初中幾何常見輔助線作法口訣及習(xí)題大全(共12頁)

1、人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添?把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。作輔助線的方

2、法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應(yīng)用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒

3、有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑

4、，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓

5、內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點

6、，連接則成中位線。三角形中有中線，倍長中線得全等。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)槿腔蚱剿?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑聯(lián)。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找

7、完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。由角平分線想到的輔助線一、截取構(gòu)全等如圖，AB/CD，BE平分ABC，CE平分BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。二、角分線上點向兩邊作垂線構(gòu)全等如圖，已知AB>AD, BAC=

8、FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180分析：可由C向BAD的兩邊作垂線。近而證ADC與B之和為平角。三、三線合一構(gòu)造等腰三角形如圖，AB=AC，BAC=90 ，AD為ABC的平分線，CEBE.求證：BD=2CE。分析：延長此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨后全等。四、角平分線+平行線如圖，AB>AC, 1=2，求證：ABAC>BDCD。分析：AB上取E使AC=AE，通過全等和組成三角形邊邊邊的關(guān)系可證。由線段和差想到的輔助線截長補短法AC平分BAD，CEAB，且B+D=180°，求證：AE=AD+BE。分析：過C點作AD垂線，得到全等即可。由中點想到的輔助線一

9、、中線把三角形面積等分如圖，ABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。已知ABC的面積為2，求：CDF的面積。分析：利用中線分等底和同高得面積關(guān)系。二、中點聯(lián)中點得中位線如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。分析：聯(lián)BD取中點聯(lián)接聯(lián)接，通過中位線得平行傳遞角度。三、倍長中線如圖，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。分析：倍長中線得到全等易得。四、RT斜邊中線如圖，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。分析：

10、取AB中點得RT斜邊中線得到等量關(guān)系。由全等三角形想到的輔助線一、倍長過中點得線段已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是。分析：利用倍長中線做。二、截長補短如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分 ，求證：A+C=180分析：在角上截取相同的線段得到全等。三、平移變換如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE分析：將ACE平移使EC與BD重合。四、旋轉(zhuǎn)正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù)分析：將ADF旋轉(zhuǎn)使AD與AB重合。全等得證。由梯形想到的輔助線一、平移一腰所示，

11、在直角梯形ABCD中，A90°，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的長。分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四邊形。二、平移兩腰如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。分析：利用平移兩腰把梯形底角放在一個三角形內(nèi)。三、平移對角線已知：梯形ABCD中，AD/BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積。分析：通過平移梯形一對角線構(gòu)造直角三角形求解。四、作雙高在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。分析：作梯形雙高利用勾股定

12、理和三角形邊邊邊的關(guān)系可得。五、作中位線（1）如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：EF/AD分析：聯(lián)DF并延長，利用全等即得中位線。（2）在梯形ABCD中，ADBC， BAD=90°，E是DC上的中點，連接AE和BE，求AEB=2CBE。分析：在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達到解題的目的。1已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在AD、DC上，且DEDF，BMEF于M求證：MEMF           

13、0;                                               2如圖，正方形ABCD，E是BC上的一點，

14、延長AB至F使BE=BF，延長AE交CF于G。求證：CFAG                                                              3如圖，ABCD、BEFG都是正方形，A、B、在一條直線上，連結(jié)A、G，且延長交CE的連線為H，求證：CEAH