3.2獨(dú)立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用PPT精品文檔

1、3.2獨(dú)立性檢驗的獨(dú)立性檢驗的基本思想及其初基本思想及其初步應(yīng)用步應(yīng)用高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-3 第三章第三章 統(tǒng)計案例統(tǒng)計案例2 2定定量量變變量量回回歸歸分分析析（畫畫散散點(diǎn)點(diǎn)圖圖、相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)r r、變變量量 相相關(guān)關(guān)指指數(shù)數(shù)R R 、殘殘差差分分析析）分分類類變變量量研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系：定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。定量變量：體重、身高、溫度、考試成績等等。變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、變量 分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、 宗教信仰、國籍等等。宗教信仰、國籍等等。兩種變量：獨(dú)立性檢驗獨(dú)立性檢驗本節(jié)研究的是兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗問題。在日

2、常生活中，我們常常關(guān)心在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？ 性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計總計98749874919199659965探究:為了調(diào)查為了調(diào)查吸煙吸煙是否對是否對肺癌肺癌有影響，某腫瘤研究所隨有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了機(jī)地調(diào)查了99659965人，得到如下結(jié)果（單

3、位：人）人，得到如下結(jié)果（單位：人）列列聯(lián)聯(lián)表表分類變量分類變量 1下面是一個22列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x222527總計b46100則表中a、b的值分別為()A94、96 B52、50C52、54 D54、52C 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計總計98749874919199659965探究:為了調(diào)查為了調(diào)查吸煙吸煙是否對是否對肺癌肺癌有影響，某腫瘤研究所隨有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了機(jī)地調(diào)查了99659965人，得到如下結(jié)果（單位：人

4、）人，得到如下結(jié)果（單位：人）列列聯(lián)聯(lián)表表在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 吸煙者和不吸煙者都可能患肺癌，吸煙者和不吸煙者都可能患肺癌，吸煙者患肺癌的可能性較大吸煙者患肺癌的可能性較大0.54%0.54%2.28%2.28%分類變量分類變量 42/7817通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：等高條等高條形圖形圖在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 0.54%0.54%2.28%2.28% 上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到

5、的直觀印象是吸煙和上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點(diǎn)這需要用統(tǒng)計觀點(diǎn)來考察這個問題。來考察這個問題。 現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)為此先假設(shè) H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計總計a+cb+da+b+c+d把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表 用用A表

6、示不吸煙，表示不吸煙，B表示不患肺癌，則表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價于等價于“吸煙與患肺癌獨(dú)立吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)，即假設(shè)H0等價于等價于 P(AB)=P(A)P(B).因此因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱； |ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計總計a+cb+da+b+c+dadbc即a aa a+ +b ba a+ +c cn nn nn na+ba+bP(A),P(

7、A),n na+ca+cP(B),P(B),n n.a aP(AB)P(AB)n n其中為樣本容量，即n = a+b+c+dn = a+b+c+d在表中，在表中，a恰好為事件恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；發(fā)生的頻數(shù)；a+b和和a+c恰好分別為事恰好分別為事件件A和和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條成立的條件下應(yīng)該有件下應(yīng)該有(a+b+c+d)a(a+b)(a+c),不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙aba+b吸煙吸煙cdc+d總計總計a+cb+dn=a+b+c+d獨(dú)立性獨(dú)立性檢驗檢驗在不吸煙者中不患肺癌的比重是在不吸煙者中不患

8、肺癌的比重是 在吸煙者中不患肺癌的比重是在吸煙者中不患肺癌的比重是 baadccH H0 0：假設(shè)：假設(shè)吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌沒有關(guān)系沒有關(guān)系dccbaa則0bcad即ad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，ad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，a ad d- -b bc c 越越大大，說說明明吸吸煙煙與與患患肺肺癌癌之之間間的的關(guān)關(guān)系系越越強(qiáng)強(qiáng)獨(dú)立性獨(dú)立性檢驗檢驗H H0 0：假設(shè)：假設(shè)吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌沒有關(guān)系沒有關(guān)系dccbaa則0bcad即ad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，ad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，a ad d- -

