有限元基礎課程學習總結

1、有限元基礎理論學習總結報告中國礦業(yè)大學（北京）14級碩士 王 濤通過課上和課下的學習，對有限元基礎理論有了一定的了解和認識。經(jīng)過學習，更加深刻的理解了有限元的離散、單元類型、插值函數(shù)構造和等參變換等知識，現(xiàn)對有限元的基本理論和用法做了如下學習和報告。已經(jīng)發(fā)展的偏微分方程數(shù)值分析方法可以分為兩大類。一類是有限差分法，其特點是直接求解基本方程和相應定解條件的近似解，求解步驟歸納為：首先將求解域劃分為網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格的節(jié)點上用差分方程來近似微分方程。借助于有限差分法能夠求解相當復雜的問題，特別是求解方程建立于固結在空間的坐標系（Euler坐標系）的流體力學問題，有限差分法有自身的優(yōu)勢，因此在流體力學

2、領域內(nèi)，至今仍占支配地位。但是對于固體結構問題，由于方程通常建立于固結的物體上的坐標系（Lagrange坐標系）和形狀復雜，另一類數(shù)值分析方法有限元法則更為合適。有限差分法： 特點：以差分方程近似微分方程，直接數(shù)值求解原問題的微分方程，在流體力學，巖土力學領域占重要地位。有限元法： 特點：區(qū)別于有限差分法，即不是直接從問題的微分方程和相應的定解條件出發(fā)，而是從等效的積分形式出發(fā)，數(shù)值求解原問題的等效積分方程。 基本思想：1 將求解域離散為有限個子域（單元）的集合 2 分片逼近待求函數(shù) 分析過程：1 單元特性分析，單元節(jié)點位移與節(jié)點力之間的關系 2 系統(tǒng)特性分析，將單元剛度矩陣集成整體剛度方程

3、1. 有限元法的理論基礎加權余量法和變分原理 1.1 微分方程的等效積分形式和加權余量法1.1.1 微分方程的等效積分形式工程或物理學中的許多問題，通常是以未知場函數(shù)應滿足的微分方程和邊界條件形式提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)應滿足微分方程組 （在內(nèi)） （1.1.1）域可以是體積域、面積域等。同時未知函數(shù)還應滿足邊界條件 （在內(nèi)） （1.1.2）是域的邊界。由于微分方程組（1.1.1）在域中每一點都必須為零，因此就有 （1.1.3）其中 是函數(shù)向量，它是一組和微分方程個數(shù)相等的任意函數(shù)。（1.1.3）式與微分方程組（1.1.1）式是完全等效的積分形式。同理，加入邊界條件（1.1.2）也同時

4、在邊界上每一點都得到滿足，則其等效積分形式（微分方程）為 (1.1.5)對（1.1.5）分部積分得到等到另一種形式 (1.1.6)其中C、D、E、F是微分算子，它們中包含的階數(shù)較（1.1.5）式的A低，這樣對函數(shù)只需要求較低階的連續(xù)性就可以了。在（1.1.6）式中降低的連續(xù)性要求是以提高和的連續(xù)性要求為代價的。這種通過適當提高對任意函數(shù)和的連續(xù)性要求，以降低對微分方程場函數(shù)的連續(xù)性要求所建立的等效積分形式稱為微分方程的等效積分“弱”形式。1.1.2 基于等效積分形式的近似方法加權余量法對微分方程（1.1.1）式和邊界條件（1.1.2）式所表達的物理問題，假設未知場函數(shù)可以采用近似函數(shù)來表示。近

5、似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一般形式是 （1.1.7）其中是待定參數(shù)；是稱之為試探函數(shù)（或基函數(shù)、形函數(shù)）的已知函數(shù)，它取自完全的函數(shù)序列，是線性獨立的。顯然，近似解不能精確滿足微分方程（1.1.1）式和全部邊界條件（1.1.2）式，它們將產(chǎn)生殘差和，即;。殘差和亦稱為余量。在（1.1.5）式中用n個規(guī)定的函數(shù)來代替任意函數(shù)和，即 ； （1.1.8）和稱為權函數(shù)。對應等效積分“弱”形式（1.1.6）式，同樣可以得到它的近似形式為 （1.1.9）采用使余量的加權積分為零來求得微分方程近似解得方法稱為加權余量法。對于權函數(shù)不同的選擇可分為配點法，子域法，最小二乘法，力矩法和伽遼金法。1.2

