復(fù)變函數(shù)及積分變換第三章學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)及積分變換第三章復(fù)變函數(shù)及積分變換第三章第一頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念1.復(fù)變函數(shù)積分的定義 設(shè)平面上光滑或分段光滑曲線C的兩個(gè)端點(diǎn)為A和B.對曲線C而言，有兩個(gè)可能方向：從點(diǎn)A到點(diǎn)B和從點(diǎn)B到點(diǎn)A.若規(guī)定其中一個(gè)方向(例如從點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向)為正方向，則稱C為 有向曲線.此時(shí)稱點(diǎn)A為曲線C的起點(diǎn)，點(diǎn)B為曲線C的終點(diǎn).若正方向指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向，那么從終點(diǎn)B到起點(diǎn)A的方向則稱為曲線C的負(fù)方向，記作C. 第1頁/共46頁第二頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。 定義3.1 設(shè)C為一條光滑或分段光滑的有向曲線，其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn).函數(shù)f(z)在曲線

2、C上有定義.現(xiàn)沿著C按從點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向在C上依次任取分點(diǎn)： A=z0,z1,zn-1,zn=B, 將曲線C劃分成 n個(gè)小弧段.在每個(gè)小弧段 (k=1,2,n)上任取一點(diǎn)k,并作和式1kkzz1().nnkkkSfz第2頁/共46頁第三頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。01( )dlim(),nkkkCf zzfzf(z)稱為被積函數(shù)，f(z)dz稱為被積表達(dá)式.其中 .記為n個(gè)小弧段長度中的最大值.當(dāng)趨向于零時(shí)，若不論對曲線C的分法及點(diǎn)k的取法如何，Sn極限存在，則稱函數(shù)f(z)沿曲線C可積，并稱這個(gè)極限值為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分.記作 1kkkzzz若C為閉曲線，則函數(shù)f(z)沿曲線C的

3、積分記作 ( )dCf zz 第3頁/共46頁第四頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。2.復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)性質(zhì)3.1（方向性）若函數(shù)f(z)沿曲線C可積，則( )d( )d .CCf zzf zz 性質(zhì)3.2（線性）若函數(shù)f(z)和g(z)沿曲線C可積，則( )( )d( )d( )d ,CCCf zg zzf zzg zz其中,為任意常數(shù).性質(zhì)3.3（對積分路徑的可加性）若函數(shù)f(z)沿曲線C可積，曲線C由曲線段,依次首尾相接而成，則 12( )d( )d( )d( )d .nCCCCf zzf zzf zzf zz第4頁/共46頁第五頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。 性質(zhì)3.4（積分不等式）

4、若函數(shù)f(z)沿曲線C可積，且對 ,滿足 , 曲線C的長度為L,則 zC ( )f zM( )d( ) d,CCf zzf zs ML其中 , 為曲線C的弧微分.22ddddszxy記sk為zk-1與zk之間的弧長 111()()().nnnkkkkkkkkkfzfzfs0兩端取極限 ( )d( ) d .CCf zzf zs第5頁/共46頁第六頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。11(),nnkkkkkfsMsML( )d( ) d.CCf zzf zsML3.復(fù)變函數(shù)積分的基本計(jì)算方法定理3.1 若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲線C連續(xù)，則f(z)沿C可積，且 ( )ddddd

5、 .CCCf zzu xv yi v xv y第6頁/共46頁第七頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。證明： 11,kkkkkkkkkkkkzxiyixxxyyy11111()()()().kkkkkkkkkkkkkzzzxiyxiyxxi yyxi y 1111()( (,)(,)()( (,)(,)( (,)(,).nnkkkkkkkkkknkkkkkkknkkkkkkkfzuivxi yuxvyivxuy 第7頁/共46頁第八頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。111()( (,)(,)( (,)(,).nnkkkkkkkkkknkkkkkkkfzuxvyivxuy 已知f(z) 沿C連續(xù)，所以