9、b bc c 越越大大，說說明明吸吸煙煙與與患患肺肺癌癌之之間間的的關(guān)關(guān)系系越越強(qiáng)強(qiáng)2 22 2n n（a ad d- -b bc c）K K = =( (a a+ +b b) )( (c c+ +d d) )( (a a+ +c c) )( (b b+ +d d) )構(gòu)造隨機(jī)變量構(gòu)造隨機(jī)變量( (卡方統(tǒng)計量卡方統(tǒng)計量) ) 作為檢驗在多大程度上可以認(rèn)為作為檢驗在多大程度上可以認(rèn)為“兩個變量有關(guān)系兩個變量有關(guān)系”的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn) 。 若若H H0 0( (吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌沒有關(guān)系沒有關(guān)系) )成立，則成立，則K K2 2應(yīng)該很小應(yīng)該很小. .獨(dú)立性獨(dú)立性檢驗檢驗H H0 0：假設(shè)：假設(shè)吸煙

10、吸煙和和患肺癌患肺癌沒有關(guān)系沒有關(guān)系 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計總計98749874919199659965632.5691987421487817)422099497775(996522k隨機(jī)變量隨機(jī)變量-卡方統(tǒng)計量卡方統(tǒng)計量22(),()()()()其中為樣本容量。n adbcKab cdac bdnabcd0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063

11、.8415.0246.6357.87910.8280k0)k2P(K臨界值表臨界值表210.828K 26.635K 22.706K 0.1%0.1%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)1%1%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)99.9%99.9%把握認(rèn)把握認(rèn)A A與與B B有關(guān)有關(guān)99%99%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B有關(guān)有關(guān)90%90%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B有關(guān)有關(guān)10%10%把握認(rèn)為把握認(rèn)為A A與與B B無關(guān)無關(guān)2(6.635)0.01P K 即在即在 成立的情況下，成立的情況下，K K2 2 大于大于6.6356.635概率非常小，近概率非常小，近似為似為0

12、.010.010H 現(xiàn)在的現(xiàn)在的K K2 256.63256.632的觀測值遠(yuǎn)大于的觀測值遠(yuǎn)大于6.6356.635，小概率，小概率事件的發(fā)生說明假設(shè)事件的發(fā)生說明假設(shè)H H0 0不成立！不成立！0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280k0)k2P(K臨界值表臨界值表獨(dú)立性獨(dú)立性檢驗檢驗H H0 0：假設(shè)：假設(shè)吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌沒有關(guān)系沒有關(guān)系所以所以吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌有關(guān)！有關(guān)！1對分類變量對分類變量X與與Y的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量K

13、2的觀測值的觀測值k，說法正確，說法正確的是的是()Ak越大，越大，“ X與與Y有關(guān)系有關(guān)系”可信程度越小可信程度越小Bk越小，越小，“ X與與Y有關(guān)系有關(guān)系”可信程度越小可信程度越小Ck越接近于越接近于0，“X與與Y無關(guān)無關(guān)”程度越小程度越小Dk越大，越大，“X與與Y無關(guān)無關(guān)”程度越大程度越大B獨(dú)立性檢驗基本的思想類似獨(dú)立性檢驗基本的思想類似反證法反證法(1)(1)假設(shè)結(jié)論不成立假設(shè)結(jié)論不成立, ,即即“兩個分類變量沒有關(guān)系兩個分類變量沒有關(guān)系”. .(2)(2)在此假設(shè)下隨機(jī)變量在此假設(shè)下隨機(jī)變量 K K2 2 應(yīng)該很能小應(yīng)該很能小, ,如果由觀測數(shù)如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到據(jù)計算得到K K2

