以可以比較大小.3錯(cuò)，由于 a a = 0,苗 0 時(shí)，也可以得 掃=0.4錯(cuò)，當(dāng) 匕尸 0 時(shí)，雖然?a=向，但是 a a 與 b b 可以不共線.2 .設(shè) P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，EBC+ BA = 2BP，貝 VA. PA + PB= 0B.PC + PA= 0C.PB + PC= 0D.PA + PB + PC = 0答案 B解析 如圖，根

21、據(jù)向量加法的幾何意義有BC+BA= 2BP?P是AC 的中點(diǎn)，故 PA+ PC = 0.3.已知向量 a a, b b 不共線，c c= ka a+ b b (k R R), d d= a a b b.如果 c c/ d d,A . k= 1 且 c c 與 d d 同向B. k = 1 且 c c 與 d d 反向C. k= 1 且 c c 與 d d 同向D . k= 1 且 c c 與 d d 反向答案 D解析/ c/c/ d d, c c= ?d?d,k =入錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)為 3.（ ）那么（）第13頁(yè)共 15 頁(yè)即 ka a+b b= Xa ab b), 丨I.匕一 14.（2011

22、四川）如圖，正六邊形 ABCDEF 中，BA + CD + EF 等于（B.BEC.ADD.CF答案 D解析因 ABCDEF 是正六邊形,故 BA + CD + EF = DE + CD + EF = CE + EF = CF .二、填空題（每小題 5 分，共 15 分）5.設(shè) a a、b b 是兩個(gè)不共線向量，AB = 2a a+ pb b,BC= a a + b b, CD = a a 2b,b,若 A、B、D 三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) p 的值為_ .答案 1解析 / BD = BC+CD= 2a a b b,又 A、B、D 三點(diǎn)共線，T Tf2=2入存在實(shí)數(shù) 人使 AB =ED.即$, p=

23、1.p=-入6.在？ABCD 中，AB = a a, AD = b b, AN= 3NC, M 為 BC 的中點(diǎn)，則 MN =_（用 a a,b b 表示）.答案-Ja a + 4b bTTT3 T3解析 由 AN = 3NC 得 AN= 4AC= * a a+ b b）,-T1-T-T-TAM = a a+ ?b b,所以 MN = AN AM3111=嚴(yán) +b）-a a+ 尹 一 4a a+ 4b b.7.給出下列命題：1向量 AB 的長(zhǎng)度與向量 BA 的長(zhǎng)度相等；2向量 a a 與 b b 平行，則 a a 與 b b 的方向相同或相反；3兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；4向

24、量 AB 與向量 CD 是共線向量，則點(diǎn) A、B、C、D 必在同一條直線上.其中不正確的個(gè)數(shù)為 _ .第14頁(yè)共 15 頁(yè)答案 2解析命題正確，不正確.、選擇題（每小題 5 分，共 15 分）第15頁(yè)共 15 頁(yè)三、解答題洪 22 分）18.（10 分）若 a a, b b 是兩個(gè)不共線的非零向量， a a 與 b b 起點(diǎn)相同，則當(dāng) t 為何值時(shí)，a a, tb b, 3（a a + b b）三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？解 設(shè) 0A= a a, OB = tb b, 0C= 1（a a+ b b）,3=(1w+2AC=(1 Ra a+才 b.b.- im -又 AG = AC + CG =

25、AC + mCF = AC + (CA + CB),解得R=m= f, / AG = 3a a+ 3b b.B 組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：25 分鐘，滿分：43 分）AC=OC oA2 13a+ 3b，AB = OB OA = t b a a.要使 A、B、C 三點(diǎn)共線，只需 AC = 4B.2 1即3a a + 3b b =入 b b ?a.1二當(dāng) t= 2 時(shí)，三向量的終點(diǎn)在同一條直 線上.9.（12 分）如圖，在 ABC 中，E、F 分別為 AC、AB 的中點(diǎn)，BE與 CF 相交于 G 點(diǎn)，設(shè)AB=a a,AC= b,b,試用 a a, b b 表示 AG.解 AG= AB + BG= AB

26、+ ?BE=AB+ *BA + Be)=(1 m)Ao+ mmAB =m2 a a+ (1 m) b,b,11 m =才第16頁(yè)共 15 頁(yè)1 .(2012 浙江)設(shè) a a, b b 是兩個(gè)非零向量.A .若 |a a+ b b|= |a a| |b b|,貝Ua a 丄 b bB .若 a a 丄 b b,則 |a a+ b b|= |a a| |b b|C .若|a a+ b b|= |a a| |b b|,則存在實(shí)數(shù)入使得 b b= /aD .若存在實(shí)數(shù) 人使得 b b=掃，則|a a+ b b|= |a a| |b b|答案 C解析由 |a a + b b|= |a a | |b b

27、| 知(a a+ b b)2= (|a a | |b b|)2,即 a a2+ 2a a b b+ b b2= |a a|2 2|a a|b b|+ |b b|2, a a b b= |a a|b b|./ a a b b= |a a|b b| cos a a, bb,cosa a,bb=1, a a,bb= n,此時(shí) a a 與 b b 反向共線，因此 A 錯(cuò)誤.當(dāng) a a 丄 b b 時(shí)，a a 與 b b 不反向也不共線，因此 B 錯(cuò)誤. 若|a a+ b b|= |a a| |b b|,則存在實(shí)數(shù) 冶一 1,使 b b=a a, 滿足 a a 與 b b 反向共線，故 C 正確.若存在

28、實(shí)數(shù)人使得 b b=掃，則 |a a+ b b|= |a a+ /|= |1 + /|a a|,|a a| |b b|= |a a| | a|= (1|/)|a a|,只有當(dāng)一 1w入w0 時(shí)，|a a+ b b|= |a a| |b b|才能成立，否則不能成立，故 D 錯(cuò)誤.2.已知 ABC 和點(diǎn) M 滿足 IMA + MB + MC = 0,若存在實(shí)數(shù) m 使得 AB+ AC = mAM 成立，則m 等于A . 2B . 3答案 B解析由已知條件得 MB + MC = MA.如圖，因此延長(zhǎng) AM 交 BC 于 D 點(diǎn)，則 D 為 BC 的中點(diǎn).延長(zhǎng)BM 交 AC 于 E 點(diǎn)，延長(zhǎng) CM 交

29、 AB 于 F 點(diǎn)，同理可證 E、F 分第17頁(yè)共 15 頁(yè)別為 AC、AB 的中點(diǎn)，即 MABC 的重心.第18頁(yè)共 15 頁(yè)2 1 AM = -AD = -(AB + AC)，即 AB+ AC= 3AM，貝 U m= 3.33 P 的軌跡一定通過(guò) ABC 的內(nèi)心.二、填空題（每小題 5 分，共 15 分）_（將正確的序號(hào)填在橫線上）.2a a 3b b= 4e e,且 a a+ 2b b= 3e e;存在相異實(shí)數(shù)入，使 入 a a +b b= 0;x a a+ y b b= 0(實(shí)數(shù) x, y 滿足 x+ y= 0);若四邊形 ABCD 是梯形，則 AB 與 CD 共線.答案解析 由得 10a a b b= 0,故對(duì).對(duì)對(duì)于當(dāng) x= y = 0 時(shí)，a a 與 b b 不一定共線，故不對(duì)若AB/CD，則 AB 與CD共