6、必有u、v都沿C連續(xù)，于是這兩個(gè)第二類曲線積分都存在.因此積分存在，且 ( )ddddd .CCCf zzu xv yi v xu y參數(shù)方程法 設(shè)C為一光滑或?yàn)榉侄喂饣€，其參數(shù)方程為 ( )( )( )(),zz tx tiy tatb 參數(shù)t=a時(shí)對應(yīng)曲線C的起點(diǎn)，t=b時(shí)對應(yīng)曲線C的終點(diǎn). 第8頁/共46頁第九頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。設(shè)f(z)沿曲線C連續(xù)，則 ( ( )( ( ), ( )( ( ), ( )( )( ).f z tu x ty tiv x ty tu tiv t( )ddddd( ( ) ( )( )( )d( ( )( )( ) ( )d ,CCCbba

7、af zzu xv yi v xu yu t x tv t y ttiu t y tv t x ttRe( ( ( ) ( )( ) ( )( )( ),Im( ( ( ) ( )( )( )( ) ( ).f z tz tu t x tv t y tf z tz tu t y tv t x t( )d( ( ) ( )d .baCf zzf z tz tt第9頁/共46頁第十頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。例3.1 分別沿下列路徑計(jì)算積分 和 2dCzzIm( )dCzz(1) C為從原點(diǎn)(0,0)到(1,1)的直線段；(2) C為從原點(diǎn)(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直線段.解： (

8、1) C的參數(shù)方程為：z=(1+i)t, t從0到1 .112220033310d(1) ) d(1) )(1)(1) ) d(1)(1).33Czzi ti tii tttii(2) 這兩直線段分別記為C1和C2, C1的參數(shù)方程為：y=0, x 從0到1; C2的參數(shù)方程為：x=1, y 從0到1.第10頁/共46頁第十一頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。112220033121003dd(1) d(1)33122(1)1.3333Czzxxiyiyxyi yiyiiii 1100Im( )d0dd(1+).2Cizzxyiy例3.2 計(jì)算積分 ,其中C為圖3.2所示半圓環(huán)區(qū)域的正向邊界.d

9、Czzz 第11頁/共46頁第十二頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。解：積分路徑可分為四段：C1:z=t(-2 t -1);C2:z= 從到0;C3:z=t(1 t 2);C4:z= 從0到.,ie2,ie1234102210ddddde2ede dd2de2e24411.333CCCCCiiiiiizzzzzzzzzzzzzzztttitiett 第12頁/共46頁第十三頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。例3.3 計(jì)算積分 ,其中C為以z0為中心，r為半徑的正向圓周，n為整數(shù). 101d()nCzzz 解：曲線C的方程為： 0(02)izzre211(1)002200de()eded .einn

10、i nCinninnzirIzzriirr當(dāng)n=0時(shí) 20d2Iii當(dāng)n0時(shí)， 20(cossin)d0niIninr0102 ,0;d0,0.()nz zrinznzz 第13頁/共46頁第十四頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。3.2 柯西-古薩定理(Cauchy-Goursat)及其推廣1.柯西-古薩定理 假設(shè)函數(shù)f(z)=u+iv在單連通域D內(nèi)處處解析，f(z)在D內(nèi)連續(xù), u,v對x,y的偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)連續(xù).設(shè)z=x+iy，C為D內(nèi)任一條簡單閉曲線.( )ddddd .CCCf zzu xv yi v xu y記G為C所圍區(qū)域，由格林(Green)公式有ddd d ,GCvuu xv yx

11、 yxy由于f(z)=u+iv在D內(nèi)解析，所以u、v在D內(nèi)處處都滿足柯西-黎曼方程,即 第14頁/共46頁第十五頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。因此dddd0.CCu xv yv xu y從而( )d0.Cf zz 定理3.2（柯西-古薩定理） 若函數(shù)f(z)是單連通域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f(z)沿D內(nèi)任一條閉曲線C的積分為零，即 ( )d0.Cf zz 對于任意一條閉曲線，它都可以看成是由有限多條簡單閉曲線銜接而成的。 ,.uvvuxyxy 第15頁/共46頁第十六頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。推論3.1 設(shè)C為z平面上的一條閉曲線，它圍成單連通域D,若函數(shù)f(z)在 上解析，則 DDC(

