基于ARMA模型的我國(guó)GDP時(shí)間序列分析與預(yù)測(cè)

1、基于ARMA模型的我國(guó)GDP時(shí)間序列分析與預(yù)測(cè)摘要:本文分析了1952-2011年我國(guó)GDP時(shí)間序列，在將該時(shí)間序列平穩(wěn)化的基礎(chǔ)上，建立自回歸移動(dòng)平均模（ARMA）,從中得出我國(guó)GDP序列的變化規(guī)律，并且預(yù)測(cè)未來(lái)兩年我國(guó)GDP的數(shù)值。關(guān)鍵字：時(shí)間序列；GDP ；ARMA模型；預(yù)測(cè)值1. 前言國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）代表一國(guó)或一個(gè)地區(qū)所有常住單位和個(gè)人在一定時(shí)期內(nèi)全部生產(chǎn)活動(dòng)的最終成果，是社會(huì)總產(chǎn)品價(jià)值扣除了中間投入價(jià)值后的余額，是國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)在核算期內(nèi)增加值的總和。GDP是聯(lián)合國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算體系（SNA）中最重要的總量指標(biāo)，不僅為政策制定者提供了反映經(jīng)濟(jì)總體規(guī)模和結(jié)構(gòu)、貧富狀況和人民平均生活水

2、平的量化依據(jù)，而且成為評(píng)價(jià)各個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)的標(biāo)尺，為世界各國(guó)廣泛使用。在社會(huì)經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的條件下，對(duì)我國(guó)GDP的發(fā)展模式的研究，以及在此基礎(chǔ)上對(duì)未來(lái)我國(guó)GDP的發(fā)展水平的預(yù)測(cè)就顯得尤為的重要。本文就此對(duì)我國(guó)GDP時(shí)間序列進(jìn)行分析，并且采用ARMA模型對(duì)序列進(jìn)行擬合，最后在此基礎(chǔ)上對(duì)后期二年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。2. ARMA模型2.1 ARMA模型概述ARMA模全稱(chēng)為自回歸移動(dòng)平均模型(Auto-regressive Moving Average Model，簡(jiǎn)稱(chēng) ARMA)是研究時(shí)間序列的重要方法。其在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)過(guò)程中既考慮了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在時(shí)間序列上的依存性, 又考慮了隨機(jī)波動(dòng)的干擾性, 對(duì)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行

3、短期趨勢(shì)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率較高, 是近年應(yīng)用比較廣泛的方法之一。ARMA模型是由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家GE1P1Box和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G1M1 Jenk in在20世紀(jì)70年代提出的著名時(shí)序分析模型,即自回歸移動(dòng)平均模型。ARMA模型有自回歸模型AR(q)、移動(dòng)平均模型MR(q)、自回歸移動(dòng)平均模型ARMA(p,q) 3種基本類(lèi)型。其中ARMA(p,q）自回歸移動(dòng)平均模型，模型可表示為：其中，為自回歸模型的階數(shù)，為移動(dòng)平均模型的介數(shù)；表示時(shí)間序列在時(shí)刻的值；為自回歸系數(shù)；表示移動(dòng)平均系數(shù)；表示時(shí)間序列在時(shí)期的誤差或偏差。2.2 ARMA模型建模流程首先用ARMA模型預(yù)測(cè)要求序列必須是平穩(wěn)的，也就是說(shuō)，在研究的時(shí)

4、間范圍內(nèi)研究對(duì)象受到的影響因素必須基本相同。若所給的序列并非穩(wěn)定序列，則必須對(duì)所給的序列做預(yù)處理，使其平穩(wěn)化，然后用ARMA模型建模。建模的基本步驟如下：（1）求出該觀察值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)（ACF)和樣本偏相關(guān)（PACF)的值。（2）根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行擬合。 （3）估計(jì)模型中未知參數(shù)的值。 （4）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?。如果擬合模型通不過(guò)檢驗(yàn)，轉(zhuǎn)向步驟（2），重新選擇模型再擬合。 （5）模型優(yōu)化。如果擬合模型通過(guò)檢驗(yàn)，仍然轉(zhuǎn)向步驟（2)，充分考慮各種可能，建立多個(gè)擬合模型，從所有通過(guò)檢驗(yàn)的擬合模型中選擇最優(yōu)模型。（6）利用擬合模型，預(yù)測(cè)序列的將來(lái)走勢(shì)。 3.

