《平面向量數(shù)量積》

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義【課型】：新授課【課時】：第一課時教材分析本節(jié)內(nèi)容選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修四第二章第二節(jié)241平面向量數(shù)量積的物理背景及 其含義。本節(jié)內(nèi)容先通過物理中“功”的例子抽象出平面向量數(shù)量 積的概念，了解它的物理背 景，再在此基礎(chǔ)上探究學(xué)習(xí)數(shù)量積的幾何含義、性質(zhì)與運算律。平面向量的數(shù)量積是繼學(xué)習(xí) 了向量的線性運算后的又一重要運算，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。它既是對平面向量的深入學(xué)習(xí)與拓展，也為后續(xù)物理 應(yīng)用的學(xué)習(xí)、立體幾何問題的解決等提供了新的思路，起著重要的承 上啟下的銜接作用。在平 面向量數(shù)量積概念中，既有長度又有角度，既有數(shù)又有形，是代數(shù)、幾何與三角的最

2、佳結(jié)合 點，也很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。二、學(xué)情分析本節(jié)課的授課對象是高一學(xué)生，從知識起點看，在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向 量的概念及其線性運算，學(xué)習(xí)了功等簡單的物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般 方法；從能力上看，學(xué)生具備了一定程度的分析問題與解決問題的能力，也形成了一定的邏輯 思維；從情感上看，高一的學(xué)生對未知有探 求的渴望，有學(xué)習(xí)新知的渴望。但在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容 時，之前向量線性運算的知識會造成學(xué)生對數(shù)量積這個概念的理解上的偏差，干擾學(xué)生對數(shù)量 積概念的理解，另外，相對于線性運算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個不同性 質(zhì)的向量經(jīng)過數(shù)量積運算后，結(jié)果卻不是向量，

3、這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了困難。三、重難點重點：平面向量數(shù)量積的概念;難點：平面向量數(shù)量積的定義與幾何意義的理解。四、三維目標(biāo)（-）知識與技能說出平面向量數(shù)量積的概念；知道平面向量數(shù)量積的物理背景;（二）過程與方法通過把功這個式子推廣到一般形式來學(xué)習(xí)數(shù)量積概念的過程，學(xué)習(xí)從特殊 到一半的數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)方法；通過進一步根據(jù)圖式理解概念，鞏固數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。（三）情感、態(tài)度與價值觀通過生活中的物理問題引出數(shù)量積的概念，體會數(shù)學(xué)與生活與其他學(xué)科密切相關(guān)；通過解答新的運算與線性運算之間的區(qū)別，感受探索的樂趣，體驗到成功 解決疑問的快 樂。五、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課情景：某天老師的小車在路上拋錨

4、了，看到前方有一修車廠，需要將車子推到修車廠門口才可 以修理，老師用力F拉動汽車產(chǎn)生的位移為s,假設(shè)F是恒力。問題：老師做了多少功?【學(xué)生活動）學(xué)生在物理知沒的基礎(chǔ)上，很容易得到：W = Fscos3 o【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看這個式子，W是數(shù)量，F(xiàn)和s都是向量，而從物 理的角度看這個式子，其中F和s是力向量和位移向量的大小，所以TIIT可以將該式改成:問題：功的計算是一種向量間的運算，那是向量的線性運算么?【教師活動】教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)的向量的線性運算。【學(xué)生活動】學(xué)生很容易得到功的計算不屬于向量的線性運算問題：將向量的線性運算與功 的計算進行比較，請學(xué)生找兩者的區(qū)別 結(jié)