6、 變分原理如果微分方程具有線性和自伴隨的性質(zhì)，則不僅可以建立它的等效積分形式，并利用加權余量法求其近似解，還可以建立與之相等效的變分原理，并進而得到基于它的另一種近似求解方法，即里茲方法。1.2.1 線性、自伴隨微分方程變分原理的建立1. 線性、自伴隨微分算子若有微分方程 （在域內(nèi)） （1.2.1）其中微分算子具有如下性質(zhì) （1.2.2）則稱為線性算子，方程（1.2.1）為線性微分方程。其中和是兩個常數(shù)?，F(xiàn)定義和任意函數(shù)的內(nèi)積為 （1.2.3）對上式進行分部積分直至的倒數(shù)消失，這樣就可以得到轉化后的內(nèi)積并伴隨有邊界項。結果可表示如下： （1.2.4）表示在的邊界上由和及其導數(shù)組成的積分項。稱為

7、的伴隨算子。若=，則稱算子是自伴隨的。微分方程（1.2.1）為線性、自伴隨的微分方程。2. 泛函的構造原問題的微分方程和邊界條件表達如下 （在內(nèi)） （在上） （1.2.5）和以上微分方程及邊界條件相等效的伽遼金提法可表示如下 （1.2.6）利用算子是線性、自伴隨的，就可得到原問題的變分原理 （1.2.7）其中是原問題的泛函，以為內(nèi)此泛函中（包含的導數(shù)）的最高次為二次，所以稱為二次泛函。原問題的微分方程和邊界條件的等效積分的伽遼金提法等效于它的變分原理，即原問題的微分方程和邊界條件等效于泛函的變分等于零，亦即變分取駐值。1.3 彈性力學的基本方程和變分原理1.3.1彈性力學基本方程的張量形式1.

8、 平衡方程（在內(nèi)） （1.3.1）2. 幾何方程應力-位移關系（在內(nèi)） （1.3.2）3. 物理方程應力-應變關系 （在內(nèi)） （1.3.3）4. 力的邊界條件 （在內(nèi)） （1.3.4） 其中 ，是外界法線的三個方向余弦。5. 位移邊界條件 （在上） （1.3.5）6. 應變能和余能單位體積應變能 （1.3.6）單位體積余能 （1.3.7） 1.3.2 平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式虛功原理虛功原理是虛位移原理和虛應力原理的總稱。作為彈性力學微分方程的等效積分形式，虛位移原理與虛應力原理分別是平衡方程與力的邊界條件和幾何方程與位移邊界條件的等效積分形式。在導出它們的過程中都未涉及到物理方

9、程，所以它們不僅可以用于線彈性問題，而且可以用于非線性彈性以及彈塑性等非線性問題。將物理方程引入虛位移原理和虛應力原理可以分別導出最小位能原理和最小余能原理。它們本質(zhì)上和等效積分的伽遼金“弱”形式相一致。這是建立彈性力學有限元方程的理論基礎。彈性力學最小位能原理和最小余能原理都屬于自然變分原理。2 彈性力學問題有限元方法的一般原理和表達格式通過彈性力學變分原理建立彈性力學問題有限元方法表達格式的基本步驟。最小位能原理的未知場變量是位移，以節(jié)點位移為基本未知量，并以最小位能原理為基礎建立有限單元為位移元。它是有限元方法中應用最為普遍的單元。對于一個力學或物理問題，在建立其數(shù)學模型以后，用有限元方

10、法對它進行分析的首要步驟是選擇單元形式。平面問題3節(jié)點三角形單元是有限元方法最早采用，而且至今仍經(jīng)常采用的單元形式。以它作為典型，討論如何應用廣義坐標建立單元位移模式與位移插值函數(shù)，以及如何根據(jù)最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法與步驟，并進而引出彈性力學問題有限元方法的一般表達式。2.1 彈性力學平面問題的有限元格式2.1.1 單元位移模式及插值函數(shù)的構造 圖2.1 3節(jié)點三角形單元1. 單元的位移模式和廣義坐標在有限元方法中單元的位移模式或稱位移函數(shù)一般采用多項式作為近似函數(shù)，因為多項式運算簡便，并且隨著項數(shù)的增多，可以逼近任何一段光滑的函數(shù)曲線。多項式的選取應有低次到高次。3節(jié)點三

