角平分線及中點(diǎn)輔助線技巧要點(diǎn)大匯總

1、全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總口訣：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。1、 由角平分線想到的輔助線 口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，

2、一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖1-1，aoc=boc，如取oe=of，并連接de、df，則有oedofd，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖1-2，ab/cd，be平分bcd，ce平分bcd，點(diǎn)e在ad上，求證：bc=ab+cd。例2 已知：如圖1-3，ab=2ac，bad=cad，da=db，求證dcac例3 已知：如圖1-4，在abc中，c

3、=2b,ad平分bac，求證：ab-ac=cd分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)1 已知在abc中，ad平分bac，b=2c，求證：ab+bd=ac2 已知：在abc中，cab=2b，ae平分cab交bc于e，ab=2ac，求證：ae=2ce3 已知：在abc中，ab>ac,ad為bac的平分線，m為ad上任一點(diǎn)。求證：bm-cm>ab-ac4 已知：d是abc的bac的外角的平分線ad上的任一點(diǎn)，連接db、dc。求證：bd+c

4、d>ab+ac。（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知ab>ad, bac=fac,cd=bc。求證：adc+b=180 分析：可由c向bad的兩邊作垂線。近而證adc與b之和為平角。例2 如圖2-2，在abc中，a=90 ，ab=ac，abd=cbd。求證：bc=ab+ad分析：過d作debc于e，則ad=de=ce，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖2-3，abc的角平分線bm、cn相交于

5、點(diǎn)p。求證：bac的平分線也經(jīng)過點(diǎn)p。分析：連接ap，證ap平分bac即可，也就是證p到ab、ac的距離相等。練習(xí)：1如圖2-4aop=bop=15 ，pc/oa，pdoa， 如果pc=4，則pd=（ ） a 4 b 3 c 2 d 12已知在abc中，c=90 ，ad平分cab，cd=1.5,db=2.5.求ac。3已知：如圖2-5, bac=cad,ab>ad，ceab，ae=（ab+ad）.求證：d+b=180 。4.已知：如圖2-6,在正方形abcd中，e為cd 的中點(diǎn)，f為bc 上的點(diǎn)，fae=dae。求證：af=ad+cf。5 已知：如圖2-7，

6、在rtabc中，acb=90 ,cdab，垂足為d，ae平分cab交cd于f，過f作fh/ab交bc于h。求證cf=bh。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，bad=dac，ab>ac,cdad于d，h是bc中點(diǎn)。求證：dh=（ab-ac）分析：延長cd交ab于點(diǎn)e，則可得全等三角形。問題可證。例2 已知：如

7、圖3-2，ab=ac，bac=90 ，ad為abc的平分線，cebe.求證：bd=2ce。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在abc中，ad、ae分別bac的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)b作bfad，交ad的延長線于f，連結(jié)fc并延長交ae于m。求證：am=me。分析：由ad、ae是bac內(nèi)外角平分線，可得eaaf，從而有bf/ae，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在abc中，ad平分bac，ad=ab，cmad交ad延長線于m。求證：am=（ab+ac）分析：題設(shè)中給出了角平分線

8、ad，自然想到以ad為軸作對(duì)稱變換，作abd關(guān)于ad的對(duì)稱aed，然后只需證dm=ec，另外由求證的結(jié)果am=（ab+ac），即2am=ab+ac，也可嘗試作acm關(guān)于cm的對(duì)稱fcm，然后只需證df=cf即可。練習(xí)：1 已知：在abc中，ab=5，ac=3，d是bc中點(diǎn)，ae是bac的平分線，且ceae于e，連接de，求de。2 已知be、bf分別是abc的abc的內(nèi)角與外角的平分線，afbf于f，aebe于e，連接ef分別交ab、ac于m、n，求證mn=bc（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過一邊上的點(diǎn)作

9、角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12acdb例4 如圖，ab>ac, 1=2，求證：abac>bdcd。例5 如圖，bc>ba，bd平分abc，且ad=cd，求證：a+c=180。bdcaabecd例6 如圖，abcd，ae、de分別平分bad各ade，求證：ad=ab+cd。練習(xí)：1. 已知，如圖，c=2a，ac=2bc。求證：abc是直角三角形。cab2已知：如圖，ab=2ac，1=2，da=db，求證：dcacabdc12 3已知ce、ad是abc的角平分線，b=60°，求證：ac=ae+cdaebd

10、c4已知：如圖在abc中，a=90°，ab=ac，bd是abc的平分線，求證：bc=ab+adabcd二、 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證

