高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)課件魯閩皖專用： 2.12 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例新人教A版 高考

1、第十二節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例三年36考 高考指數(shù):1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值(最值)是考查重點(diǎn)；2.含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)；3.題型有選擇題和填空題，難度較小；與方程、不等式等

2、知識(shí)點(diǎn)交匯則以解答題為主，難度較大.1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_；若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_.如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0，則f(x)為_(kāi).(2)單調(diào)性的應(yīng)用若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，則y=f(x)在該區(qū)間上不變號(hào).單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)【即時(shí)應(yīng)用】(1)函數(shù)f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的單調(diào)情況是_.(2)設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能是_.(3)若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是r上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

3、_.【解析】(1)在(0，2)上有f(x)=1-cosx0，所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增.(2)由導(dǎo)函數(shù)圖象知，f(x)在(-,0)上為正，在(0,2)上為負(fù)，在(2,+)上為正，所以f(x)在(-,0)上是增函數(shù)，在(0,2)上是減函數(shù)，在(2,+)上是增函數(shù)，比較，只有符合.(3)函數(shù)y=x3+x2+mx+1是r上的單調(diào)函數(shù)，只需y=3x2+2x+m0恒成立，即=4-12m0，m答案：(1)單調(diào)遞增 (2) (3)m1.3132.函數(shù)極值的概念(1)極值點(diǎn)與極值設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及附近有定義，且在x0兩側(cè)的單調(diào)性_(或?qū)?shù)值異號(hào))，則x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)為函數(shù)的

4、極值.(2)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)若先增后減(導(dǎo)數(shù)值先正后負(fù))，則x0為_(kāi)點(diǎn).若先減后增(導(dǎo)數(shù)值先負(fù)后正)，則x0為_(kāi)點(diǎn).相反極大值極小值【即時(shí)應(yīng)用】(1)判斷下列結(jié)論的正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“”或“”)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn) ( )函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及附近有定義，如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值 ( )函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及附近有定義，如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值 ( )(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi).

5、(3)函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x的極值點(diǎn)為_(kāi).【解析】(1)導(dǎo)數(shù)為零只是函數(shù)在該點(diǎn)取極值的必要條件，正確，f(x0)為極小值，故錯(cuò)誤.(2)從f(x)的圖象可知f(x)在(a，b)內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增減增減，所以f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)；(3)由f(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3,當(dāng)x-3時(shí)，f(x)0,當(dāng)-3x1時(shí)，f(x)0,當(dāng)x1時(shí)，f(x)0,x=1和x=-3都是f(x)的極值點(diǎn).答案：(1) (2)1 (3)x=1,x=-33.函數(shù)極值與最值的求法(1)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：求導(dǎo)數(shù)f(x)；求方程f(x)=0的根；列表，檢驗(yàn)f(x)在方程f(x

6、)=0的根左右兩側(cè)的符號(hào)(判斷y=f(x)在根左右兩側(cè)的單調(diào)性)，確定是否為極值，是極大值還是極小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值可分兩步進(jìn)行：求y=f(x)在(a,b)內(nèi)的_；將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)為_(kāi)，最小的一個(gè)為_(kāi).極值最大值最小值【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：最值是否一定是極值？提示：不一定.如果最值在端點(diǎn)處取得就不是極值.(2)函數(shù)f(x)=3x-4x3，x0,1的最大值是_.【解析】由f(x)=3-12x2=0得x=f(0)=0，f( )=1，f(1)=-1，f(x)max=1.答案：112 ，12(3)已知函數(shù)

7、f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取極值10，則f(2)=_.【解析】f(x)=3x2+2ax+b，由題意即 得a=4或a=-3.但當(dāng)a=-3時(shí)，b=3,f(x)=3x2-6x+30，故不存在極值，a=4，b=-11，f(2)=18.答案：18f(1)10,f (1)021aba10,32ab0 4.導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題中，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值.解題過(guò)程中要時(shí)刻注意實(shí)際問(wèn)題的意義.【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函

8、數(shù)關(guān)系式為y= +81x-234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為_(kāi).(2)將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s= 則s的最小值是_.31x32(),梯形的周長(zhǎng)梯形的面積【解析】(1)y=-x2+81,令y=0得x=9或x=-9(舍去)，當(dāng)x9時(shí)y0；當(dāng)x9時(shí)y0，故當(dāng)x=9時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值；即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為9萬(wàn)件.(2)設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x，則：s=222(3x)4(3x)(0 x 1),1x133(x1)(1x)22 224(3x)s x,1x3s(x)=令s(x)=0(0 x1),得x=當(dāng)x(0, )