11、角形單元位移模式選取一次多項式 u = b1 + b2x + b3y v = b4 + b5x + b6y （2.1.1）其中是待定系數(shù)，稱之為廣義坐標。6個廣義坐標可由單元的6個節(jié)點位移來表示。在（2.1.1）的1式中帶入節(jié)點的坐標可得到節(jié)點在方向的位移，同理可得和。它們表示為 （2.1.2）2. 位移插值函數(shù)將求得的廣義坐標代入（2.1.1），可將位移函數(shù)表示成節(jié)點位移的函數(shù)，即 （2.1.3）其中 （2.1.4），稱為單元的插值函數(shù)或形函數(shù)，對于當前情況，它是坐標的一次函數(shù)，其中的是常數(shù)，取決于單元的3個節(jié)點坐標。 2.2.2 利用最小位能原理建立有限元方程對于離散模型，系統(tǒng)總位能的離散

12、公式 （2.2.1）將結構總位能的各項矩陣表達成各個單元總位能的各對應項矩陣之和，隱含著要求單元各項矩陣的階數(shù)（即單元的節(jié)點自由度數(shù)）和結構各項矩陣的階數(shù)（即結構的節(jié)點自由度數(shù)）相同。為此需要引入單元節(jié)點自由度和結構節(jié)點自由度的轉換矩陣G，從而將單元節(jié)點位移列陣用結構結點位移列陣表示，即 （2.2.2） 則離散形式的總位能可表示為 （2.2.3）由于離散形式的總位能的未知變量是結構的結點位移，根據(jù)變分原理，泛函取駐值的條件是它的一次變分為零，d P p0，這樣就得到有限元的求解方程 （2.2.4）其中 （2.2.5）和分別稱之為結構整體剛度矩陣和結構結點載荷列陣。它們都是有單元敢賭矩陣和單元等

13、效結點載荷列陣集合而成。需要注意，將單元剛度矩陣和單元等效結點載荷列陣集成為結構剛度矩陣和結構等效載荷列陣時，實際執(zhí)行的并不是如（2.2.5）式所示需通過轉換矩陣G的運算，而是將單元矩陣或列陣的元素直接“對號入座”，疊加到結構矩陣或列陣而成。以上表述的是基于彈性力學最小位能原理形成的有限元求解方程的一般原理。 2.2.3 引入位移邊界條件最小位能變分原理是具有附加條件的變分原理，它要求場函數(shù)滿足幾何方程和位移邊界條件。現(xiàn)在離散模型的近似場函數(shù)在單元內(nèi)部滿足幾何方程，因此由離散模型近似的連續(xù)體內(nèi)幾何方程也是滿足的。但是在選擇場函數(shù)的試探函數(shù)（多項式）時，卻沒有提出在邊界上滿足位移邊界條件的要求，

14、因此必須將這個條件引入有限元方程，使之得到滿足。可以引入邊界條件的方法有直接代入法、對角元素改1法和對角元素乘大數(shù)法。直接代入法要重新組合方程，組成的新方程階數(shù)降低了，但結點位移的順序性已被破壞，這給編制程序帶來了一些麻煩；對角元素改1法引入強制邊界條件比較簡單，不改變原來方程的階數(shù)和結點未知量的順序編號。但這種方法只能用于給定零位移；對角元素乘大數(shù)法使用簡單，對任何給定位移（零值或非零值）都適用。采用這種方法引入強制邊界條件時方程階數(shù)不變，結點位移順序不變，編制程序十分方便，因此在有限元法中經(jīng)常采用。2.3 廣義坐標有限元法一般格式 2.3.1 廣義坐標有限元位移模式的選擇和插值函數(shù)的構造1

15、. 選擇廣義坐標有限元位移模式的一般原則（1）廣義坐標的個數(shù)應與單元結點自由度數(shù)相等，否則待定廣義坐標b無法以單元結點位移來表示。例如，3結點三角形單元有6個自由度，因此其廣義坐標個數(shù)只能是6，每個方向3個。（2）多項式中常數(shù)項和坐標的一次項必須完備，目的是確保所選位移模式能反映單元的剛體位移和常應變特性。 （3）多項式選取應由低階到高階，盡量選取完全多項式。對于平面問題： 零次完全多項式： x0，y0 一次完全多項式： x, y 二次完全多項式： x2, xy, y2 三次完全多項式： x3, x2y, xy2, y3 若由于項數(shù)限制不能選取完全多項式時，選擇的多項式應具有坐標對稱性。且一個

