二元函數(shù)的泰勒展開

1、第九節(jié)第九節(jié) 二元函數(shù)的泰勒公式二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式三、極值充分條件的證明三、極值充分條件的證明一、問題的提出一、問題的提出一、問題的提出一、問題的提出 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式意義：可用意義：可用n次多項式來近似表達函數(shù)次多項式來近似表達函數(shù))(xf，且，且誤差是當誤差是當0 xx 時比時比nxx)(0 高階的無窮小高階的無窮小 問題問題 能否用多個變量的多項式來近似能否用多個變量的多項式來

2、近似表達一個給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤表達一個給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小差的大小. .即即 設(shè)設(shè)),(yxfz 在點在點),(00yx的某一鄰域內(nèi)連續(xù)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到且有直到1 n階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , ),(00hyhx 為此鄰域內(nèi)任一點為此鄰域內(nèi)任一點, ,能否把函數(shù)能否把函數(shù)),(00kyhxf 近似地表達為近似地表達為00,yykxxh 的的n次多項式，次多項式，且誤差是當且誤差是當022 kh 時比時比n 高階的無窮高階的無窮小小 定定理理 設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù) 且且 有有 直直 到到1

3、 n階階 的的 連連 續(xù)續(xù) 偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) , , ),(00hyhx 為為此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任一一點點, ,則則有有 二、二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式)10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn其中記號其中記號),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx 表示表示),(002yxfykxh 表示表示),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地, ,記號記號表示表示),(00yxf

4、ykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxpkhc 證證引入函數(shù)引入函數(shù)).10(),()(00 tktyhtxft顯然顯然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 由由 的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則, ,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx ),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnn

5、c 利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn) ), ,( () )0 0( (0 00 0y yx xf f= =f f) ), ,( () )1 1( (0 00 0k ky yh hx xf f+ + += =f f將將, ,及及上面求得的上面求得的直到直到階導(dǎo)數(shù)在階導(dǎo)數(shù)在的值的值, ,以及以及在在) )( (t tf fn n0 0= =t t) )( () )1 1( (t tn n+ +f fq q= =t t的值代入上式的值代入上式. .即得即得)1(,),(!1),(!

6、21),(),(),(00002000000nnryxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf 其中其中)2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnrnn證畢證畢 公公式式)1(稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點點),(00yx的的n階階泰泰勒勒公公式式, ,而而nr的的表表達達式式)2(稱稱為為拉拉格格朗朗日日型型余余項項. . 由二元函數(shù)的泰勒公式知由二元函數(shù)的泰勒公式知, , nr的絕對值在的絕對值在點點),(00yx的某一鄰域內(nèi)都不超過某一正常數(shù)的某一鄰域內(nèi)都不超過某一正常數(shù)m. .于是于是, ,有下面的誤差估計式有下面的誤差估計式: : )3(

7、,!12sincos!1!111111 nnnnnnmnnmkhnmr 其中其中.22kh 由由)3(式式可可知知, ,誤誤差差nr是是當當0 時時比比n 高高階階的的無無窮窮小小. . 當當0 0= =n n時時, ,公式公式) )1 1( (成為成為),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式稱為上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式二元函數(shù)的拉格朗日中值公式. .推 論推 論 如 果 函 數(shù)如 果 函 數(shù)),(yxf的 偏 導(dǎo) 數(shù)的 偏 導(dǎo) 數(shù)),(yxfx, ,),(yxfy在某一鄰域內(nèi)都恒等于零在某一鄰域內(nèi)都恒等于零, ,則函則函數(shù)數(shù)),(y

8、xf在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù)在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù). . 在泰勒公式在泰勒公式)1(中中, ,如果取如果取0, 000 yx, ,則則)1(式成為式成為n階麥克勞林公式階麥克勞林公式. . ),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn )10( )5(例例 1 1求函數(shù)求函數(shù))1ln(),(yxyxf 的三階麥的三階麥克勞林公式克勞林公式. . 解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3

9、 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 又又0)0 , 0( f, ,故故 ,)(31)(21)1ln(332ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(!414443 yx

10、yxyxfyyxxr三、極值充分條件的證明三、極值充分條件的證明定定理理 2 2（充充分分條條件件） 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 ayxfxx ),(00， byxfxy ),(00， cyxfyy ),(00，利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)中定理利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)中定理2 2則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下： （1 1）02 bac時有極值，時有極值， 當