14、 2的觀測值的觀測值k k很大很大, ,則在一定程度上說明假則在一定程度上說明假設(shè)不合理設(shè)不合理. .(3)(3)根據(jù)隨機(jī)變量根據(jù)隨機(jī)變量K K2 2的含義的含義, ,可以通過評價該假設(shè)不合理可以通過評價該假設(shè)不合理的程度的程度, ,由實(shí)際計算出的由實(shí)際計算出的, ,說明假設(shè)合理的程度為說明假設(shè)合理的程度為99.9%,99.9%,即即“兩個分類變量有關(guān)系兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的這一結(jié)論成立的可信度為約為可信度為約為99.9%.99.9%.反證法原理與假設(shè)檢驗原理反證法原理： 在一個已知假設(shè)下，如果推出一個矛盾，就證明了這個假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗原理：在一個已知假設(shè)下，如果一個與該假設(shè)矛

15、盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個假設(shè)不成立。 在在H0成立的條件下，構(gòu)造與成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概率矛盾的小概率事件；事件；2.如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，則如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，則H0不成不成立，就能以立，就能以一定把握一定把握斷言斷言H1成立；否則，斷成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與H0相矛盾的證據(jù)。相矛盾的證據(jù)。求解思路求解思路假設(shè)檢驗問題：假設(shè)檢驗問題：例例1.在某醫(yī)院在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的因為患心臟病而住院的665名男性病人名男性病人中中,有有214人禿頂人禿頂,而另外而另外772名不是因為患心臟病而住名不是因為患心臟病而住院的男性

16、病人中有院的男性病人中有175人禿頂人禿頂.分別利用圖形和獨(dú)立性檢分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗方法判斷是否有關(guān)驗方法判斷是否有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計總計禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計總計6657721437在禿頂中患心臟病的比重是在禿頂中患心臟病的比重是 在不禿頂中患心臟病的比重是在不禿頂中患心臟病的比重是 55.01%43.03%例例1.在某醫(yī)院在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的因為患心臟病而住院的665名男性病人名男性病人中中,有有214人禿頂人禿頂,而另外而另外772名不是因為患心臟病

17、而住名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有院的男性病人中有175人禿頂人禿頂.分別利用圖形和獨(dú)立性檢分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗方法判斷是否有關(guān)驗方法判斷是否有關(guān)?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?患心臟病患心臟病不患心臟病不患心臟病總計總計禿頂禿頂214175389不禿頂不禿頂4515971048總計總計6657721437 根據(jù)聯(lián)表的數(shù)據(jù)，得到根據(jù)聯(lián)表的數(shù)據(jù)，得到所以有所以有99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)禿頂與患心臟病有關(guān)”。635. 6373.167726651048389)451175597214(143722k注意： 因為這組數(shù)因為這組數(shù)據(jù)來自住院

18、據(jù)來自住院的病人，因的病人，因此所得到的此所得到的結(jié)論適合住結(jié)論適合住院的病人群院的病人群體體2 2、本例中的邊框中的注解：、本例中的邊框中的注解：1、在解決實(shí)際問題時，可以直接計算、在解決實(shí)際問題時，可以直接計算K2的觀測值的觀測值k進(jìn)行獨(dú)立檢驗，而不必寫出進(jìn)行獨(dú)立檢驗，而不必寫出K2的推導(dǎo)過程；的推導(dǎo)過程； 主要是使得我們注意統(tǒng)計結(jié)果的主要是使得我們注意統(tǒng)計結(jié)果的適用范圍（這由樣本的代表性所決定）適用范圍（這由樣本的代表性所決定）A所以根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以有所以根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以有 %的把握認(rèn)為該學(xué)校的把握認(rèn)為該學(xué)校15至至16周周歲的男生的身高和體重之間有關(guān)系。歲的男生的身高和體重