16、方向的次數(shù)不應超過完全多項式的次數(shù)。如二次：xy；三次：x2y，xy2。2. 建立廣義坐標有限元位移插值函數(shù)的一般步驟（1）假設位移模式； （2）將各結點坐標代入，得到關于廣義坐標的線性方程組，從而求出廣義坐標；（3）將廣義坐標b回代入一般位移模式中得到由單元結點位移列陣所表示的位移模式； （4）由位移模式，由矩陣形式的幾何方程，求導數(shù)可得到應變矩陣B，即ae=（5）由矩陣形式的物理方程，則彈性矩陣乘以應變向量，得。2.3.2 彈性力學問題有限元分析的執(zhí)行步驟在根據(jù)問題的類型和性質(zhì)選定了單元的形式，并構造了它的插值函數(shù)以后，可按以下步驟對問題進行有限元分析。（1）對結構進行

17、離散。按問題的幾何特點和精度要求等因素劃分單元并形成網(wǎng)格，既將原來的連續(xù)體離散為在結點處互相聯(lián)結的有限單元組合體。（2）形成單元的剛度矩陣和等效結點載荷列陣。單元剛度矩陣的一般形式為 （2.3.1）單元等效結點載荷的一般形式為 （3）集成結構的剛度矩陣和等效結點載荷列陣 （2.3.2）其中是直接作用于結點上的集中力。（4）引入強制邊界條件（給定位移）。（5）求解有限元方程，得到結點位移。 （2.3.3）（6）計算單元應變和應力。（7）進行必要的后處理。2.4 有限元解的性質(zhì)和收斂準則2.4.1 有限元解得收斂準則有限元法作為求解微分方程的一種數(shù)值方法可以認為是里茲法的一種特殊形式，不同之處在于

18、有限元法的試探函數(shù)是定義于單元（子域）而不是全域。因此有限元解的收斂性可以與里茲法的收斂性對比進行討論。里茲法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，即如果試探函數(shù)滿足完備性和連續(xù)性要求，當試探函數(shù)的項數(shù)時，則里茲法的近似解將趨于微分方程的精確解。現(xiàn)在要研究有限元解的收斂性。在有限元法中，場函數(shù)的總體泛函是單元泛函集成的，如果采用完全多項式（無窮多項）作為單元的插值函數(shù)，則有限元解在一個有限尺寸的單元內(nèi)可以精確地和精確解一致。但是實際上有限元的試探函數(shù)只能取有限項多項式，因此有限元解只能是精確解的一個近似解答。有限元解的收斂準則需要回答的是，在什么條件下當單元尺寸趨于零時，有限元趨于精確解

19、。下面仍以含有一個待求標量場函數(shù)為例，微分方程是 （2.4.1）相應的泛函是 （2.4.2）假定泛函中包含和它的直至m階的各階導數(shù)是非零的，則近似函數(shù)至少必須是m次多項式。若取p次完全多項式為試探函數(shù)，則必須滿足。假設僅是x的函數(shù)，則及其各階導數(shù)在一個單元內(nèi)的表達式為： （2.4.3） 由上式可見，因為是p次完全多項式，所以它的直至m階導數(shù)的表達式中都包含有常數(shù)項。當單元尺寸趨于零時，在每一單元內(nèi)及其m階導數(shù)將趨于精確解，即趨于常數(shù)。因此，每一個單元的泛函有可能趨于它的精確解。如果試探函數(shù)還滿足連續(xù)性要求，那么整個系統(tǒng)的泛函將趨于它的精確解。即解是收斂的。收斂準則：準則1完備性要求。如果出現(xiàn)在

20、泛函中場函數(shù)的最高階導數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內(nèi)場函數(shù)的試探函數(shù)至少是m次多項式?；蛘哒f試探函數(shù)中必須包括本身和直至m階導數(shù)為常數(shù)的項。當單元的插值函數(shù)滿足上述要求時，稱這樣的單元是完備的。準則2協(xié)調(diào)性要求。如果出現(xiàn)在泛函中的最高階導數(shù)是m階，則試探函數(shù)在單元交界面上必須具有連續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上函數(shù)應有直至m-1階的連續(xù)導數(shù)。當單元的插值函數(shù)滿足上述要求時，稱這樣的單元是協(xié)調(diào)的。當單元為完備的協(xié)調(diào)單元，則有限元解收斂，即細分單元其解趨于精確解。2.4.2 收斂準則的物理意義在平面問題中，泛函中出現(xiàn)的是位移u和v的一次導數(shù)，即應變，因此。收斂準則1要求插值函數(shù)或位移函數(shù)