5、論：有兩個不同點：力口、減法運算都是兩個同性質(zhì)的向量進行運算，數(shù)乘是實數(shù)與一個向量的運 算，而功的運算是兩個不同性質(zhì)的向量一力和位移的運算；線性運算的結(jié)果還是同性質(zhì)的向量，而功的運算結(jié)果卻是數(shù)量 進而導(dǎo)入本節(jié)課的內(nèi)容一一 平面向量數(shù)量積?！驹O(shè)計意圖】教師通過生活中的親身經(jīng)歷提出問題引入新課，有利于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)同感與學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科與生活之間的密切聯(lián)系，后通過分析比較之前學(xué)習(xí)的向量運算，創(chuàng)建學(xué)生的認(rèn)知沖突，引出了平面向量數(shù)量積，點明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容（二） 逐步探索，發(fā)現(xiàn)新知1 .剖析概念，知道物理背景問題：你能用文字語言表述上面的“功的計算公式” 一Q （O COSO 嗎?【學(xué)生活動

6、】學(xué)生容易得到答案：功是力與位移大小及其夾角余弦的乘積。問題：如果將這個特殊的式子推廣到一般的式子，又該如何描述？T T【教師活動】教師通過一般的R= a Reos，引導(dǎo)學(xué)生得出答案結(jié)論：數(shù)量R是兩個向量的模及其夾角余弦的乘積?！窘處熁顒印拷o出向量數(shù)量積的定義。定義（板書）向量數(shù)量積:已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為日，我們把數(shù)量a b c° st叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab,即abab cosv另外，我們規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為【師生活動】教師結(jié)合圖像讓學(xué)生做進一步的理解。O 。【教師活動】學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后，又回到功的式子，請學(xué)生將功的式子改成 數(shù)量積的形

7、式?！緦W(xué)生活動1： F ； = F Seos【教師活動】教師點明功的數(shù)學(xué)實質(zhì)就是力f和位移s兩個向量的數(shù)量積。注意點：兩個不同性質(zhì)的向量經(jīng)過數(shù)量積運算后得到的是一個數(shù)量；兩個向量的夾角取值二范圍為o,二;符號ab不能寫成ab或者a b2 .明確內(nèi)涵，掌握幾何意義【教師活動】學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念，也明確了它的物理背景，那么從數(shù)學(xué)角度看 這個運算， 它的幾何意義又是什么呢？在發(fā)現(xiàn)它的幾何意義之前，先學(xué)習(xí)另一個 新的概念：向量投影。 定義（板書）向量投影：如下圖所示，我們把bcos叫做向量b在a方向上的投影，記作Oo ! = b c o So注意：投影也是數(shù)量?！窘處熁顒印空垖W(xué)生根據(jù)推車情景的簡圖回答

8、S在F上的投影【學(xué)生活動】學(xué)生將容易的得到：問題：學(xué)習(xí)了投影后，從新的角度看看數(shù)量積，能發(fā)現(xiàn)它的幾何意義嗎?【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生一起得到幾何意義是:數(shù)量積ab等于a的長度a與b在a方向上的投影b cosT的乘積。【設(shè)計意圖】新課程中，教學(xué)是師生積極交往互動、共同發(fā)展的，通過這一環(huán)節(jié)調(diào)動師生間與學(xué)生間的合作交流，通過討論合作突破難點，掌握重點，體會合作與成功的樂 趣。（三）自我嘗試，鞏固新知11 I T T * T T例1.已知a=5, Ib=4, a與b的夾角日二120,求ab【學(xué)生活動】該題請學(xué)生自主完成解：TTab 二 b cos 6二5 4 cosl20°1二5 4 （-）2=-10例2.已知在/ ABC中，AB二；，£二瓦當(dāng)a b < 0或a b=0時，試判斷/ ABC的 形狀。 【學(xué)生活動】該題請學(xué)生自主完成。解：ab>=abcosr, ab °4 4r T當(dāng)a b : 0時，COST ： ： ： 0,且 0,二I , v是鈍角，/ ABC是鈍角三角形；當(dāng)：二0時，cos 0,且“0,二1,二二90° ,/ ABC是 直角三角形【設(shè)計意圖】學(xué)生通過自主實踐，親身嘗試解答問題，將知識內(nèi)化、理解掌握。（四）小結(jié)升華，布置作業(yè)【學(xué)生活動】最后請學(xué)生小結(jié)今天所學(xué)的知識，教師可以從幾個