11、不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1：d、e為abc內(nèi)兩點(diǎn),求證:ab+ac>bd+de+ce.證明：（法一）將de兩邊延長分別交ab、ac于m、n，在amn中，am+an>md+de+ne;（1）在bdm中，mb+md>bd；（2）在cen中，cn+ne>ce；（3）由（1）+（2）+（3）得：am+an+mb+md+cn+ne>md+de+ne+bd+ceab+ac>bd+de+ec（法二：圖1-2）延長bd交ac于f，廷長ce交bf于g，在abf和gf

12、c和gde中有：ab+af>bd+dg+gf（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）gf+fc>ge+ce（同上）（2）dg+ge>de（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：ab+af+gf+fc+dg+ge>bd+dg+gf+ge+ce+deab+ac>bd+de+ec。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知d為abc內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：bdc>bac。分析：因?yàn)閎dc與bac不在同個(gè)三角

13、形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使bdc處于在外角的位置，bac處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長bd交ac于點(diǎn)e，這時(shí)bdc是edc的外角，bdc>dec，同理dec>bac，bdc>bac證法二：連接ad，并廷長交bc于f，這時(shí)bdf是abd的外角，bdf>bad，同理，cdf>cad，bdf+cdf>bad+cad，即：bdc>bac。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，

14、如：例如：如圖3-1：已知ad為abc的中線，且1=2,3=4,求證：be+cf>ef。分析：要證be+cf>ef，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把be，cf，ef移到同一個(gè)三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把en，fn，ef移到同個(gè)三角形中。證明：在dn上截取dn=db，連接ne，nf，則dn=dc，在dbe和nde中：dn=db（輔助線作法）1=2（已知）ed=ed（公共邊）dbende（sas）be=ne（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：cf=nf在efn中en+fn>ef（三角形兩邊之和大于第三邊）be+cf&g

15、t;ef。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在abc中，ab>ac，1=2，p為ad上任一點(diǎn)求證：ab-ac>pb-pc。分析：要證：ab-ac>pb-pc，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊ab-ac，故可在ab上截取an等于ac，得ab-ac=bn，再連接pn，則pc=pn，又在pnb中，pb-pn<bn，即：ab-ac>pb-pc。證明：（截 長 法）在ab上 截 取 a

16、n=ac連 接 pn,在 apn和 apc中an=ac（輔 助 線 作 法）1=2（已 知）ap=ap（公 共 邊）apnapc（sas）,pc=pn（全 等 三 角 形 對(duì) 應(yīng) 邊 相 等）在bpn中，有pb-pn<bn（三 角 形 兩 邊 之 差 小 于 第 三 邊）bp-pc<ab-ac證明：（補(bǔ) 短 法）延 長 ac至 m，使 am=ab，連 接 pm，在 abp和 amp中ab=am（輔 助 線 作 法）1=2（已 知）ap=ap（公 共 邊）abpamp（sas）pb=pm（全 等 三 角 形 對(duì) 應(yīng) 邊 相 等）又在pcm中有：cm>pm-pc(三 角 形 兩

17、邊 之 差 小 于 第 三 邊 )ab-ac>pb-pc。daecb例1如圖，ac平分bad，ceab，且b+d=180°，求證：ae=ad+be。例2如圖，在四邊形abcd中，ac平分bad，ceab于e，ad+ab=2ae，求證：adc+b=180º例3已知：如圖，等腰三角形abc中，ab=ac，a=108°，bd平分abc。dcba求證：bc=ab+dc。mbdca例4如圖，已知rtabc中，acb=90°，ad是cab的平分線，dmab于m，且am=mb。求證：cd=db。【夯實(shí)基礎(chǔ)】例：中，ad是的平分線，且bd=cd，求證ab=ac方法

18、1：作deab于e，作dfac于f，證明二次全等方法2：輔助線同上，利用面積方法3：倍長中線ad【方法精講】常用輔助線添加方法倍長中線 abc中 方式1： 延長ad到e， ad是bc邊中線 使de=ad， 連接be 方式2：間接倍長 作cfad于f， 延長md到n， 作bead的延長線于e 使dn=md，連接be 連接cd【經(jīng)典例題】例1：abc中，ab=5，ac=3，求中線ad的取值范圍提示：畫出圖形，倍長中線ad，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延長線上，de交bc于f，且df=ef，求證：bd=ce方法1：過d作dgae交bc于g，證明

19、dgfcef方法2：過e作egab交bc的延長線于g，證明efgdfb方法3：過d作dgbc于g，過e作ehbc的延長線于h 證明bdgech例3：已知在abc中，ad是bc邊上的中線，e是ad上一點(diǎn)，且be=ac，延長be交ac于f，求證：af=ef提示：倍長ad至g，連接bg，證明bdgcda 三角形beg是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，d、e在bc上，且de=ec，過d作交ae于點(diǎn)f，df=ac.求證：ae平分提示：方法1：倍長ae至g，連結(jié)dg方法2：倍長fe至h，連結(jié)ch例5：已知cd=ab，bda=bad，ae是abd的中線，求證：c=bae提示：倍長ae至f，連結(jié)df 證明a

