同濟大學第六版高等數(shù)學課件（上冊）：D1_2數(shù)列的極限

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 二二 、收斂數(shù)列的性質(zhì)、收斂數(shù)列的性質(zhì) 三三 、極限存在準則、極限存在準則 一、數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的定義 第二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 r數(shù)學語言描述:一一 、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義引例引例. 設有半徑為 r 的圓,nA逼近圓面積 S .n如圖所示 , 可知nAnnnrcossin2),5,4, 3(n當 n 無限增大時, nA無限逼近 S . ,0,N正整數(shù)當 n N 時, SAn用其內(nèi)接正 n 邊形的面積總有劉徽 (劉徽割圓術)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義: 自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作)

2、(nfxn或.nxnx稱為通項(一般項) .若數(shù)列nx及常數(shù) a 有下列關系 :,0,N正數(shù)當 n N 時, 總有記作此時也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收 斂發(fā) 散目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 已知,) 1(

3、nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則當Nn 時, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當Nn 時, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 與 有關, 但不唯一.不一定取最小的 N .說明說明:

4、取11N目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 設,1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 則當 n N 時, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為0 .1nq目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23baab22abnabax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證證: 用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax從而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使當 n N2 時, 有2banx

5、1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.使當 n N1 時, 2ba2ab2ab假設22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而2banx矛盾,因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當 n N 時, ,max21NNN 取故假設不真 !nx滿足的不等式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的. 證證: 用反證法.假設數(shù)列收斂 , 則有唯一極限 a 存在 .取,21則存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 與1 , ),(2121aa內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在21a21aa長度為 1 的開區(qū)間 使當 n N 時, 有因此該數(shù)列發(fā)散 .

6、nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.證證: 設,limaxnn取,1,N則當Nn 時, 從而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界.說明說明: 此性質(zhì)反過來不一定成立. 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .aaxn)(, 1axn有數(shù)列目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 收斂數(shù)列具有保號性收斂數(shù)列具有保號性.若,limaxnn且, 0a,時當Nn 有0nx)0()0(證證: 對 a 0 , 取,2a,時當Nn axn2anx02aaax2a2a推論推論: 若數(shù)列從某項起, 0nx,limaxnn且0

7、a則)0(. )0(用反證法證明)O,NN則,NN則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *,axkn4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限 .證證: 設數(shù)列knx是數(shù)列nx的任一子數(shù)列 .若,limaxnn則,0,N當 Nn 時, 有axn現(xiàn)取正整數(shù) K , 使,NnK于是當Kk 時, 有knKnN從而有由此證明 .limaxknk*NKnNxKnx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、極限存在準則三、極限存在準則由此性質(zhì)可知 , 若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散 !夾逼準則; 單

8、調(diào)有界準則; *柯西審斂準則 .則原數(shù)列一定發(fā)散 .說明說明: 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 azynnnnlimlim)2(1. 夾逼準則夾逼準則 (準則1) (P50),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,0,1N當1Nn 時,ayn當2Nn 時,azn令,max21NNN 則當Nn 時, 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準則 .1211222nnnnn22nnn22nn且lim22nnnnnn11li

9、m1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準則2 ) ( P52 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設, ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列nx極限存在 . (P53P54)證證: 利用二項式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11

10、) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比較可知目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 根據(jù)準則 2 可知數(shù)列nx記此極限為 e ,e)1 (lim1nnn e 為無理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e 即有極限 .11)1 (

11、1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n內(nèi)容小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *3. 柯西極限存在準則柯西極限存在準則(柯西審斂原理) (P55)數(shù)列nx極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù) N , 使當NnNm,時,mnxx證證: “必要性”.設,limaxnn則,0NnNm,時, 有 使當,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 證明從略 .,N有柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性 ; 有界性 ; 保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3

12、. 極限存在準則:夾逼準則 ; 單調(diào)有界準則 ; *柯西準則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 如何判斷極限不存在?方法1. 找一個趨于的子數(shù)列;方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim時, 下述作法是否正確? 說明理由.設,limaxnn由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處nnxlim目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P30 1, *3 (2) , *4 P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用數(shù)學歸納法證 2nx第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故極限存在，

13、備用題備用題 1.1.設 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設Axnnlim則由遞推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準則,0nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設, ),2, 1(0iai證證: 顯然,1nnxx證明下述數(shù)列有極限 .)1 ()1)(1 ()1)(1 (12121211nnaaaaaaaaanx),2, 1(n即nx單調(diào)增, 又nkkknaaax11)1 ()1 (1111a1(1)nkkaa211)1 ()1 (1)1 ()1 (11kaa )1 ()1 (111naa1nnx lim存在“拆項相消拆項相消” 法法劉徽劉徽(約約225 295年年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家. 他撰寫的重 差對九章算術中的方法和公式作了全面的評 注, 指出并糾正了其中的錯誤 , 在數(shù)學方法和數(shù)學 理論上作出了杰出的貢獻 .他的 “ 割圓術 ” 求圓周率 “ 割之彌細割之彌細 , 所失彌小所失彌小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用