12、)d0.Cf zz 推論3.2 設(shè)函數(shù)f(z)在單連通域D解析,則f(z)在D內(nèi)積分與路徑無關(guān).即積分 不依賴于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1的曲線C,而只與z0、z1的位置有關(guān). ( )dCf zz證明：設(shè)C1和C2為D內(nèi)連接z0 與z1的任意兩條曲線. 1C2C顯然C1和 連接成D內(nèi)一條閉曲線C. 2C第16頁/共46頁第十七頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。由柯西-古薩定理 12( )d( )d( )d0.CCCf zzf zzf zz12( )d( )d .CCf zzf zz2.原函數(shù) 函數(shù)f(z)沿曲線C1和C2的積分又可以表示為 1212( )d( )d( )d .zzCCf zzf zz

13、f zz固定下限z0，讓上限z1在區(qū)域D內(nèi)變動(dòng)，并令z1=z,則確定了一個(gè)關(guān)于上限z的單值函數(shù) 0( )( )d .zzF zf并稱F(z)為定義在區(qū)域D內(nèi)的積分上限函數(shù)或變上限函數(shù).第17頁/共46頁第十八頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。定理3.3 若函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)解析，則函數(shù)F(z)必在D內(nèi)解析，且有F(z)=f(z).證明： 若D內(nèi)任取一點(diǎn)z,以z為中心作一個(gè)含于D內(nèi)的小圓B，在B內(nèi)取點(diǎn) (0 )zzz 00()( )( )d( )d .zzzzzF zzF zff ()( )( )d .zzzF zzF zf積分與路徑無關(guān) ( )d( )d( ).zzzzzzf zf zf

14、 zzf(z)是與積分變量無關(guān)的值 第18頁/共46頁第十九頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。()( )1( )( )d( )1( ( )( )d .zzzzzzF zzF zf zff zzzff zz又f(z)在D內(nèi)解析，顯然f(z)在D內(nèi)連續(xù). 所以對于任給的 ,必存在 ,使得當(dāng) (且落在圓B內(nèi))，即當(dāng) 時(shí)，總有 00zz ( )( ) 0,必存在0,當(dāng)時(shí) , 有 .令 ,則 在D內(nèi)除去點(diǎn)z外處處解析.現(xiàn)以z為中心，r為半徑作圓周 ,使圓B的內(nèi)部及邊界全含于C的內(nèi)部. z( )( )ff z( )( )fFz( )F:Brz第29頁/共46頁第三十頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。根據(jù)復(fù)合閉

15、路定理有( )( )dd .CBffzz蜒令 ，只需證明 0r ( )d2 ( )Bfif zz 1d2Biz ,而f(z)與無關(guān). ( )( )( )( )( )d2 ( )ddd( )( )d2dBBBBBBfff zff zif zzzzzff zsirz蜒蜒蜒第30頁/共46頁第三十一頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。若函數(shù)f(z)在曲線C上恒為常數(shù)K,z0為C內(nèi)部任一點(diǎn)，則根據(jù)柯西積分公式 001( )1( )dd2.222CCfKKf ziKizizi蜒即f(z)在曲線C的內(nèi)部也恒為常數(shù)K. 若C為圓周: ,即 ,則 ,從而 0zR0Reiz(02)dRe dii20000200(R

16、e )Re1( )1()dd22Re1(Re )d .2iiiCif ziff zizif z解析函數(shù)在圓心z0處的值等于它在圓周上的平均值，這就是解析函數(shù)的平均值定理. 第31頁/共46頁第三十二頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。 若f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，且在C上連續(xù)，則柯西積分公式仍然成立.柯西積分公式可以改寫成 ( )d2 ( )Cfif zz 例3.8 計(jì)算積分 的值. 221dzzzz 解：因?yàn)閦2+1在|z|=2內(nèi)解析 22021d22 .(1)zzzziizz 第32頁/共46頁第三十三頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。例3.9 計(jì)算積分 的值，其中C為: 2si

17、n6d1Czzz 33(1)1;(2)1;(3)3.22zzz 解： (1) 被積函數(shù) 在 的內(nèi)部解析 sin61zz 312z21sinsin11sin66dd22.6111421CCzzzzizziizzzz蜒(2) 被積函數(shù) 在 的內(nèi)部解析 sin61zz 312z第33頁/共46頁第三十四頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。(3) 被積函數(shù)在|z|=3的內(nèi)部有兩個(gè)奇點(diǎn).在C的內(nèi)部作兩個(gè)互不包含互不相交的正向圓周C1和C2，其中C1的內(nèi)部只包含奇點(diǎn)z=1，C2的內(nèi)部只包含奇點(diǎn)z=-1. 12222sinsinsin666ddd .11122CCCzzziizzzizzz蜒21sinsin11

