正弦定理PPT20

1、 在哈爾濱美麗的太陽島上有一座橫跨金水河上的橋在哈爾濱美麗的太陽島上有一座橫跨金水河上的橋太陽橋。她是亞洲第一座全太陽橋。她是亞洲第一座全鋼結(jié)構(gòu)獨塔無背索斜拉橋。為了保證受力的合理，設(shè)計人員將鋼塔設(shè)計成與橋面所鋼結(jié)構(gòu)獨塔無背索斜拉橋。為了保證受力的合理，設(shè)計人員將鋼塔設(shè)計成與橋面所成的角為成的角為60度，為了測量前傾的塔臂的長度，度，為了測量前傾的塔臂的長度， 測量人員在上塢休閑度假區(qū)堤防處測量人員在上塢休閑度假區(qū)堤防處(c點點)測得塔頂（測得塔頂（a點）的仰角為點）的仰角為82.8度，塔底（度，塔底（b點）距離點點）距離點c為為 114 米，這樣能確定米，這樣能確定塔臂塔臂ab的長嗎？的長嗎

2、？acbd直角三角形中:1sin,sin,sinccbbcaaabcabccccbbcaacsin,sin,sin即ccbbaasinsinsin斜三角形中這一關(guān)系式是否仍成立呢?如圖在三角形abc中,bc=a,ac=b,ab=c. 求證角度一：借助高相等bsina=cd,asinb=cd,即bbaasinsin同理可證ccsinbbsin= 邏輯推理邏輯推理、證明猜想證明猜想bbaasinsin=ccsin角度二角度二 :借助三角形的面積相等：借助三角形的面積相等：ad=csinb, = acsinb,同理同理 = absinc acsina,所以所以abcsabcs212121ccsinb

3、baasinsin=1ccrcccc2sinsin1raarbb2sin2sin，同理：abcc1abco如圖:為外接圓半徑即得：rrccbbaa2sinsinsin角度三角度三c（a,0）yxa(ccosb,csinb)m(bcos( -c),bsin( -c)b角度四：根據(jù)三角函數(shù)的定義，借助a m兩點的縱坐標相等 因為bsin( -c)= csinb，所以ccsinbbsin=abc ab+bc=ac e(ab+bc)= e ac csinc=bsinbbbaasinsin分析分析差異差異函函數(shù)數(shù)名名稱稱式式子子結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)余余 正正三三 二二coscoscosbac設(shè)設(shè)e與與ab，bc，a

4、c的夾角分別為的夾角分別為，, jabcabcc 90 90c c 90jj能不能進一步優(yōu)化這個過程？ 向量向量 cbcacd方向上的投影相等方向上的投影相等在在)90cos()90cos(abbaaasinbbsin=即、在一個三角形中在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等各邊和它所對角的正弦的比相等,即即為外接圓半徑rrccbbaa2sinsinsin變式變式: : aaccccbbbbaasinsin;sinsin;sinsin1 cbacba:sin:sin:sin2從理論上從理論上, ,正弦定理可解決兩類問題正弦定理可解決兩類問題: : 兩角和任意一邊兩角和任意一邊, ,求其他

5、兩邊和一角求其他兩邊和一角 兩邊和其中一邊對角兩邊和其中一邊對角, ,求另一邊的對角求另一邊的對角, ,進進而可求其他的邊和角而可求其他的邊和角 例例1:1:已知在已知在 中中, , , 求求 和和 30,45,10cacba,babcn例例2:2:已知在已知在 中中, , , 求求 和和ca,1,60, 3cbbaabc點評點評: :正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題和一角的問題. .點評點評: :正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角, ,求求其他邊和角的問題其他邊和角的問題. .,45

6、,65,10,30解三角形中、在例abaabc:問題正弦定理可解決的幾類;,) 1 (解三角形已知兩角和任一邊.,)2(解三角形角已知兩邊和其中一邊對),(決定取舍大角對大邊用可能有兩解 若若a a為銳角時為銳角時: :銳角一解一銳、一鈍二解直角一解無解babaababaabasinsinsinn若若a a為直角或鈍角時為直角或鈍角時: :銳角一解無解baba.,20,45,60,100解三角形中、在cbaabc.,60, 3,2,20解三角形中、在bbaabc小結(jié)與思考小結(jié)與思考問題問題 通過以上的研究過程，同學們主要學到了通過以上的研究過程，同學們主要學到了那些知識和方法？你對此有何體會？那些知識和方法？你對此有何體會？1. 用向量證明了正弦定理用向量證明了正弦定理,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的 數(shù)學思想數(shù)學思想2. 它表述了三角形的邊與對角的正弦值的關(guān)系它表述了三角形的邊與對角的正弦值的關(guān)系.3. 定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發(fā)，運定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發(fā)，運 用分類討論的思想用分類討論的思想.4.運用正弦定理求三角形的邊和角運用正弦定理求三角形的邊和角. 思考題：在用向量法證明正弦定理時，我思考題：在用向量法證明正弦定理時，我們選取了與三角形一邊垂