函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)高教課堂

1、第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1教育教學(xué)一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出1.1.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,則有則有2.2.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,則有則有例如例如, , 當(dāng)當(dāng)x很小時(shí)很小時(shí), , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 2教育教學(xué)xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 3教育教學(xué)不足不足:問(wèn)題問(wèn)題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xp, ,使得使得)()(xpxf 誤差誤差 )()()(xp

2、xfxr 可估計(jì)可估計(jì)1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計(jì)、誤差不能估計(jì).設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在含有在含有0 x的開(kāi)區(qū)間的開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), ,)(xp為多項(xiàng)式函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù)nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xpxfxrnn 4教育教學(xué)二、二、np和和nr的確定的確定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxpn )()(00 xfxpn )()(00 xfxpn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好近似程度越來(lái)越好1.若在若在 點(diǎn)相

3、交點(diǎn)相交0 x5教育教學(xué)假設(shè)假設(shè) nkxfxpkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xpn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 6教育教學(xué)三、泰勒三、泰勒(taylor)(taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(taylor)(taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個(gè)開(kāi)區(qū)間的某個(gè)開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到) 1

4、( n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí), , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個(gè)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng))(xrn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ( ( 在0 x與與x之間之間) ). .7教育教學(xué)證明證明: : 由假設(shè)由假設(shè), ,)(xrn在在),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), ,且且兩函數(shù)兩函數(shù))(xrn及及10)( nxx在以在以0 x及及x為端點(diǎn)的為端點(diǎn)的區(qū)間上滿

5、足柯西中值定理的條件區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得)()(1()(0011之間之間與與在在xxxnrnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxrxrxxxr0)()()()(0)(000 xrxrxrxrnnnnn8教育教學(xué)如此下去如此下去, ,經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò))1( n次后次后, ,得得 兩函數(shù)兩函數(shù))(xrn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 為端點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxrrxnr !1)()()()1(10 nrxxxrnnnn ( (之之間間與與

6、在在nx 0, ,也在也在0 x與與x之間之間) )()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnrnn 9教育教學(xué) nkkknxxkxfxp000)()(!)()(稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf按按)(0 xx 的冪展開(kāi)的的冪展開(kāi)的 n n 次近似多項(xiàng)式次近似多項(xiàng)式 nknkkxrxxkxfxf000)()()(!)()(稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf按按)(0 xx 的冪展開(kāi)的的冪展開(kāi)的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxrnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xpnn)()()1()1(xfxrnnn 10教育教學(xué)拉格朗日形式的余項(xiàng)拉格朗日形

7、式的余項(xiàng) 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnmxxnfxr )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxrnnn 皮亞諾形式的余項(xiàng)皮亞諾形式的余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxr及及.)()(0nnxxoxr 即即11教育教學(xué)注意注意: :1.1. 當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,泰勒公式變成拉氏中值公式泰勒公式變成拉氏中值公式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nn

8、nxnxfxr 12教育教學(xué))(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(maclaurin)(maclaurin)公式公式13教育教學(xué)四、泰勒級(jí)數(shù)四、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級(jí)數(shù)在其收斂存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: 1.如果能展開(kāi)如果能展開(kāi), 是什么是什么?na2.展開(kāi)式是否唯一展開(kāi)式是否唯一?3.在什么條件下才能展開(kāi)成

9、冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?14教育教學(xué)證明證明即即內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xu 內(nèi)具有任意階導(dǎo)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)數(shù), , 且在且在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)能能展開(kāi)成展開(kāi)成)(0 xx 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), ,即即 nnnxxaxf)()(00 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開(kāi)式是唯一的且展開(kāi)式是唯一的. .15教育教學(xué) )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1

10、, 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開(kāi)式是唯一的的展開(kāi)式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)16教育教學(xué) 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo), ,則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù). .nnnxnf 0)(!)0(稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)00 x的的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù). .問(wèn)題問(wèn)題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定義定義泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)

11、間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.17教育教學(xué) 0, 00,)(21xxexfx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)為的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級(jí)數(shù)在該級(jí)數(shù)在可見(jiàn)可見(jiàn)).()(,0 xfxfs于于的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂外外除除 在在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo),18教育教學(xué)定理定理 2 2 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù), ,在在)(0 xu 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xu 內(nèi)內(nèi)0)(lim xrnn. .證明（略）證明（略）定定理理 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在)(0 xu上上

12、有有定定義義, ,0 m, ,對(duì)對(duì)),(00rxrxx , ,恒恒有有 mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00rxrx 內(nèi)內(nèi)可可展展開(kāi)開(kāi)成成點(diǎn)點(diǎn)0 x的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .19教育教學(xué)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(mxfrnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收20教育教學(xué)例例1解解.)(展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1

13、)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 m上上在在,mm xnexf )()(me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于m的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx21教育教學(xué)例例2.sin)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x22教育教學(xué)

14、例例3.)()1()(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成將將xrxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 r23教育教學(xué)若若內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用24教育教學(xué))()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx

15、)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 25教育教學(xué)即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為;1 , 1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.1 , 11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為26教育教學(xué)有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),21, 1 )1 , 1()1(1

16、1132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘27教育教學(xué)2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見(jiàn)展開(kāi)式利用常見(jiàn)展開(kāi)式, 通過(guò)通過(guò)變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方等方法法,求展開(kāi)式求展開(kāi)式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxx

17、xnn28教育教學(xué) xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x29教育教學(xué)例例4處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x30教育教學(xué)xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 31教育教學(xué)),

18、(!1! 2112 xxnxxenx)!12() 1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),( xnxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2211,( 11)1nxxxxx2311( 1),( 11)1nnxxxxxx 231ln(1)( 1),( 11)231nnxxxxxxn （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）32教育教學(xué)三、小結(jié)三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法.33教育教學(xué)思考題思考題什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法？什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法？34教育教學(xué)思考題解答思考題解答 從已知的展開(kāi)式出發(fā)從已知的展開(kāi)式出發(fā), 通過(guò)變量代換、四則運(yùn)通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,求出給定函數(shù)求出給定函