微積分授課課件：第一型線面積分

1、2021-11-21作業(yè)作業(yè): P134 P134 習(xí)題習(xí)題5 4(1)(2).55 4(1)(2).5閱讀：閱讀：P131-134, P143-145 P131-134, P143-145 )0(.2222 yRyxLxdlL是是其其中中，計(jì)計(jì)算算曲曲線線積積分分的的弧弧長長。求求曲曲線線)40(.1 xxxy之之間間的的面面積積。和和介介于于求求圓圓柱柱面面2222204)2(.3yxahzzaxay 補(bǔ)補(bǔ)充充題題2021-11-22第十四講第十四講二、第一型曲面積分二、第一型曲面積分一、第一型曲線積分一、第一型曲線積分2021-11-230AnAiA1 iA1A iM一、第一型曲線積分一

2、、第一型曲線積分又又在在每每個(gè)個(gè)小小弧弧段段上上任任取取記記的的長長度度為為記記各各小小弧弧段段小小弧弧段段個(gè)個(gè)任任意意分分成成將將有有定定義義上上在在曲曲線線設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義一一,max), 1(,.)()(1iiiiilnilAAnLLMf 2021-11-24.,)(lim10線線積積分分的的第第一一型型曲曲沿沿曲曲線線極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱此此存存在在如如果果極極限限LflMfniii 記記作作 niiiLlMfdlMf10)(lim)( niiilMf1)( 作作和和式式一一點(diǎn)點(diǎn),iM2021-11-25積分路徑積分路徑弧微分弧微分 LdlMm)( :例例如如 niii

3、LlMfdlMf10)(lim)( 幾幾何何意意義義是是什什麼麼？問問：第第一一型型曲曲線線積積分分的的),(yxfz xoyzL Ldlyxf),(SS柱柱面面面面積積2021-11-26則則存存在在若若第第一一型型曲曲線線積積分分,)( LdlMf.)(上上可可積積在在曲曲線線稱稱函函數(shù)數(shù)LMf)(:可可積積必必要要條條件件定定理理.,上有界上有界則必在則必在上可積上可積在曲線在曲線若函數(shù)若函數(shù)LLf)(:可可積積充充分分條條件件定定理理.),(,可可積積上上在在則則并并且且有有界界只只有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)或或上上連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)分分段段光光滑滑若若曲曲線線LfLfL2021-

4、11-27光滑曲線光滑曲線連連續(xù)續(xù)可可微微)(),(),(tztytx0)()()(222 tztytx有非零的切向量有非零的切向量單位切向量連續(xù)變化單位切向量連續(xù)變化)()()()( ttzztyytxx的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為設(shè)設(shè)L2021-11-28（二）第一型曲線積分的性質(zhì)（二）第一型曲線積分的性質(zhì)無方向性無方向性則則即即若若曲曲線線的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)為為無無關(guān)關(guān)曲曲線線的的指指向向第第一一型型曲曲線線積積分分的的值值與與,BA BAABdlMfdlMf)()(2021-11-29的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線L)1()()()( ttyytxx則則上上連連續(xù)續(xù)在在上上

5、有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,),(,)(),(Lyxftytx Ldlyxf),(基本方法是基本方法是化為定積分！化為定積分！注意注意: :下限小，上限大！下限小，上限大！ dttytxtytxf22)()()(),(三三)第一型曲線積分的計(jì)算第一型曲線積分的計(jì)算2021-11-210的的方方程程為為設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線 L)2()()(bxaxyy 則則上上連連續(xù)續(xù)在在上上有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間,),(,)(Lyxfbaxy Ldlyxf),( badxxyxyxf2)(1)(,為為極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線L)3()()( rr drr

6、rrfdlyxfL22)()(sin)(,cos)(),(2021-11-211的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為設(shè)設(shè)空空間間曲曲線線 L)4( )()()(tzztyytxx)( t dttztytxtztytxfdlzyxfL222)()()()(),(),(),(2021-11-212)0( . 0,:, 122222 azyxazyxLdlxL為為圓圓周周其其中中計(jì)計(jì)算算例例xoyz解解首首先先找找曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程就就可可得得到到第第三三式式利利用用兩兩式式的的的的參參數(shù)數(shù)方方程程這這就就是是參參數(shù)數(shù)方方程程平平面面投投影影曲曲線線的的在在先先找找0, zyxyxLxyLyxzzyx

7、 解解出出從從,0得得代入代入,2222azyx 22221ayxyx 2021-11-213則則投投影影曲曲線線方方程程為為 021222zayxyx4 平面直角坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)平面直角坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)將將xy )(22)(22YXyYXx令令2223aYX 方方程程化化為為什麼曲線？什麼曲線？橢圓橢圓2021-11-214此此橢橢圓圓參參數(shù)數(shù)方方程程為為taYtaXsin,cos3 得得橢橢圓圓參參數(shù)數(shù)方方程程換換回回原原坐坐標(biāo)標(biāo) , )sincos3(21)sincos3(21tataytatax得得到到中中將將它它們們代代入入,0 zyxtazcos32 2021-11-215的的參參數(shù)數(shù)方方程程