18、sin66dd22.6111421CCzzzzizziizzzz蜒例3.10 求積分 的值, 其中C為: x2+y2 =4x.2d(4)cosCzzz 第34頁/共46頁第三十五頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。解：x2+y2 =4x可化為(x-2)2+y2=4，即|z-2|=2. 被積函數(shù)在C的內(nèi)部內(nèi)有奇點(diǎn)/2和2，作以/2和2為中心位于C內(nèi)的互不相交的小圓周C1和C2. 121222222/222111ddd(4)cos(4)cos(4)cos1111dd4 cos(2)cos21122(2)cos4412.164cos2CCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzz ziizzzi蜒蜒第35

19、頁/共46頁第三十六頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。2.高階導(dǎo)數(shù)公式 定理3.7 定義在區(qū)域D的解析函數(shù)f(z)有各階導(dǎo)數(shù)，且有其中C為區(qū)域D內(nèi)圍繞z的任何一條簡單閉曲線，積分沿曲線C的正向.( )1!( )( )d (1,2,),2()nnCnffznizL定理3.8 若f(z)為定義在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則在D內(nèi)其各階導(dǎo)數(shù)都存在并且解析.換句話說，解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也是解析函數(shù). 定理3.9 函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是(1) 在D內(nèi)連續(xù)；(2) 在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程. ,xyxyu uv v( , ), ( , )u x y v x y第36頁/共

20、46頁第三十七頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。例3.11 求積分 的值, 其中C為: . 2ed2zCziz 226xyy解：被積函數(shù)在C的內(nèi)部有一個(gè)奇點(diǎn) 2iz /22 /2ed2 e22.2 (e )2zizziCzii iiiz 例3.12 求積分 的值，其中C為: |z|=2. 32cosd(1)Czzzz 第37頁/共46頁第三十八頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。解： 被積函數(shù)在C的內(nèi)部有兩個(gè)奇點(diǎn)z=0和z=1,作兩條閉曲線C1和C2互不相交且互不包含，分別包圍奇點(diǎn)z=0和z=1，且兩曲線所圍區(qū)域全含于C的內(nèi)部. 12123232322332230022coscoscosddd(1)

21、(1)(1)cos1cos1dd(1)(1)2coscos22 32!(1)(6 )6(12 ) .CCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzizziizziii蜒蜒第38頁/共46頁第三十九頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。3.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義3.3 在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的二元實(shí)函數(shù)(x,y)稱為在D內(nèi)的調(diào)和函數(shù). 22220 xy定理3.10 任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù). 證明 由柯西-黎曼方程有 ,.vuvxyxy 222222,.uvuvx

22、y xyx y 第39頁/共46頁第四十頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。u(x,y)與v(x,y)具有任意階連續(xù)偏導(dǎo)，所以 22.vvy xx y 22220.uvxy同理可證 22220.vvxy即u(x,y)與v(x,y)都是調(diào)和函數(shù). 使u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)v(x,y)稱為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).或者說，在區(qū)域D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程ux=vy,vx=-uy的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u和v中，v稱為u的共軛調(diào)和函數(shù). 第40頁/共46頁第四十一頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。1. 偏積分法利用柯西-黎曼方程先求得v對y的偏導(dǎo)vy=ux,此式關(guān)于y積分得 d( )uvyg xx然后兩邊對x求偏導(dǎo),由vx=-uy,于是有 d( ).yuuyg xxx從而-d( )d.uuyg xxCyxxddd.uuuyvyxCyxxx第41頁/共46頁第四十二頁，編輯于星期一：十二點(diǎn) 三分。例3.13 已知u(x,y)=2(x-1)y, f(2)=-i,求其共軛調(diào)和函數(shù)，并寫出f(z)的形式. 解 由柯西-黎曼方程，有vy=ux=2y,此式兩邊關(guān)于y積分：