山東理工大學(xué)復(fù)變?cè)囶}

1、一填空（每空3分，共36分）1.= ， = .2.設(shè)函數(shù) 為解析函數(shù), 則 .3積分 ，積分 .4設(shè)C為正向圓周|=2，f(z)=，其中|z|<2，則 .5. 是的 類型孤立奇點(diǎn)， .6冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑是 .7. 映射 在處的伸縮率為 ，轉(zhuǎn)動(dòng)角為 .8. 的付氏變換是 .二計(jì)算. (10分)三. 把函數(shù)分別在圓環(huán)域（1）；（2）內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù). (12分)四. 計(jì)算積分 .(10分)五. 求將上半平面映射成單位圓且滿足條件 的分式線性映射.(10分)六. 為調(diào)和函數(shù)，求一解析函數(shù)(12分)七.求微分方程：的解 .(10分)一.填空題（每小題3分，共36分）1. 設(shè) ， 則 ,的三角表示

2、為 .2. ; 已知,則 . 3. . 4. . 5.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 .6.已知，則 .7.的全部孤立奇點(diǎn)為 .8.分式線性映射在處的旋轉(zhuǎn)角為 ，伸縮率為 .9.函數(shù)的Laplace變換 .二.設(shè) 為解析函數(shù)，求的值。(6分) 三. 將 分別在圓環(huán)域（1）；（2）內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù).（8分）四. 求將單位圓映成單位圓，且使分別映為的分式線性映射.( 8分)五. 求積分的值，其中為(12分). 六. 已知調(diào)和函數(shù)，求其共軛調(diào)和函數(shù)及解析函數(shù).(10分)七.計(jì)算積分的值.（10分） 八. 求微分方程 滿足初始條件的解.（10分）一.填空題（每小題3分，共36分）1.設(shè)，則的三角表示為 ，如果存在復(fù)

3、數(shù)使得滿足，則 復(fù)數(shù) .2.設(shè)函數(shù) 為解析函數(shù), 則 _ .3. _ , _ . 4.設(shè)，則 _ .5.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 _ .6.已知，則 .7.分式線性映射在處的旋轉(zhuǎn)角為 ，伸縮率為 .8.將點(diǎn)分別映射為的分式線性映射為 .9.函數(shù)的Laplace變換 _.二. 將 分別在圓環(huán)域（1）；（2）內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù).（10分）三.求將上半平面映成單位圓內(nèi)部，并且滿足分式線性映射.( 10分)四. 求積分的值，其中積分路徑為不經(jīng)過和的正向簡(jiǎn)單閉曲線 (14分). 五. 設(shè)和設(shè)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部，并且滿足，求解析函數(shù).(10分) 六.計(jì)算積分的值.（10分） 七. 求微分方程 滿足初始條件的解.（

4、10分）復(fù)變函數(shù)與積分變換第一部分 選擇題 (共30分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共15小題，每小題2分，共30分) 在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1下列復(fù)數(shù)中，位于第象限的復(fù)數(shù)是（ ）A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i2下列等式中，對(duì)任意復(fù)數(shù)z都成立的等式是（ ）A.z·=Re(z·)B. z·=Im(z·)C. z·=arg(z·) D. z·=|z|3不等式所表示的區(qū)域?yàn)椋?）A.角形區(qū)域 B.圓環(huán)內(nèi)部C.圓的內(nèi)部D.橢圓內(nèi)部4函數(shù)

5、把Z平面上的單位圓周|z|=1變成W平面上的（ ）A.不過原點(diǎn)的直線B.雙曲線C.橢圓D.單位圓周5下列函數(shù)中，不解析的函數(shù)是（ ）A.w=B.w=z2C.w=ezD.w=z+cosz6在復(fù)平面上，下列關(guān)于正弦函數(shù)sinz的命題中，錯(cuò)誤的是（ ）A.sinz是周期函數(shù)B.sinz是解析函數(shù)C.|sinz|D.7在下列復(fù)數(shù)中，使得ez=2成立的是（ ）A.z=2B.z=ln2+2C.z=D.z=ln2+8若f(z)在D內(nèi)解析，為f(z)的一個(gè)原函數(shù)，則（ ）A.B. C. D. 9設(shè)C為正向圓周|z|=1,則等于（ ）A.0B.C.D.10對(duì)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，以下命題正確的是（ ）A.級(jí)數(shù)是條件收斂

6、的B.級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的C.級(jí)數(shù)的和為 D.級(jí)數(shù)的和不存在，也不為11級(jí)數(shù)的和為（ ）A.0B.不存在C.iD.-i12對(duì)于冪級(jí)數(shù)，下列命題正確的是（ ）A.在收斂圓內(nèi)，冪級(jí)數(shù)條件收斂B.在收斂圓內(nèi)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂C.在收斂圓周上，冪級(jí)數(shù)必處處收斂D.在收斂圓周上，冪級(jí)數(shù)必處處發(fā)散13z=0是函數(shù)的（ ）A.本性奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.連續(xù)點(diǎn)D.可去奇點(diǎn)14在點(diǎn)z=0處的留數(shù)為（ ）A.-1 B.0C.1D.215將點(diǎn)，0，1分別映射成點(diǎn)0，1，的分式線性映射是（ ）A.B. C. D. 第二部分 非選擇題 （共70分）二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）16設(shè),則Rez=_.17.f(z

