期望方差(完美知識點試題)

1、 教 師姓 名學(xué)生姓名學(xué)管師學(xué) 科數(shù)學(xué)年級上課時間 月 日 _ : - _ _ : 課 題教 學(xué)目 標教 學(xué)重 難點教學(xué)過程數(shù)學(xué)期望知識內(nèi)容1 離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機變量隨機變量常用大寫字母表示如果隨機變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機變量離散型隨機變量的分布列將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示：我們稱這個表為離散型隨機變量的概率分布，或稱為離散型隨機變量的分布列2幾類典型的隨機分布兩點分布如果隨機變量的分布列為其中，則

2、稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點分布兩點分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為，為和中較小的一個我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，的超幾何分布在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列二項分布1獨

3、立重復(fù)試驗如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜?fù)試驗次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為2二項分布若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二項展開式各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作二項分布的均值與方差：若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，正態(tài)分布1 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時，直方圖上面的折線所接近的曲線在隨機變量中

4、，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積2正態(tài)分布定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為，其中，是參數(shù)，且，式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標準差期望為、標準差為的正態(tài)分布通常記作正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線標準正態(tài)分布：我們把數(shù)

5、學(xué)期望為，標準差為的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布重要結(jié)論：正態(tài)變量在區(qū)間，內(nèi)，取值的概率分別是，正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標準差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，稱為標準正態(tài)分布函數(shù)標準正態(tài)分布的值可以通過標準正態(tài)分布表查得分布函數(shù)新課標不作要求，適當了解以加深對密度曲線的理解即可3離散型隨機變量的期望與方差1離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能的取的值是，這些值對應(yīng)的概率是，則，叫做這個離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型

6、隨機變量的平均取值水平2離散型隨機變量的方差一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能取的值是，這些值對應(yīng)的概率是，則叫做這個離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大?。x散程度）的算術(shù)平方根叫做離散型隨機變量的標準差，它也是一個衡量離散型隨機變量波動大小的量3為隨機變量，為常數(shù)，則；4 典型分布的期望與方差：二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為，在次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為二項分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則，4事件的獨立性如果事件是否發(fā)生

7、對事件發(fā)生的概率沒有影響，即，這時，我們稱兩個事件，相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件如果事件，相互獨立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立5條件概率對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示把由事件與的交（或積），記做（或）典例分析【例1】 投擲1枚骰子的點數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（ ）A B C D【例2】 同時拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ）A B C D【例3】 從這6個數(shù)中任取兩個，則兩數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為 【例4

8、】 一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中率為，現(xiàn)共有顆子彈，命中后尚余子彈數(shù)目的期望為（ ）A B C D【例5】 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為（、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2（不計其它得分情況），則的最大值為（ ）ABCD【例6】 甲乙兩人獨立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率依次為，已知該題被甲或乙解出的概率為，甲乙兩人同時解出該題的概率為，求：；解出該題的人數(shù)的分布列及【例7】 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)每人面試合格的概率都是，

9、且面試是否合格互不影響求簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望【例8】 某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近周的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：周銷售量234頻數(shù)205030根據(jù)上面統(tǒng)計結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；已知每噸該商品的銷售利潤為千元，表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元）若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【例9】 某項考試按科目、科目依次進行，只有當科目成績合格時，才可繼續(xù)參加科目的考試已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書現(xiàn)某人參加這項考試，科目每次考試成績合格的概率均為，科目每次考試成績合格的概率均為假設(shè)各次考

10、試成績合格與否均互不影響在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望【例10】 某同學(xué)如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外（環(huán)數(shù)記為0）的概率為，飛鏢落在靶內(nèi)的各個點是橢機的已知圓形靶中三個圓為同心圓，半徑分別為、，飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標示設(shè)這位同學(xué)投擲一次一次得到的環(huán)數(shù)這個隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望【例11】 某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、，且各輪問題能否正確回答互不影響 求該選手被淘汰的概率； 該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為，求隨機