5、 我國(guó)GDP時(shí)間序列模型的建立3.1 數(shù)據(jù)的預(yù)處理 本文選取了我國(guó)1952-2011年的GDP數(shù)據(jù)作為時(shí)間序列觀察值。對(duì)此時(shí)間序列做時(shí)序圖如圖1所示：圖1 我國(guó)GDP時(shí)序圖由時(shí)間序列的時(shí)序圖可以發(fā)現(xiàn)GDP隨時(shí)間的增長(zhǎng)是呈指數(shù)趨勢(shì)。因此，對(duì)原始序列作對(duì)數(shù)變換并作出其時(shí)序圖如圖1所示：圖1 取對(duì)數(shù)后的GDP時(shí)序圖通過(guò)觀察取對(duì)數(shù)后的GDP時(shí)序圖，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)處理后的序列具有趨勢(shì)性。由于GDP帶有很強(qiáng)的趨勢(shì)成分, 而我們的目的主要是利用ARMA 模型對(duì)其周期成分進(jìn)行分析, 因此需要對(duì)此類(lèi)的數(shù)據(jù)先進(jìn)行消除趨勢(shì)性的處理, 然后建立ARMA模型。拿到觀察值序列之后，無(wú)論是采用確定性時(shí)序分析方法還是隨機(jī)時(shí)序分析方

6、法，分析的第一步都是要通過(guò)有效的手段提取信息中所蘊(yùn)含的確定性信息。在Box和Jenkins在Time Series Analysis Forecasting and Control一書(shū)中特別強(qiáng)調(diào)差分方法的使用，他們使用大量的案例分析證明差分方法是一種非常簡(jiǎn)便有效的確定性信息提取方法。實(shí)踐中，我們會(huì)根據(jù)序列的不同特點(diǎn)選擇合適的差分方式，常見(jiàn)情況有以下三種；（1） 序列蘊(yùn)含著顯著的線性趨勢(shì)，一階差分就可以實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)。（2） 序列蘊(yùn)含著曲線趨勢(shì)，通常低階（2階或3階）差分就可以提取出曲線趨勢(shì)的影響。（3） 蘊(yùn)含固定周期的序列，一般進(jìn)行步長(zhǎng)為周期長(zhǎng)度的差分運(yùn)算就可以較好地提取周期信息。從理論上而言，

7、足夠多次的差分運(yùn)算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確定性信息。但應(yīng)當(dāng)注意的是，差分運(yùn)算的階數(shù)并不是越多越好。差分運(yùn)算是一種對(duì)信息的提取加工過(guò)程，每次差分都會(huì)有信息的損失，在實(shí)際中差分運(yùn)算的階數(shù)要適當(dāng)，應(yīng)當(dāng)避免過(guò)差分。觀察時(shí)序圖2，可使用一階差分就可以提取序列的足夠信息。做一階差分后，做其序列圖3如下：圖3 一階差分后對(duì)數(shù)GDP時(shí)序圖從圖（3）可以觀察得出，序列大致趨于平穩(wěn)。為了進(jìn)一步檢驗(yàn)序列是否真正平穩(wěn)，在此使用Eviews統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)已轉(zhuǎn)換進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性有兩種檢驗(yàn)方法，一種是根據(jù)時(shí)序圖和自相關(guān)圖顯示的特征作出判斷的圖檢驗(yàn)方法；一種是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法。目前最常用

8、的平穩(wěn)性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法是單位根檢驗(yàn)（unit root test）。使用單位根檢驗(yàn)法對(duì)變換數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)得出檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示：Null Hypothesis: DLOGGDP has a unit roott-StatisticProb1*Augmented Dickey- Fuller Test Statistic-4.12832300540.0018930081454Test Critical Values 1% level-3.5526655874 5% level -2.9145174713 10% level-2.5950333156表1 DLOGGDP一階差分單位根檢驗(yàn)結(jié)合圖3與表1

9、，結(jié)果表明序列l(wèi)ogGDP經(jīng)過(guò)一階差分之后序列平穩(wěn)。3.2 模型的識(shí)別與選擇計(jì)算出樣本自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)的值之后，我們主要是根據(jù)它們表現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)腁RMA模型擬合觀察值序列。這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是要根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)估計(jì)自相關(guān)階數(shù) 和移動(dòng)平均階數(shù)，因此模型的識(shí)別過(guò)程也成為定階過(guò)程。一般ARMA模型定階的基本原則如圖4所示：圖4 ARMA(p,q)模型選擇原則利用Eviews統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行操作，可得樣本自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)圖如圖5所示： 圖5 差分序列自相關(guān)系數(shù)與偏相關(guān)系數(shù)圖通過(guò)對(duì)一階差分的對(duì)數(shù)序列的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)圖的分析觀察，可以知道模型大致可選

10、取兩種模型。第一種，自相關(guān)系數(shù)為拖尾，而偏相關(guān)系數(shù)為一階截尾。此時(shí)選取模型可以為ARIMA（1,1,0）模型。第二種，自相關(guān)二階截尾，而偏相關(guān)系數(shù)為一階截尾。此時(shí)選取模型可以為ARIMA(1,1,2）模型。3.3 參數(shù)估計(jì) 選擇擬合好后的模型之后，下一步就是要利用序列的觀察值確定該模型的口徑，即估計(jì)模型中未知參數(shù)的值。對(duì)于一個(gè)非中心化ARMA（p,q）模型，有 式中，該模型共含個(gè)未知參數(shù)：。對(duì)于未知參數(shù)的估計(jì)方法有三種：矩估計(jì)極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)。其中本文使用最小二乘估計(jì)法對(duì)序列進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。在ARMA(p,q)模型場(chǎng)合，記 殘差項(xiàng)為： 殘差平方和為： 是殘差平方和達(dá)到最小的那組參數(shù)值即

