離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性及判別法

1、§ 5.4離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性及判別法1. 離散時(shí)間系統(tǒng)的平衡狀態(tài)(點(diǎn))設(shè)x(k 1) Ax(k), x(0)Xo, k 0, 1, 2, |,(5.仃)稱AXe = 0的Xe為(517)的平衡狀態(tài)(點(diǎn)).當(dāng)A奇異時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)平衡狀態(tài).2. 平衡狀態(tài)(點(diǎn))的穩(wěn)定性(1)穩(wěn)定：00,使當(dāng)| XoXel卜&時(shí),有|x(k)Xell ，L 0；(2)漸近穩(wěn)定：0,使當(dāng)X0kim|x(k)XeII時(shí),有Xe0 ；(3)全局漸近穩(wěn)定:任意X0(4)不穩(wěn)定：00,無(wú)論l|x(ki)-對(duì)定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定Rn,都有 pmlMk) Xe|0；多小正數(shù)，總有ki 0,使 Xe全局一致漸近穩(wěn)定

2、3.穩(wěn)定性判別對(duì)定常系統(tǒng)x(k1)= Ax(k)假設(shè)xe = 0穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定)，那么其它xe也穩(wěn)定(漸近穩(wěn)定)；假設(shè)Xe = 0漸近穩(wěn)定，那么Xe必為一致全局漸近穩(wěn)定;簡(jiǎn)單介紹Xe = 0穩(wěn)定性條件設(shè)(517)的解x(k) Akx0, k 0, 1, 2, III那么漸近穩(wěn)定"kim|x(kr 0 kiml|AkXo|卜 0(x 0),kk -1k=limAk0= limTJkT 10= limJk 0k：k 3: 二A的所有特征值的模全小于1-A的所有特征值都位于復(fù)平面上的單位圓內(nèi)其中J為A的假設(shè)當(dāng)形.kJi 如 Jk=.JrJ：且再如k-.k亠 1 k1101ICkJif101

3、1>=0 ? k00K J! 00-A的所有特征值的模全小于 1-A的所有特征值都位于復(fù)平面上的單位圓內(nèi)例設(shè)A有互不相同特征值 “ 2,111, n，那么T,使ATT-1由此可得I i | 1,i1,2, |,n二 lim /0,i1,2,111,nk*二 lim Ak 0.k?定理5.12系統(tǒng)為(517)的穩(wěn)定性判定如下：(i) Xe= 0穩(wěn)定二A所有特征值的模全小于1或等于1,且模等于1的特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊是一階的；(ii) Xe= 0漸近穩(wěn)定二A的所有特征值模全小于1.對(duì)一般非線性系統(tǒng)x(k 1) F(x(k), k 0, 1, 2, III (5.18)在Xe = 0(設(shè)F(0)

4、 = 0)的穩(wěn)定性判定方法有定理5.13對(duì)(5.18),假設(shè)x(k)的標(biāo)量函數(shù)V(x(k)，滿足(j)V(x(k)為正定；(ii) V(x(k) V(x(k 1) V(x(k)負(fù)定；(iii) 當(dāng) |x(k)| 時(shí)，有V(x(k).那么Xe = 0全局漸近穩(wěn)定的 假設(shè)無(wú)(iii),那么Xe 0是漸近穩(wěn)定的；再假設(shè)(ii)中 V(x(k)為半負(fù)定,那么xe 0僅是穩(wěn)定的 定理用于定常系統(tǒng)(517),即得定理5.14線性定常離散5.17的xj 0為漸近穩(wěn)定二對(duì)-Q > 0,李雅普諾夫方程AtPA P Q有唯一正定解P.證只證充分性,即已有對(duì)- Q > 0,atpA p Q有唯一解p0,令 V(Xk) = x：PXk,那么有V(xQ V(Xk J V(xJX： iPXk 1 - X： PXkx：(A：PA P)xr x：QXk,顯見V(Xk)為負(fù)定，故Xe = 0漸近穩(wěn)定.例5.6設(shè)a x(k 1)0試分析穩(wěn)定的條件解選Q = I,那么有AtPA P = a0皿P12a0II II II I0-x(k)bI,即fllpi210I Ip210 '0bP21p220b整理且比擬，得2Pii(1ab2r i,)1, MO ab) = 0, P22CI需滿足|a|1,|b| 1,(5.19)