大學(xué)物理電子教案：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)01xin

1、 剛體剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體 . （任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) . 剛體剛體平動(dòng)平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始連線總是平行于它們的初始位置間的連線位置間的連線 . 2.1.1 剛體剛體 (與質(zhì)點(diǎn)同為理想模型與質(zhì)點(diǎn)同為理想模型) 2.1.2 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)：

2、剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) . 剛體的剛體的平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) . 剛體的剛體的一般一般運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+xz參考平面參考平面)(t)()(ttt)(t r沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng) r沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng) tttddlim0 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向參考軸參考軸2.1.3 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述tdd 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來(lái)表示度的正

3、負(fù)來(lái)表示 .00zz1） 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面； 2） 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo) .,a, v 2.3.1 力力 矩矩 Pz*OMFrd 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用作用在剛體上點(diǎn)在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的作用點(diǎn)到力的作用點(diǎn) P 的徑矢的徑矢 . Fr0,0iiMF0,0iiMFFFFFMFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 FzOkFr討論討論FFFzzFF

4、 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 對(duì)剛體繞軸對(duì)剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用，故轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用，故 對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)軸的力矩:zFFFrkMzsin rFMz3） 剛體內(nèi)作用力和剛體內(nèi)作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM例例1：如圖，質(zhì)量為：如圖，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)細(xì)桿，在水平面內(nèi)可的勻質(zhì)細(xì)桿，在水平面內(nèi)可以繞固定點(diǎn)以繞固定點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。細(xì)桿與水平

5、面之間的滑動(dòng)摩擦逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。細(xì)桿與水平面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為系數(shù)為 。求：摩擦力對(duì)于。求：摩擦力對(duì)于O點(diǎn)的力矩。點(diǎn)的力矩。OL解：取一微分元解：取一微分元dl，則，則dm=dl， = m/Lgdmdf方向如圖方向如圖dm對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩為點(diǎn)的力矩為:)()()(kdlglkgdmlkdflf dlMd)(21)(0kmgLkdlglMdMLOdldfzxylOrmz2.3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律FtFnF2iejjjjrmMM2）剛體剛體:質(zhì)量元外力質(zhì)量元外力 ，內(nèi)力，內(nèi)力jFejFiM 1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)m與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性連接外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩OzjmjrjFejFisinrFM

6、 mrmaFtt2mrM 2tmrrFM 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，與剛體的與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比成反比 . 轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律：JM 2jjjrmJ定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:mrJd2OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM)rmMjjjj2e(mrJrmJjjjd,222.3.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 物理物理意義意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 . 質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2222112rmrmrmJjjj轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法 質(zhì)量連續(xù)

7、分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJjjjd22：質(zhì)量元：質(zhì)量元md：質(zhì)量元：質(zhì)量元md 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJjjjd222 對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度lmdd2 對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度Smdd2 對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度VmddlO O 解解 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處的質(zhì)量元處的質(zhì)量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd

8、22 例例2 一一質(zhì)量為質(zhì)量為m、長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 的的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求：通過(guò)棒中心均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求：通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .rd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒 例例3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、半、半徑為徑為R的均勻圓盤(pán)，求的均勻圓盤(pán)，求: 通通過(guò)盤(pán)中心過(guò)盤(pán)中心 O 并與盤(pán)面垂直并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .OROR4032d2RrrJRr dr 解解 設(shè)圓盤(pán)面密度為設(shè)圓盤(pán)面密度為 ，在盤(pán)上取半徑為在盤(pán)上取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2 Rm而而rrmd2d圓環(huán)質(zhì)量圓環(huán)質(zhì)量221mRJ 所以所以rrmrJd

9、2dd32圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2mdJJCO平行軸定理：平行軸定理：P轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸形狀及轉(zhuǎn)軸的位置的位置 . 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的剛體的剛體，如果對(duì)其質(zhì)如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC，則對(duì)任一與該則對(duì)任一與該軸平行軸平行，相距為相距為d 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量dCOm注意注意2221mRmRJP例如：圓盤(pán)對(duì)例如：圓盤(pán)對(duì)P 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RmO垂直軸定理：垂直軸定理：yxzJJJ竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于

10、外輪緣？ 例例4 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為 R、質(zhì)量為、質(zhì)量為mB 的圓的圓柱形滑輪柱形滑輪 C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為mC的物體的物體 B 上上. 滑輪與繩索滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，間沒(méi)有滑動(dòng)， 且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì). 問(wèn)：（問(wèn)：（1） 兩物體的線加速度為多少？?jī)晌矬w的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（為多少？（2） 物體物體 B 從靜止落下距離從靜止落下距離

11、y 時(shí)，其速率是多少？時(shí)，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為擦力矩為 再求線加速度及繩的張力再求線加速度及繩的張力. fMABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔離物體分別）隔離物體分別對(duì)物體對(duì)物體A、B 及滑輪作受力及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律頓第二定律 、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程方程 . yOT2FBPBmT2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1

12、mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F（3） 考慮滑輪與軸承間的摩考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩擦力矩 ，轉(zhuǎn)動(dòng)定律，轉(zhuǎn)動(dòng)定律fM結(jié)合（結(jié)合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmm

13、mF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 例例5：一根長(zhǎng)為：一根長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，一端與光滑的水平的勻質(zhì)細(xì)桿，一端與光滑的水平軸相連，可在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一質(zhì)量也是軸相連，可在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一質(zhì)量也是m的的小球，且小球半徑小球，且小球半徑Rl。設(shè)桿由水平位置自由釋放。設(shè)桿由水平位置自由釋放。求：桿下擺至任意角度時(shí)的角速度和角加速度求：桿下擺至任意角度時(shí)的角速度和角加速度 mgmgO解：細(xì)桿在下擺過(guò)程中，重力矩作用桿的質(zhì)心處，解：細(xì)桿在下擺過(guò)程中，重力矩作用桿的質(zhì)心處，即：即：

14、cos21lmgM小球的重力矩：小球的重力矩：cos2lmgM由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：222131mlmlJJJJMM球桿所以有：所以有：)31(coscos222mlmllmglmg即：即：lg8cos9即：即：dlgdlgdddtddddtd8cos98cos9即：008cos9dlgd解得：解得：lg4sin9例例6. 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的薄圓盤(pán)置于水平面上，的薄圓盤(pán)置于水平面上，二者之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為二者之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ，圓盤(pán)開(kāi)始以，圓盤(pán)開(kāi)始以 0繞過(guò)圓心且垂繞過(guò)圓心且垂直于盤(pán)面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（直于盤(pán)面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（1）圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度；（）圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度；（2）圓盤(pán)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間停止？（圓盤(pán)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間停止？（3）圓盤(pán)停止時(shí)轉(zhuǎn)了多少圈？）圓盤(pán)停止時(shí)轉(zhuǎn)了多少圈？ 例例6 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l 質(zhì)量為質(zhì)量為m勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng) . 由于此豎直放置的細(xì)由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，