全微分及其運(yùn)用

1、 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分教學(xué)內(nèi)容和基本要求教學(xué)內(nèi)容和基本要求 理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)概念理解多元函數(shù)的極限與連續(xù)概念,以及有界閉區(qū)域上以及有界閉區(qū)域上 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念, 了解全微分存在的必了解全微分存在的必要和充分條件。理解方向?qū)?shù)和梯度的概念，并掌要和充分條件。理解方向?qū)?shù)和梯度的概念，并掌握其計(jì)算方法。掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的握其計(jì)算方法。掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)。求法。會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全導(dǎo)數(shù)。了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的了解曲線的切線和法平面及曲面的切

2、平面和法線的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡單函數(shù)的最大值和最小值，會(huì)求條件極值，會(huì)求簡單函數(shù)的最大值和最小值，會(huì)解一些簡單應(yīng)用題。解一些簡單應(yīng)用題。重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概 念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，用拉格念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，用拉格 朗日條件極值求最大值應(yīng)用問題，方向朗日條件極值求最大值應(yīng)用問題，方向 導(dǎo)數(shù)與梯度。導(dǎo)數(shù)與梯度。難點(diǎn)：全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。難點(diǎn)：全微分的概念，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。 哈爾濱工程大學(xué) 微積

3、分微積分概概念念回回憶憶：一一元元函函數(shù)數(shù)的的微微分分)()()(00 xxaxfxxfy )0(x xaxdfdyxx )(00axf )(0dxxfxdfdyxx)()(000 8.3 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用)()(0 xxxfy 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分一、全微分一、全微分 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分)0( )( oyx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分ybxadz 22)()(yx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分全微分的兩個(gè)性質(zhì)：全微分的兩個(gè)性質(zhì)：(1) dz是是 x與與 y的線性函數(shù)的線性函數(shù)(2) ( z- dz)是關(guān)于是關(guān)于 的高階無窮小的高階無窮小全微分是全增量的全微分是

4、全增量的線性主部線性主部全微分是什么全微分是什么ybxadz )0( )( odzz 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分.),(),(0000yyxfxyxfdzyx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分.),(),(0000yyxfxyxfdzyx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分可微與連續(xù)關(guān)系可微與連續(xù)關(guān)系: 可微一定連續(xù)可微一定連續(xù), 連續(xù)未必可微連續(xù)未必可微. 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分可微與可導(dǎo)的關(guān)系可微與可導(dǎo)的關(guān)系: 可微一定可導(dǎo)可微一定可導(dǎo)(偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在), 可導(dǎo)未必可微可導(dǎo)未必可微. 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分證證),(),( ),(),(00000000yxfyyxfyyxfyyx

5、xf yyyxfxyyxxfyx ),( ),( 200010)10 , 10(21 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分yyyxfxyyxxfzyx ),( ),( 200010yyxfxyxfzyx ),(),( 0000 于于是是，).( ),(),( 0000yxyyxfxyxfyx 為什么為什么? 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分分析分析 :2222|0yxyxyxyx 2222| yxyyxx ).0( 0| 22 yx ),0( )( ),0( 0 , oyxyx即即總總之之)0( 0 , yx我我們們只只要要說說明明現(xiàn)現(xiàn)在在 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分 二元函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、

6、可微性二元函數(shù)在某一點(diǎn)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性的關(guān)系總結(jié)：的關(guān)系總結(jié)：連續(xù)連續(xù)可導(dǎo)可導(dǎo)可微可微偏導(dǎo)偏導(dǎo)連續(xù)連續(xù)記法：記法： 記住三紅色箭頭，其它說法不正確！記住三紅色箭頭，其它說法不正確！ 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分二、形式全微分二、形式全微分dyfdxfdzyx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分解解,exyxyz ,exyyxz ,e2)1 ,2( xz,e22)1 ,2( yz.e2e22dydxdz 所求全微分為所求全微分為, )(dvduvud udvvduvud )()0 ( 2 vvudvvduvud微分的四則運(yùn)算公式微分的四則運(yùn)算公式： 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分解解,)(222

7、2yxxzxu dzudyudxuduzyx ,)(2222yxyzyu ,122yxzu dxyxxz222)(2 dyyxyz222)(2 dzyx221 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分另解另解 22yxzddu2222222)()()(yxyxzddzyx 2222222)()()()(yxydxdzdzyx 22222)()22()(yxydyxdxzdzyx )(22()(122222dzyxyzdyxzdxyx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用* 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分解解則則設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) ,),(yxyxf : 02. 0,

8、04. 0, 2, 1 yxyx 取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf; ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式由公式02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 0824. 1)04. 1( 02. 2 真值真值 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分解解),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分)0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0 , 0)(1sinlim20 xxx ;0)0 , 0( yf),(yxfx2222221cos21sin2yxyxxyxx 22221sin)(yxyxx 哈爾濱工程大學(xué) 微積分微積分),(lim)0