11、為的最小估計(jì)值。使用Eviews統(tǒng)計(jì)軟件操作可得序列兩種可能的參數(shù)估計(jì)圖如圖67所示：圖6 ARIMA(1,1,0)模型參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)結(jié)果圖7 ARIMA(1,1,2)模型參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)結(jié)果由圖67模型的參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)比看，可以知道，ARMA(1，0）模型中其調(diào)整后的為0.333657小于ARMA（1,2）模型中的0.373158；而AIC和SC值分別為-2.515346，-2.444297分別小于ARMA(1,2)模型中的-2.559993，-2.453418。根據(jù)以上模型的識(shí)別與選擇，我們選用了ARIMA(1,1,2)作為最佳預(yù)測(cè)模型。估計(jì)該模型的參數(shù)及模型的相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果如圖7。結(jié)果

12、表明, 模型ARMA ( 1,1, 2) 的參數(shù)估計(jì)值具有統(tǒng)計(jì)意義。其展開(kāi)式為: 3.3.13.4 參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)就是要檢驗(yàn)每一個(gè)未知參數(shù)是否顯著非零。這個(gè)檢驗(yàn)的目的是為了是使模型最精簡(jiǎn)。如果某個(gè)參數(shù)不顯著，即表示該參數(shù)所對(duì)應(yīng)的那個(gè)自變量對(duì)因變量的影響不明顯，該自變量就可以從擬合模型中刪除。最終模型將由一系列參數(shù)顯著非零的自變量表示。由圖7模型參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)結(jié)果，可以觀察到t統(tǒng)計(jì)量值的值均小于0.05。表明模型參數(shù)顯著。3.5 模型的顯著性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行浴Ｒ粋€(gè)模型是否顯著有效主要看它提取的信息是否充分。一個(gè)好的擬合模型應(yīng)該能夠提取觀察值序列中幾乎所

13、有的樣本相關(guān)信息，換言之，擬合殘差項(xiàng)中將不再蘊(yùn)含任何相關(guān)信息，即殘差序列應(yīng)該為白噪聲序列。這樣的模型我們成為顯著有效模型。反之，如果殘差序列為非白噪聲序列，那就意味著殘差序列中還殘留著相關(guān)信息未被提取，這就說(shuō)明了擬合模型不夠有效。對(duì)于序列模型ARMA（1,1,2）我們利用EViews統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行模型的顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果如圖8所示：圖8 殘差白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果此時(shí)，可以認(rèn)為殘差序列是純隨機(jī)序列, 模型滿(mǎn)足檢驗(yàn)要求,即擬合模型顯著有效。3.6 預(yù)測(cè)序列走勢(shì) 由預(yù)測(cè)方程及其條件方程： 3.3.1 經(jīng)預(yù)測(cè)得到2010、2011年的GDP值分別為396975.3億元、484638.24億元 ,其標(biāo)準(zhǔn)差為0

14、.06697。而已知2010、2011年實(shí)際GDP分別為403260億元、471563.37億元。預(yù)測(cè)誤差分別為：預(yù)測(cè)值與真實(shí)值誤差均在3%以?xún)?nèi)預(yù)測(cè)較為準(zhǔn)確。利用此模型對(duì)20122013年GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示：表2 20122013年模型預(yù)測(cè)值年份20122013預(yù)測(cè)值（億元）549019.4644974.54. 結(jié)論時(shí)間序列分析的ARMA 模型預(yù)測(cè)問(wèn)題, 實(shí)質(zhì)上是通過(guò)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化過(guò)程的分析研究, 找出其發(fā)展變化的量變規(guī)律性, 用以預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的未來(lái)。預(yù)測(cè)時(shí)不必考慮其他因素的影響, 僅從序列自身出發(fā), 建立相應(yīng)的模型進(jìn)行預(yù)測(cè), 這就從根本上避免了尋找主要因素及識(shí)別主要因素和次要因素的困難; 和回歸分析相比, 可以避免了尋找因果模型中對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的限定條件在經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中難以滿(mǎn)足的矛盾。實(shí)際上這也是ARMA 模型預(yù)測(cè)與其他預(yù)測(cè)方法相比的優(yōu)越性所在。本文運(yùn)用時(shí)間序列的分析方法，對(duì)我國(guó)歷年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值進(jìn)行分析。將ARIMA（1,1,2）模型對(duì)該序列進(jìn)行擬合，最終得出我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的變化規(guī)律。并且利用模型預(yù)測(cè)了較為準(zhǔn)確的短期兩年預(yù)測(cè)值。參考文獻(xiàn)：1 王燕.編著.應(yīng)用時(shí)間序列分析（第二版).北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社.2 張曉峒.著.EViews使用指南與案例:機(jī)械工業(yè)出版社