9、時(shí)，s(x)0,s(x)遞減；當(dāng)x( ,1)時(shí)，s(x)0,s(x)遞增；故當(dāng)x= 時(shí)，s取得最小值答案：(1)9萬(wàn)件 (2)22224(2x6) (1x )(3x) ( 2x)(1x )32242(3x1)(x3),(1x )31,313131332 3.332 33 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【方法點(diǎn)睛】1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍.2.導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟第一步：求定義域：求函數(shù)y=f(x)的定義域第二步：求根：求方程f(x)=0在定義域內(nèi)的根第三步：劃分區(qū)間：用求得的方程的根劃分

10、定義域所在的區(qū)間第四步：定號(hào)：確定f(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)第五步：結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.【提醒】當(dāng)f(x)不含參數(shù)時(shí)，也可通過(guò)解不等式f(x)0(或f(x)2時(shí)，y= -2sinx0，排除d.由y= -2cosx0得cosx 在滿足上式的x的區(qū)間內(nèi)，y是增函數(shù),由y= -2cosx 在滿足上式的x的區(qū)間內(nèi)，y是減函數(shù).由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無(wú)數(shù)多個(gè),b不正確，c正確.x21214，1214，(2)a= 時(shí)，f(x)=x(ex-1)- x2，f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).當(dāng)x(-,-1)時(shí),f(x)0;當(dāng)x

11、(-1,0)時(shí)，f(x)0;當(dāng)x(0,+)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(-,-1)和(0,+)上單調(diào)遞增，在(-1，0)上單調(diào)遞減.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(0,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0).1212f(x)=x(ex-1-ax).令g(x)=ex-1-ax，則g(x)=ex-a.若a1，則當(dāng)x(0,+)時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x0時(shí),g(x)0，即f(x)0.若a1，則當(dāng)x(0,lna)時(shí)，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)=0，從而當(dāng)x(0,lna)時(shí),g(x)0，即f(x)0.綜合得a的取值范圍為(-,1.【互動(dòng)探究】若本例(2

12、)第問(wèn)中條件改為“若當(dāng)x0時(shí)，f(x)0”，則a的取值范圍是_.【解析】由例題知，若a1，則當(dāng)x(-,0時(shí)，g(x)為減函數(shù)，而g(0)=0，g(x)0,f(x)0.若0a1，則當(dāng)x(lna,0)時(shí)，g(x)為增函數(shù)，而g(0)=0，g(x)0,f(x)0,不合題意，若a0,則當(dāng)x(-,0時(shí)，g(x)為增函數(shù)，而g(0)=0,g(x)0,f(x)0,不合題意，a的取值范圍是1,+).答案：1,+)【反思感悟】1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，切記定義域優(yōu)先的原則，一定要注意先求定義域.2.恒成立問(wèn)題的處理，一般是采用“分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化”的方法.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.(1)若f(

13、x)在實(shí)數(shù)集r上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在(-1，1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】(1)由已知f(x)=3x2-a,f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增，f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立，即a3x2對(duì)xr恒成立.3x20,只需a0,又a=0時(shí)，f(x)=3x20且只有f(0)=0,故f(x)=x3-1在r上是增函數(shù)，a0.(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2在(-1,1)上恒成立.-1x1,3x23,只需a3.當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=3(x2-1),在(-1,1)上，有f(x) 時(shí)，m(x

14、)3,所以c-20,所以令y0得:r令y0得:0r當(dāng)3c 即 2時(shí)，函數(shù)y在(0，2上是單調(diào)遞減的，故建造費(fèi)用最小時(shí)r=2.當(dāng)c 即0 2時(shí)，函數(shù)y在(0，2上是先減后增的，故建造費(fèi)用最小時(shí)r=2160r328(c2)r20,r320;c2320,c292，320c292，320c2320.c2【反思感悟】1.解決實(shí)際問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模是關(guān)鍵，恰當(dāng)變量的選擇，決定了解答過(guò)程的繁簡(jiǎn)；函數(shù)模型的確定，決定了能否解決這個(gè)問(wèn)題.2.解決實(shí)際問(wèn)題必須考慮實(shí)際意義，忽視定義域是這類題目失分的主要原因.【變式訓(xùn)練】統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式