7、)=(x2-y2-x)+i(2xy-y2)在復(fù)平面上可導(dǎo)的點(diǎn)集為_.18.設(shè)C為正向圓周|z-|=1,則積分_.19.函數(shù)在奇點(diǎn)z=0附近的羅朗級(jí)數(shù)的收斂圓環(huán)域?yàn)開.20.在點(diǎn)z=1處的留數(shù)為_.三、計(jì)算題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）21設(shè),求z+和z-.22. 設(shè). (1)求f(z)的解析區(qū)域，（2）求23.設(shè)f(z)=x2-2xy-y2-i(x2-y2).求出使f(z)可導(dǎo)的點(diǎn), (2)求f(z)的解析區(qū)域.24.設(shè)z=x+iy,L為從原點(diǎn)到1+i的直線段.求25.計(jì)算積分26.設(shè)C為正向圓周|z-1|=3,計(jì)算積分I=27.將函數(shù)f(z)=在圓環(huán)0<|z|<1內(nèi)展

8、開成羅朗級(jí)數(shù).28.將函數(shù)f(z)=ln(3-2z)在點(diǎn)z=0處展開為泰勒級(jí)數(shù)，并求其收斂半徑.四、綜合題（下列3個(gè)小題中，29題必做，30、31題中只選做一題，需考積分變換者做31題，其他考生做30題，兩題都做者按31題給分。每題10分，共20分）29利用留數(shù)定理計(jì)算積分I=30.試求一函數(shù)w=f(z),它將Z平面上的區(qū)域0<argz<保角映射成W平面上的單位圓域|w|<1，且使z=1+i，0分別映射成w=0,1.31.已知f(t)=,試求下列函數(shù)的付氏變換：(1)e-2tf(t),(2)sin2t，(3)g(t)=e-2tf(t)+3sin2t.復(fù)變函數(shù)與積分變換試題（十

9、）一、填空題(每格2分，共40分)1.z=6+i,則 |z|=_，argz=_.2.z=e-3+i則argz=_.3.復(fù)數(shù)-1+i的三角形式是_.4.一曲線的復(fù)數(shù)方程是|z-i|=1,則此曲線的直角坐標(biāo)方程為_.5.設(shè)z=(-i)i,則|z|=_.6.f(z)=2cos(-z),則f(i)=_.7.設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函數(shù)，v(x,y)=y,則f(z)=_.8.zsin(z2)dz=_.9.沿指定曲線正向的積分dz=_.10.設(shè)C1為正向圓周|z-2|=1,C2為正向圓周|z|=1,則積分=_.11.級(jí)數(shù)的收斂半徑R= .12.函數(shù)f(z)=在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)是_.

10、13.羅朗級(jí)數(shù)的收斂域是_.14.Z=3是函數(shù)sin的孤立奇點(diǎn)，它屬于_類型，Ressin,3=_.15.z=0是函數(shù)z-sinz的_階零點(diǎn)。16.函數(shù)W=z2在z平面上，伸縮率等于2的點(diǎn)構(gòu)成的曲線方程是_.17.沿指定曲線正向的積分=_.18. =_.二、計(jì)算題及證明題(5題，共30分)1.(5分)試證：設(shè)是純虛數(shù)，則必有|z|=1.2.(5分)求z4+-i=0的根.3.(7分)解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虛部v(x,y)=3x2y-y3,求f(z).4.(6分) 將函數(shù)f(z)=.在2<|z|<3內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù).5.(7分)求函數(shù)f(z)=在各孤立奇點(diǎn)處的

11、留數(shù). 三、計(jì)算題及應(yīng)用題(5題共30分)1.(8分)給定積分.試就下列不同情形，寫出此積分的值：(1)C為正向圓周|z|=1， (2)C為正向圓周|z-2|=1, (3)C為正向圓周|z|=3.2.(6分)計(jì)算積分 J=.3.(6分)函數(shù)W=將右半平面Rez>0映射為W平面上的什么區(qū)域?4.(4分)設(shè)Ff(t)=F()，(1)Ff(t-t0)=_.t0R.(2)Ff(at)=_.aR,a0(3)若Ff(t)=e-,問Ff(2t-3)=_.5.(6分)用拉氏變換解下列微分方程：y+3y+2y=2e-3t,y(0)=0, y(0)=11復(fù)數(shù)的模為_，輻角為_. 2曲線在映射下的象曲線為_. 3_. 4為函數(shù)的_級(jí)極點(diǎn)；在該點(diǎn)處的留數(shù)為_. 5函數(shù)僅在_處可導(dǎo). 6設(shè)，其中，則_. 7. 在映射下，處的旋轉(zhuǎn)角為_，伸縮率為_. 8.已知?jiǎng)t它們的卷積_. 得分評(píng)卷人二、（10分）驗(yàn)證是一調(diào)和函數(shù)，并構(gòu)造解析函數(shù)滿足條件.得分評(píng)卷人三、計(jì)算下列各題（每小題5分，共25分）：1 .2 .3. .4. .5. 用留數(shù)計(jì)算，由此求出的傅里葉(Fourier)逆變換. 得分評(píng)卷人四、（12分）把函