極點(diǎn)與系統(tǒng)穩(wěn)定性行穩(wěn)書(shū)苑

1、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能影響一控制系統(tǒng)與極點(diǎn)自動(dòng)控制系統(tǒng)根據(jù)控制作用可分為：連續(xù)控制系統(tǒng)和采樣控制系統(tǒng)，采樣系統(tǒng)又叫離散控制系統(tǒng)。通常把系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形成的離散系統(tǒng),稱為采樣控制系統(tǒng)。連續(xù)控制系統(tǒng)即指控制量為連續(xù)的模擬量如時(shí)變系統(tǒng)。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般由系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)。傳遞函數(shù)為零初始條件下線性系統(tǒng)響應(yīng)（即輸出）量的拉普拉斯變換（或z變換）與激勵(lì)（即輸入）量的拉普拉斯變換之比。記作（s）=xo（s）/xi（s），其中xo（s）、xi（s）分別為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換。使傳遞函數(shù)分母等于零即得到系統(tǒng)的特征方程，特征方程的根稱為極點(diǎn)。如試s= c （s-pi）/(s-qi) 中q1 q2

2、q3 qi 即為系統(tǒng)的極點(diǎn)。二極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響極點(diǎn)-確定了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)；決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面對(duì)連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)分別進(jìn)行分析：連續(xù)系統(tǒng)理論分析：連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布有如下幾種形式設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為： 將h(s)進(jìn)行部分分式展開(kāi)：系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(s)的時(shí)域特性h(t)隨時(shí)間衰減的信號(hào)分量完全由系統(tǒng)函數(shù)h(s)的極點(diǎn)位置決定。每一個(gè)極點(diǎn)將決定h(t)的一項(xiàng)時(shí)間函數(shù)。穩(wěn)定性：由上述得知y(s)= c （s-pi）/(s-qi) 可分解為y(s)=c1/(s-1)+ c2/(s-2)+ c3/(s-3)+ ci/(s-i)+ 則時(shí)間響應(yīng)為 由于特征方程的根不止一個(gè)，這時(shí)，應(yīng)把系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)看成是多個(gè)運(yùn)動(dòng)分

3、量的合成。只要有一個(gè)運(yùn)動(dòng)分量是發(fā)散的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此，特征方程所有根的實(shí)部都必須是負(fù)數(shù)，亦即所有的根都在復(fù)平面的左半平面。通過(guò)復(fù)變函數(shù)幅角定理將s由g平面映射到gh平面。如果封閉曲線 f 內(nèi)有z個(gè)f(s)的零點(diǎn)，有p個(gè)f(s)的極點(diǎn)，則s沿 f 順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在f(s)平面上，f(s)曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)的圈數(shù)r為z和p之差，即rzp。若r為負(fù),表示f(s)曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。f(s)的分母是g0(s)的分母，其極點(diǎn)是g0(s)的極點(diǎn)；其分子是Ø(s)的分母，即Ø(s)的特征多項(xiàng)式，其零點(diǎn)是Ø(s)的極點(diǎn)。取d形曲線（d圍線）如圖所示，是整個(gè)右半復(fù)

4、平面。且設(shè)d曲線不經(jīng)過(guò)f(s)的任一極點(diǎn)或零點(diǎn)。s沿d曲線順時(shí)針變化一周，f(s)順時(shí)針包圍原點(diǎn)的周數(shù)為： n=z-p=f(s)在右半復(fù)平面的零點(diǎn)數(shù)(閉環(huán)傳函在右半復(fù)平面極點(diǎn)數(shù))-f(s)在右半復(fù)平面的極點(diǎn)數(shù)(開(kāi)環(huán)傳函在右半復(fù)平面極點(diǎn)數(shù))所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：n=- p =-開(kāi)環(huán)傳函在右半復(fù)平面的極點(diǎn)數(shù)因此：反饋控制系統(tǒng)在s右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)z=p-2n，式中，p為s右半平面開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)，n為開(kāi)環(huán)nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1 ,j0) 點(diǎn)的圈數(shù)，且有n=n+n-其中n+為：正穿越與半次正穿越次數(shù)的和。其中n-為：負(fù)穿越與半次負(fù)穿越次數(shù)的和。正穿越：隨著w的增大，開(kāi)環(huán)nyqu