8、曲曲線線L taztataytataxcos32)sincos3(21)sincos3(212222222)(sin32)cossin31(2)cossin31(2dttattatta 22222)()()()()(dttztytxdl 22)(dta 2021-11-216 20222)sincos31(2adtttadlxL 20223)sin3cossin32(cos6dttttta 203)2cos1 ( 32sin32)2cos1(12dtttta332a 2021-11-217所所截截取取部部分分的的面面積積被被球球面面求求圓圓柱柱面面例例2222222azyxaxyx 1解解法法

9、xyzo222yxaz L taytaxLsin2)cos1(2:)0( tdtatytxdl2)()(22 LdlzAA441 Ldlyxa2224dtta 02)cos1(220242sin2adtta 2021-11-218解法解法2 將柱面投影到將柱面投影到xoz面面上上 xzDzxdyyAA 221144xzxzDaxaz 2求出求出由柱面方程由柱面方程,22axyx 2,22xaxyyxayx 其其中中,0 zy2022024)(4)2(14)22(142adzxaxxadxdyxaaxaaDxz 2021-11-219.),(,mSMMSS的的質(zhì)質(zhì)量量求求處處的的面面密密度度為為

10、上上的的點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲面面假假設(shè)設(shè)有有一一不不均均勻勻的的金金屬屬例例 解解小小塊塊任任意意分分成成將將分分割割nS:SiMiiiSMm )(: 近近似似 niiiniiSMmm11)(: 求求和和 niiiSMm10)(lim: 取取極極限限iS 二、第一型曲面積分二、第一型曲面積分（一）定義（一）定義2021-11-220作作和和式式上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)在在面面積積都都記記作作各各小小塊塊及及其其小小塊塊任任意意分分成成將將有有定定義義上上在在分分片片光光滑滑的的曲曲面面設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)第第一一型型曲曲面面積積分分定定義義),(,.),()(:1iiiiinMSSSnSSzyxf niiiiiS

11、f1),( .,),(lim10的的第第一一型型曲曲面面積積分分沿沿曲曲面面極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱此此存存在在如如果果極極限限SfSfniiiii niiiiiSSfdSzyxf10),(lim),( 記記作作曲面微分元曲面微分元(dS0)2021-11-221.存存在在性性條條件件質(zhì)質(zhì)和和型型曲曲線線積積分分有有類類似似的的性性第第一一型型曲曲面面積積分分與與第第一一2021-11-222?),(SdSzyxf基本方法是基本方法是化為二重積分化為二重積分（三）第一型曲面積分的計(jì)算（三）第一型曲面積分的計(jì)算的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲面面 S)1(Dyxyxzz ),(),(平平面面上上

12、的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在為為其其中中xySD DyxSdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,(),(曲曲面面微微分分元元dxdyzzdSyx221 2021-11-223的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲面面 S)2(*),(),(),(),(Dvuvuzzvuyyvuxx dudvCBAdS222 曲曲面面微微分分元元為為 SdSzyxf),( *222),(),(),(DdudvCBAvuzvuyvuxf其其中中),(),(det,),(),(det,),(),(detvuyxCvuxzBvuzyA 2021-11-224計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分例例 3 SdSzyxI)(222

13、yxRzS 為為上上半半球球面面其其中中解解由由積積分分的的線線性性性性質(zhì)質(zhì)知知 SSSzdSydSxdSI,222yxRxzx 222yxRyzy dxdyyxRRdxdyzzdSyx222221 2021-11-225 DSdxdyyxRRyxRzdSI2222223RdxdyRD 故故有有是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于平平面面對(duì)對(duì)稱稱關(guān)關(guān)于于由由于于,),(,xxzyxfyozS 0, SydS有有同同理理.0 SxdS2021-11-226為為整整個(gè)個(gè)球球面面思思考考題題：若若 S2222Rzyx ?)( SdSzyx問問：02021-11-227轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量徑徑的的的的均均勻勻球球面面

14、對(duì)對(duì)其其一一條條直直求求半半徑徑為為例例R4解解)(常常數(shù)數(shù)面面密密度度為為 則則有有軸軸為為即即旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸其其一一條條直直徑徑取取球球心心位位于于坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn),)(,z SdSyxJ)(22 上上SdSyx)(222 DdxdyyxRyxR22222)(2 2002232RdrrRrdR 2034sin4 tdtR438R 2021-11-228計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分例例 5 SdSzyxI)(222)0(2222 RRzzyxS為為球球面面其其中中解解的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為球球面面 S cossinsincossinRRzRyRx)20,0( 計(jì)計(jì)算算得得 ddRdSsin2 S

15、SRzdSdSzyxI2)(22248 R 02220sin)cos1(2dRRd球面坐標(biāo)系下球面坐標(biāo)系下2021-11-229計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分例例 6 SrdSI2.,0222距距離離上上的的點(diǎn)點(diǎn)到到原原點(diǎn)點(diǎn)的的為為之之間間的的部部分分及及界界于于為為圓圓柱柱面面其其中中SrHzzRyxS xHozyMr解解22222zRzyxr dSzRrdSISS 2221怎樣計(jì)算這個(gè)曲面積分？怎樣計(jì)算這個(gè)曲面積分？2021-11-230圓圓柱柱面面的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 zzRyRx sincos)0,20(Hz dzRddS dSzRIS 221 HRdzzRd022201 HdzzRR02212 HzzRzRR 0arctan12 RHarctan2 柱面坐標(biāo)系下柱面坐標(biāo)系下2021-11-231各種積分的統(tǒng)一概念各種積分的統(tǒng)一概念 這章所討