20、befde（sas）進(jìn)而證明adfadc（sas）【融會(huì)貫通】1、在四邊形abcd中，abdc，e為bc邊的中點(diǎn)，bae=eaf，af與dc的延長線相交于點(diǎn)f。試探究線段ab與af、cf之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長ae、df交于g 證明ab=gc、af=gf 所以ab=af+fc2、如圖，ad為的中線，de平分交ab于e，df平分交ac于f. 求證：提示：方法1：在da上截取dg=bd，連結(jié)eg、fg 證明bdegde dcfdgf 所以be=eg、cf=fg 利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長ed至h，連結(jié)ch、fh 證明fh=ef、ch=be 利用三角形兩邊之和大于第三邊

21、3、已知：如圖，dabc中，Ðc=90°，cmab于m，at平分Ðbac交cm于d，交bc于t，過d作de/ab交bc于e，求證：ct=be.提示：過t作tnab于n 證明btnecd1如圖，abcd，ae、de分別平分bad各ade，求證：ad=ab+cd。edcba2.如圖，abc中，bac=90°，ab=ac，ae是過a的一條直線，且b，c在ae的異側(cè)，bdae于d，ceae于e。求證：bd=de+ce四、 由中點(diǎn)想到的輔助線 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么

22、首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，ad是abc的中線，則sabd=sacd=sabc（因?yàn)閍bd與acd是等底同高的）。例1如圖2，abc中，ad是中線，延長ad到e，使de=ad，df是dce的中線。已知abc的面積為2，求：cdf的面積。解：因?yàn)閍d是abc的中線，所以sacd=sabc=×2=1，又因cd是ace的中線，故scde=sacd=1，因df是cde的中線，所以scdf=scde=×1=。c

23、df的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形abcd中，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點(diǎn)，ba、cd的延長線分別交ef的延長線g、h。求證：bge=che。證明：連結(jié)bd，并取bd的中點(diǎn)為m，連結(jié)me、mf，me是bcd的中位線，mecd，mef=che，mf是abd的中位線，mfab，mfe=bge，ab=cd，me=mf，mef=mfe，從而bge=che。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3圖4，已知abc中，ab=5，ac=3，連bc上的中線ad=2，求bc的長。解：延長ad到e，使de=ad，則ae=2ad=2×2=4。在acd和ebd中，a

24、d=ed，adc=edb，cd=bd，acdebd，ac=be，從而be=ac=3。在abe中，因ae2+be2=42+32=25=ab2，故e=90°，bd=，故bc=2bd=2。例4如圖5，已知abc中，ad是bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：abc是等腰三角形。證明：延長ad到e，使de=ad。仿例3可證：bedcad，故eb=ac，e=2，又1=2，1=e，ab=eb，從而ab=ac，即abc是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形abcd中，ab/dc，acbc，adbd，求證：ac=bd。證明：取ab的中點(diǎn)e，連結(jié)de、ce，則de、

25、ce分別為rtabd，rtabc斜邊ab上的中線，故de=ce=ab，因此cde=dce。ab/dc，cde=1，dce=2，1=2，在ade和bce中，de=ce，1=2，ae=be，adebce，ad=bc，從而梯形abcd是等腰梯形，因此ac=bd。（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7，abc是等腰直角三角形，bac=90°，bd平分abc交ac于點(diǎn)d，ce垂直于bd，交bd的延長線于點(diǎn)e。求證：bd=2ce。證明：延長ba，ce交于點(diǎn)f，在bef和bec中，1=2，be=be，bef=bec=90°，befbec，ef=ec，從而cf=2c

26、e。又1+f=3+f=90°，故1=3。在abd和acf中，1=3，ab=ac，bad=caf=90°，abdacf，bd=cf，bd=2ce。注：此例中be是等腰bcf的底邊cf的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：ad為abc的中線，且1=2，3=4，求證：be+cf>ef。證明：廷長ed至m，使dm=de，連接cm，mf。在bde和cdm中，bd=cd（中點(diǎn)定義）1=5（對(duì)頂角相等）ed=md（輔助線作法）bdecdm（sas）又1=2，3=

27、4（已知）1+2+3+4=180°（平角的定義）3+2=90°即：edf=90°fdm=edf=90°在edf和mdf中ed=md（輔助線作法）edf=fdm（已證）df=df（公共邊）edfmdf（sas）ef=mf（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在cmf中，cf+cm>mf（三角形兩邊之和大于第三邊）be+cf>ef上題也可加倍fd，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：ad為abc的中線，求證：ab+ac>2ad。分析：要證ab+ac>2ad