5、ist曲線逆時(shí)針穿越實(shí)軸區(qū)間(-¥ , -1) 。半次正穿越：逆時(shí)針?lè)较螂x開(kāi)（或中止于）實(shí)軸區(qū)間(-¥ , -1) 。負(fù)穿越：隨著w的增大，開(kāi)環(huán)nyquist曲線順時(shí)針穿越實(shí)軸區(qū)間(-¥ , -1) 。半次負(fù)穿越：順時(shí)針?lè)较螂x開(kāi)或中止于實(shí)軸區(qū)間(-¥ , -1) 。若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)，開(kāi)環(huán)nyquist 曲線在w=0時(shí)，幅值無(wú)窮大，而相角為 。判斷穩(wěn)定性要求w=0開(kāi)始逆時(shí)針補(bǔ)半徑為無(wú)窮大，角度為 的虛線圓弧。在計(jì)算正、負(fù)穿越次數(shù)時(shí)，應(yīng)將補(bǔ)上的虛線圓弧作為nyquist 曲線的一部分。(-1,j0)w同樣其他穩(wěn)定性的判別由勞斯判據(jù)和赫爾維茲判據(jù) 波的

6、圖判據(jù)等原理相同。都是由特征方程推出s根沒(méi)有復(fù)實(shí)部?？偨Y(jié)：1.如系統(tǒng)函數(shù)h(s)的全部極點(diǎn)落于s域左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。2.如系統(tǒng)函數(shù)h(s)有極點(diǎn)落于s右半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點(diǎn)，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.若系統(tǒng)函數(shù)h(s)沒(méi)有極點(diǎn)落在右半平面，但在虛軸上有一階極點(diǎn)，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。4. 系統(tǒng)函數(shù)的分子多項(xiàng)式的階次，不應(yīng)高于分母多項(xiàng)式的階次。離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性原理與連續(xù)系統(tǒng)一樣，由于離散系統(tǒng)本身特征稍有改，離散信號(hào)是脈沖序列即時(shí)間上離散，離散信號(hào)是數(shù)字序列即幅值上整量化。g(s)因此引入z變換取代拉斯變換只適用與連續(xù)函數(shù)，離散時(shí)間序列 x(n) 的z變換定義為x(z)x(n)z-n

7、 ，常用序列的z變換中ze，為實(shí)變數(shù)，為實(shí)變量，j，所以z是一個(gè)幅度為e，相位為的復(fù)變量。x(n)和x(z)構(gòu)成一個(gè)z變換時(shí) 。理想的單位脈沖序列：采樣器可以看成是一個(gè)調(diào)制器，輸入量作為調(diào)制信號(hào)，而單位脈沖串可以作為載波信號(hào)，調(diào)制過(guò)程可以表示為： 則：z變換為：定義：則：由以上定義得知z變換，則如何從s平面映射到z平面：當(dāng)s< 0，則對(duì)應(yīng)在s左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定映射到z平面上 對(duì)應(yīng)在z平面的單位圓內(nèi)，脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定； 當(dāng)s > 0，則對(duì)應(yīng)在s右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，映射到z平面上 對(duì)應(yīng)在z平面的單位圓外，脈沖系統(tǒng)不穩(wěn)定； 當(dāng)s0，則對(duì)應(yīng)在s平面的虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，映射到z平面上 對(duì)應(yīng)在z平面的單位圓上，脈沖系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 將z進(jìn)行映射變換，離散系統(tǒng)穩(wěn)定判斷依舊能夠使用勞斯判據(jù)判斷。總結(jié)：穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的收斂域，應(yīng)該包含單位圓（包含在單位圓內(nèi)）。即穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，其極點(diǎn)不應(yīng)分布