15、可以表示為： 已知甲、乙兩地相距100千米.(1)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？313yxx8(0 x120).128 00080【解析】(1)當(dāng)x=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了 2.5小時(shí)，要耗油( 403- 40+8)2.5=17.5(升).答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升.(2)當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了 小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)=(0 x120),1128 000380100 x32131001800

16、15(xx8)x128 00080 x1 280 x410040h(x)= (0 x120).令h(x)=0,得x=80.當(dāng)x(0,80)時(shí)，h(x)0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(80,120時(shí)，h(x)0,h(x)是增函數(shù).當(dāng)x=80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)=11.25.因?yàn)閔(x)在(0,120上只有一個(gè)極值，所以它是最小值.答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.3322x800 x80640 x640 x【變式備選】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3a5)的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x

17、元(9x11)時(shí)，一年的銷售量為(12-x)2萬(wàn)件.(1)求分公司一年的利潤(rùn)l(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)l最大，并求出l的最大值q(a).【解析】(1)分公司一年的利潤(rùn)l(萬(wàn)元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：l=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)l=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令l=0得x=6+ 或x=12(不合題意，舍去).3a5,86+在x=6+ 兩側(cè)，由左向右l的值由正變負(fù).所以當(dāng)86+ 9即3a 時(shí)，lmax=l(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).

18、2a3228a.332a32a392228a33，922a32a32a3當(dāng)96+ 即 a5時(shí)，lmax=l(6+ )=(6+ -3-a)12-(6+ )2=4(3- )3.所以q(a)=即：若3a 則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)l最大，最大值q(a)=9(6-a)(萬(wàn)元)；若 a5，則當(dāng)每件售價(jià)為(6+ )元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)l最大，最大值q(a)=4(3- )3(萬(wàn)元).1a3399(6a) 3a2.194(3a) a53292，922a31a3【滿分指導(dǎo)】函數(shù)綜合題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011湖南高考)設(shè)函數(shù)f(x)=x- -alnx(ar).(1)討論f(x)的單調(diào)性

19、；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過(guò)點(diǎn)a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)的直線的斜率為k，問(wèn)：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1x【解題指南】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)，就a的取值分類討論；(2)假設(shè)存在a滿足條件，判斷條件是否滿足.【規(guī)范解答】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+).f(x)= 2分令g(x)=x2-ax+1,其判別式=a2-4.當(dāng)|a|2時(shí)，0，f(x)0,故f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增. 3分當(dāng)a-2時(shí)，0,g(x)=0的兩根都小于0，在(0,+)上，f(x)0，故f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增. 4分2221axax11x

20、xx當(dāng)a2時(shí)，0,g(x)=0的兩根為當(dāng)0 xx1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x1xx2時(shí)，f(x)0；當(dāng)xx2時(shí)，f(x)0，故f(x)分別在(0,x1),(x2,+)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減. 6分21aa4x,222aa4x2，(2)由(1)知，a2.因?yàn)閒(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ -a(lnx1-lnx2)，所以k= 8分又由(1)知，x1x2=1.于是k=2-a若存在a，使得k=2-a,則即lnx1-lnx2=x1-x2，亦即x2- -2lnx2=0(x21)(*) 10分1212xxx x1212121212f(x )f(x )lnxlnx11axxx xxx 1

21、212lnxlnx,xx1212lnxlnx1,xx21x再由(1)知，函數(shù)h(t)=t- -2lnt在(0,+)上單調(diào)遞增，而x21，所以x2- -2lnx21- -2ln1=0.這與(*)式矛盾. 11分故不存在a，使得k=2-a. 12分1t21x11【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：(1)(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值( (或最值或最值) )不熟不熟練練, ,忽視忽視a a的值對(duì)的值對(duì)f(x)f(x)符號(hào)的影響符號(hào)的影響. .(2)(2)對(duì)存在性命題的解題方法不熟悉，不能準(zhǔn)確、有對(duì)存在性命題的解題方法不熟悉，不能準(zhǔn)確、有效地確定解題方法效地確定解題方法. .備備考考建建議議解決函數(shù)的綜合問(wèn)題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)在備考時(shí)要解決函數(shù)的綜合問(wèn)題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)在備考時(shí)要高度關(guān)注：高度關(guān)注：(1)(1)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值( (極值極值) )的求解應(yīng)熟的求解應(yīng)熟練掌握；練掌握；(2)(2)與數(shù)列、三角、解析幾何、不等式等綜合時(shí)，能與數(shù)列、三角、解析幾何、不等式等綜合時(shí)，能夠迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)