21、至少是x,y的一次完全多項式。我們知道位移及其一階導數(shù)為常數(shù)的項是代表與單元的剛體位移和常應變狀態(tài)相應的位移模式。實際分析中，各單元的變形往往包含著剛體位移，同時單元尺寸趨于無窮小時各單元的應變也趨于常應變。所以完備性要求由插值函數(shù)所構成的有限元解必須能反映單元的剛體位移和常應變狀態(tài)。若不能滿足上述要求，那么賦予結點以單元剛體位移（零應變）或常應變的位移模式時，在單元內(nèi)部將產(chǎn)生非零或非常值的應變，這樣有限元解將不可能收斂于精確解。應該指出，在Bazeley等人開始提出上述收斂準則時，是要求在單元尺寸趨于零的極限情況下滿足完備性收斂準則，如果將此收斂準則用于有限尺寸時，將使解的精度得到改進。對平

22、面問題，協(xié)調(diào)性要求是連續(xù)性，即要求位移函數(shù)u,v的零階導數(shù)，也就是位移函數(shù)自身在單元交界面上是連續(xù)的。如果在交界面上位移不連續(xù)表現(xiàn)為當結構變形時將在相鄰單元間產(chǎn)生縫隙或重疊，這意味著將產(chǎn)生無限大的應變，這時應該將發(fā)生在交界面上的附加應變能補充到系統(tǒng)的應變能中去。但在建立泛函時，沒有考慮到這種情況，只考慮了產(chǎn)生于各個單元內(nèi)部的應變能。因此，當邊界上位移不連續(xù)時，則有限元解就不可能收斂于精確解?？梢钥闯?，最簡單的3結點三角形單元插值函數(shù)既滿足完備性要求，也滿足協(xié)調(diào)性要求，因此單元的解是收斂的。應當指出，對于二、三維彈性力學問題，泛函中出現(xiàn)導數(shù)是一階。對于近似的位移函數(shù)的連續(xù)性要求僅是連續(xù)性，這種只

23、要求函數(shù)自身在單元邊界連續(xù)的要求很容易得到滿足。而當泛函中出現(xiàn)導數(shù)高于一階（如板殼，泛函中出現(xiàn)的導數(shù)是2階）時，則要求試探函數(shù)在單元交界面上具有連續(xù)的一階或高于一階的導數(shù)，即具有或更高階的連續(xù)性，這時構造函數(shù)比較困難。在某些情況下，可以放松對協(xié)調(diào)性的要求，只要這種單元能通過分片試驗，有限元解仍然可以收斂于正確的解答。這種單元稱為非協(xié)調(diào)單元。2.4.3 位移解的下限性質(zhì)以位移為基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元稱為位移元。通過系統(tǒng)總位能的變分過程，可以分析位移元的近似解與精確解偏離的下限性質(zhì)。系統(tǒng)總位能的離散形式為 （2.4.4）由變分得到有限元求解方程 （2.4.5）將（2.4.5）式

24、代入（2.4.4） （2.4.6）在平衡情況下，系統(tǒng)總位能等于負的應變能。因此，當，則。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般來說總是與精確解有差別，因此得到的系統(tǒng)總位能總會比真正的位能大。我們將有限元解的總位能、應變能、剛度矩陣和結點位移分別用表示，相應的精確解的有關量用表示。由于，則有，即 （2.4.7）對于精確解有 對于近似解有 （2.4.8）將（2.4.8）式代入（2.4.7）式得到 （2.4.9）由（2.4.9）式看出，近似解應變能小于精確解應變能的原因是近似解的位移總體上要小于精確解的位移。故位移元得到的位移解總體上不大于精確解，即解具有下限性質(zhì)。3 等參元和數(shù)值積分用直邊單元離

25、散曲邊的求解域勢必要用更多的單元數(shù)才能較準確地描述實際邊界。等參元是目前應用最廣的一類單元可用這類單元更精確的描述不規(guī)則的邊界。這類單元的出現(xiàn)不僅系統(tǒng)的解決了構造協(xié)調(diào)位移單元的問題，而且自然坐標系的描述方法也廣泛為其他類型的單元所采用。等參數(shù)單元在構造形函數(shù)時首先定義一個規(guī)則的母體單元(參考單元/標準單元)，在母體單元上構造形函數(shù)，再通過等參數(shù)變換將實際單元與母體單元聯(lián)系起來。變換涉及兩個方面：幾何圖形的變換(坐標變換)和位移場函數(shù)的變換(母單元的位移模式)。由于兩種變換均采用了相同的函數(shù)關系(形函數(shù))和同一組結點參數(shù)，故稱其為等參變換。 等參元在有限元法的發(fā)展中占有重要位置，由于他能是局部坐標系內(nèi)的形狀規(guī)則的單元變換為總體坐標系內(nèi)形狀為扭曲的單元，從而為求解域是任意形狀的實際問題求解提供了有效的單元形