11、變量的分布列與數(shù)學(xué)期望（注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示）【例12】 在某次測試中，甲、乙、丙三人能達標的概率分別為，在測試過程中，甲、乙、丙能否達標彼此間不受影響求甲、乙、丙三人均達標的概率；求甲、乙、丙三人中至少一人達標的概率；設(shè)表示測試結(jié)束后達標人數(shù)與沒達標人數(shù)之差的絕對值，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望【例13】 在1，2，3，9這個自然數(shù)中，任取個數(shù) 求這個數(shù)中恰有個是偶數(shù)的概率； 設(shè)為這個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時的值是2）求隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望【例14】 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要

12、面試合格就簽約乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響求： 至少有人面試合格的概率； 簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望【例15】 某公司“咨詢熱線”電話共有8路外線，經(jīng)長期統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在8點到10點這段時間內(nèi)，外線電話同時打入情況如下表所示：電話同時打入個數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 概率 0 0若這段時間內(nèi)，公司只安排了2位接線員（一個接線員一次只能接一個電話）求至少一種電話不能一次接通的概率；在一周五個工作日中，如果至少有三個工作日的這段時間（8點至10點）內(nèi)至少一路電話不能一次接通，那么公司的形象將受

13、到損害，現(xiàn)用該事件的概率表示公司形象的“損害度”，求上述情況下公司形象的“損害度”求一周五個工作日的這段時間（8點至10點）內(nèi)，電話同時打入數(shù)的期望【例16】 某先生居住在城鎮(zhèn)的處，準備開車到單位處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖（ 例如：算作兩個路段：路段發(fā)生堵車事件的概率為，路段發(fā)生堵車事件的概率為）記路線中遇到堵車次數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學(xué)期望【例17】 如圖所示，甲、乙兩只小螞蟻分別位于一個單位正方體的點和點處，每只小螞蟻都可以從每一個頂點處等可能地沿各條棱向每個方向移動，但不能按原路線返回如：甲在時可沿，三個方向移

14、動，概率都是，到達點時，可沿，兩個方向移動，概率都是已知小螞蟻每秒鐘移動的距離為1個單位如果甲、乙兩只小螞蟻都移動1秒，則它們所走的路線是異面直線的概率是多少？若乙螞蟻不動，甲螞蟻移動3秒后，甲、乙兩只小螞蟻間的距離的期望值是多少？【例18】 某地有、四人先后感染了甲型流感，其中只有到過疫區(qū)肯定是受感染的對于，因為難以斷定他是受還是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是同樣也假定受、和感染的概率都是在這種假定之下，、中直接受感染的人數(shù)就是一個隨機變量寫出的分布列（不要求寫出計算過程），并求的均值（即數(shù)學(xué)期望）【例19】 兩個代表隊進行乒乓球?qū)官悾筷犎爢T，隊隊員是，隊隊員是，按以往多次

15、比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：對陣隊員隊隊員勝的概率隊隊員負的概率對對對現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得分，負隊得分設(shè)隊、隊最后總分分別為求的期望【例20】 連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第次得到的點數(shù)為，若存在正整數(shù)，使，則稱為你的幸運數(shù)字求你的幸運數(shù)字為的概率；若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字則記分求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望【例21】 最近，李師傅一家三口就如何將手中的萬塊錢投資理財，提出了三種方案：第一種方案：將萬塊錢全部用來買股票據(jù)分析預(yù)測：投資股市一年可能獲利，也可能虧損（只有這兩種可能），且獲利的概率為；第二種方案：將萬

16、塊錢全部用來買基金據(jù)分析預(yù)測：投資基金一年可能獲利，也可能損失，也可能不賠不賺，且三種情況發(fā)生的概率分別為；第三種方案：將萬塊錢全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款利率為，存款利息稅率為針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法，并說明理由【例22】 某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩年實施；若實施方案一，預(yù)計當年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、若實施方案二，預(yù)計當年可以使柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前的倍、倍、倍的概率分別是、；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的倍、倍的概率分別是、實施每種方案，第二年與第一年相互獨立令表示方案實施兩年后柑桔產(chǎn)量達到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)寫出的分布列；實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益萬元；兩年后柑桔產(chǎn)量恰好達到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計可帶來效益萬元；問實施哪種方案所帶來的平均效益更大？【例23】 某電器商由多年的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)本店出售的電冰箱的臺數(shù)是一個隨機變量，它的分布列，設(shè)每售出一臺電冰箱，該臺冰箱可獲利元，若售不出則囤積