11、當0 a時有極大值，時有極大值， 當當0 a時有極小值；時有極小值； （2 2）02 bac時沒有極值；時沒有極值； （3 3）02 bac時可能有極值時可能有極值. . 證證依二元函數(shù)的泰勒公式，依二元函數(shù)的泰勒公式，對于任一對于任一)(),(0100pukyhx 有有 ),(),(0000yxfkyhxff ),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6() )1 1( ( 設(shè)設(shè)0 02 2 - -b bacac, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因) ), ,( (y

12、yx xf f的二階偏導(dǎo)數(shù)在的二階偏導(dǎo)數(shù)在) )( (0 01 1p pu u內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,由由不等式不等式) )7 7( (可知可知, ,存在點存在點0 0p p的鄰域的鄰域) )( () )( (0 01 10 02 2p pu up pu u蘿蘿, ,使得對任一使得對任一) )( () ), ,( (0 02 20 00 0p pu uk ky yh hx x蝳蝳+ + +有有 .02 xyyyxxfff)8(注注: :將將) ), ,( (y yx xf fxxxx在點在點) ), ,( (0 00 0k ky yh hx xq qq q+ + +處的值處的值記為記為xxxxf f

13、, ,其他類似其他類似. . 由由)8(式可知式可知, ,當當)(),(0200pukyhx 時時, , xxf及及yyf都不等于零且兩者同號都不等于零且兩者同號. .于是于是)6(式可寫式可寫成成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 當當kh、不同時為零且不同時為零且)(),(0200pukyhx 時時, ,上式右端方括號內(nèi)的值為正上式右端方括號內(nèi)的值為正, ,所以所以f 異于零且異于零且與與xxf同號同號. . 又又由由),(yxf的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性知知xxf與與a同同號號, ,因因此此f 與與a同同號號, ,當當0 a時時),(00yxf為為極

14、極小小值值, ,當當0 a時時),(00yxf為為極極大大值值. . )2( 設(shè)設(shè)02 bac, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9(先假定先假定, ,0 0) ), ,( () ), ,( (0 00 00 00 0= = =y yx xf fy yx xf fyyyyxxxx則則. .0 0) ), ,( (0 00 0箎箎y yx xf fxyxy分別令分別令h hk k= =及及h hk k- -= =, ,則由則由) )6 6( (式可得式可得 ,),(2),(21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx

15、及及 ,),(2),(22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其中其中. .1 1, ,0 02 21 1 q qq q 當當0h時時, ,以上兩式方括號內(nèi)的式子分別以上兩式方括號內(nèi)的式子分別趨于極限趨于極限 ),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 從而當從而當h充分接近零時充分接近零時, ,兩式方括號內(nèi)的值有兩式方括號內(nèi)的值有相反的符號相反的符號, ,因此因此f 可取不同符號的值可取不同符號的值, ,所以所以),(00yxf不是極值不是極值. . 再證再證) ), ,( () ), ,( (0 00 00 00 0y yx xf fy yx x

16、f fyyyyxxxx與與不同時為零的情形不同時為零的情形. .不妨不妨. .0 0) ), ,( (0 00 0箎箎y yx xf fxyxy先取先取0 0= =k k, ,于是由于是由) )6 6( (式得式得).,(21002yhxfhfxx 當當h h充分接近零時充分接近零時, , f fd d與與) ), ,( (0 00 0y yx xf fxxxx同號同號. .但如果取但如果取, ,) ), ,( (, ,) ), ,( (0 00 00 00 0s sy yx xf fk ks sy yx xf fh hxxxxxyxy= =- -= =其中其中s s是異于零但充分接近于零的數(shù)是異于零但充分接近于零的數(shù) , ,則可發(fā)現(xiàn)則可發(fā)現(xiàn), ,當當s s充分小時充分小時, , f fd d與與) ), ,( (0 00 0y yx xf fxxxx異號異號. .) ), ,( (0 00 0y yx xf fd d 如此證明了如此證明了: :在點在點的任意鄰近的任意鄰近, , 可取可取不同符號的值不同符號的值, ,因此因此) ), ,( (0 00 0y yx