28、，由圖想到：ab+bd>ad,ac+cd>ad，所以有ab+ac+bd+cd>ad+ad=2ad，左邊比要證結(jié)論多bd+cd，故不能直接證出此題，而由2ad想到要構(gòu)造2ad，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長ad至e，使de=ad，連接be，cead為abc的中線（已知）bd=cd（中線定義）在acd和ebd中bd=cd（已證）1=2（對(duì)頂角相等）ad=ed（輔助線作法）acdebd（sas）be=ca（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在abe中有：ab+be>ae（三角形兩邊之和大于第三邊）ab+ac>2ad。練習(xí)：1 如圖，ab=6，ac=8，d

29、為bc 的中點(diǎn)，求ad的取值范圍。badc862 如圖，ab=cd，e為bc的中點(diǎn)，bac=bca，求證：ad=2ae。becda 3 如圖，ab=ac，ad=ae，m為be中點(diǎn)，bac=dae=90°。求證：amdc。dmcdedadbd4，已知abc，ad是bc邊上的中線，分別以ab邊、ac邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證ef=2ad。 abdcef5已知：如圖ad為abc的中線，ae=ef，求證：bf=ac 常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長中

30、線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線

31、段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖abc中，ab=5，ac=3，則中線ad的取值范圍是_.2：如圖，abc中，e、f分別在ab、ac上，dedf，d是中點(diǎn)，試比較be+cf與ef的大小. 3：如圖，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中點(diǎn)，求證：ad平分bae.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊ab、ac為腰分別向外作等腰rt和等腰rt，連接de，m、n分別是bc、de的中點(diǎn)探究：am與de的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，am與de的位置關(guān)系是 ，線段am與de的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰rt繞點(diǎn)a沿逆時(shí)針

32、方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長補(bǔ)短1.如圖，中，ab=2ac，ad平分，且ad=bd，求證：cdac2：如圖，acbd，ea,eb分別平分cab,dba，cd過點(diǎn)e，求證;abac+bd3：如圖，已知在內(nèi)，p，q分別在bc，ca上，并且ap，bq分別是，的角平分線。求證：bq+aq=ab+bp4：如圖，在四邊形abcd中，bcba,adcd，bd平分，求證：5:如圖在abc中，abac，12，p為ad上任意一點(diǎn)，求證;ab-acpb-pc中考應(yīng)用（08海淀一模）例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中

33、出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖中，若abc2c，如果作bd平分abc，則dbc是等腰三角形；如圖中，若abc2c，如果延長線cb到d，使bdba，連結(jié)ad，則adc是等腰三角形；bcdabcdabcda如圖中，若b2acb，如果以c為角的頂點(diǎn)，ca為角的一邊，在形外作acdacb，交ba的延長線于點(diǎn)d，則dbc是等腰三角形. dcba1、如圖，abc中，abac，bdac交ac于d.求證：dbcbac.abc2、如圖，abc中，acb2b，bc2ac.求證：a90°.二、利用角平分線+平行線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線

34、時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖中，若ad平分bac，adec，則ace是等腰三角形；如圖中，ad平分bac，deac，則ade是等腰三角形；如圖中，ad平分bac，ceab，則ace是等腰三角形；adcbeecbdabacdeabfcdeg如圖中，ad平分bac，efad，則age是等腰三角形.3、如圖，abc中，abac，在ac上取點(diǎn)p，過點(diǎn)p作efbc，交ba的延長線于點(diǎn)e，垂足為點(diǎn)f.求證：.aeap.fbacpefcdeba4、如圖，abc中，ad平分bac，e、f分別在bd、ad上，且decd，efac.求證：efab.e圖1abcd三、利用角平分線+垂線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)

35、三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中，若ad平分bac，addc，則aec是等腰三角形.5、如圖2，已知等腰rtabc中，abac，bac90°，bf平分abc，cdbd交bf的延長線于d。求證： bf2cd.圖2bfdca四：其他方法總結(jié)1截長補(bǔ)短法abcde6、如圖，已知：正方形abcd中，bac的平分線交bc于e，求證：ab+be=ac2倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。eabcdf 7、如圖（7）ad是abc的中線，be交ac于e，交ad于f，且ae=ef求證：ac=bfae8、已知abc，ad是bc邊上的中線，分別以ab邊、ac邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖,求證ef2ad。 fb cd 3平行線法（或平移法） 若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)rt,有時(shí)可作出斜邊的中線abcpqo9、abc中，bac=60°，c=40°ap平分bac交bc于p，bq平分abc交ac于q， 求證：ab+bp=bq+aq oabcpqd圖