19、之間有關(guān)系。97.5 22n adbcKabcdacbd由獨(dú)立性檢驗隨機(jī)變量由獨(dú)立性檢驗隨機(jī)變量2K值的計算公式得：值的計算公式得： 2204 12 1 35 15 7 13 5.934跟蹤訓(xùn)練1(2011廣東執(zhí)信中學(xué))某中學(xué)一位高三班主任對本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進(jìn)行長期的調(diào)查，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：積極參加班級工作不太主動參加班級工作合計學(xué)習(xí)積極性高18725學(xué)習(xí)積極性一般61925合計242650(1)如果隨機(jī)調(diào)查這個班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少？抽到不太積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少？(2)能否在犯錯誤的概率不超過

20、0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系？所以，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度”有關(guān)系1（20132013深圳二模深圳二模）2013年年3月月14日，日，CCTV財經(jīng)財經(jīng)頻道報道了某地建筑市場存在違規(guī)使用未經(jīng)淡化海砂的現(xiàn)象頻道報道了某地建筑市場存在違規(guī)使用未經(jīng)淡化海砂的現(xiàn)象.為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)，某大為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)，某大學(xué)實(shí)驗室隨機(jī)抽取了學(xué)實(shí)驗室隨機(jī)抽取了60個樣本，得到了相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：個樣本，得到了相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：混凝土耐久性達(dá)標(biāo)混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)總計使用淡化海

21、砂25530使用未經(jīng)淡化海砂151530總計402060（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用獨(dú)立性檢驗的方法判斷，能否）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用獨(dú)立性檢驗的方法判斷，能否在犯錯誤的概率不超過在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)？土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)？（2）若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取）若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了了6個，現(xiàn)從這個，現(xiàn)從這6個樣本中任取個樣本中任取2個，則取出的個，則取出的2個樣本混凝土耐個樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的概率是多少？久性都達(dá)標(biāo)的概率是多少？參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：P（k2k）0.100.

22、0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解析：解析：（1）提出假設(shè)）提出假設(shè)H0：使用淡化海砂與混凝土耐久性：使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)無關(guān)是否達(dá)標(biāo)無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得K2的觀測值的觀測值能在犯錯誤的概率不超過能在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān).（2）用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽?。┯梅謱映闃拥姆椒ㄔ谑褂玫Ｉ暗臉颖局谐槿?個，個，其中應(yīng)抽取其中應(yīng)抽取“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)混凝土耐久性達(dá)標(biāo)”的為的為 6=5，“

23、混凝土混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)耐久性不達(dá)標(biāo)”的為的為6-5=1，“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)記混凝土耐久性達(dá)標(biāo)記”為為A1,A2,A3,A4,A5”;“混凝土耐久性混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)”的記為的記為B.2530在這在這6個樣本中任取個樣本中任取2個，有以下幾種可能：（個，有以下幾種可能：（A1,A2）,（A1,A3）,（A1,A4）,（A1,A5）,（A1,B）,（A2,A3）,（A2,A4）,（A2,A5）,（A2,B）,（A3,A4）,（A3,A5）,（A3,B）,（A4,A5）,（A4,B）（）（A5,B）,共共15種種.設(shè)設(shè)“取出的取出的2個樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)個樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)”為事件為

24、事件A，它的，它的對立事件對立事件A為為“取出的取出的2個樣本至少有個樣本至少有1個混凝土耐久性不達(dá)個混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)標(biāo)”，包含（，包含（A1,B）,（A2,B）,（A3,B）,（A4,B）,（A5,B），），共共5種可能種可能.2(2011揭陽一模揭陽一模)某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量作為樣本稱出它們的重量(單位：克單位：克)，重量值落在，重量值落在(495,510的的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品表產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品表1是甲流水線樣本頻數(shù)分是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，圖布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖產(chǎn)品重量/克頻數(shù)(490,4956(495,5008(500,50514(505,5108(510,5154表表1甲流水線樣本頻數(shù)分布表甲流水線樣本頻數(shù)分布表(1)