(完整版)高等數(shù)學(xué)第七版下冊復(fù)習(xí)綱要

1、1第七章：微分方程一、微分方程的相關(guān)概念1.微分方程的階數(shù)：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.2.微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解通解：所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解稱為微分方程的通解.特解：確定了任意常數(shù)的通解稱為微分方程的特解3.特解與通解的關(guān)系：可通過初始條件確定通解中的常數(shù)而得到滿足條件的特解； 也可通過方程的表達(dá)式直接觀察得到特解，因此特解不總包含在通解中二、微分方程的常見類型及其解法1.可分離變量的微分方程及其解法(1) .方程的形式：g(y)dy f(x)dx.(2) .方程的解法：分離變量法(3) .求解步驟1.分離變量，將

2、方程寫成g( y)dy f (x)dx的形式；2.兩端積分：g(y)dy f (x)dx，得隱式通解G(y) F (x) C；3.將隱函數(shù)顯化.2.齊次方程及其解法(1).方程的形式：史dx(2).方程的解法：變量替換法.求解步驟變量還原，即再用y代替u.x3.一階線性微分方程及其解法(1).方程的形式：魚P(x)y Q(x).dx一階齊次線性微分方程：魚P(x)y 0.dx一階非齊次線性微分方程：業(yè)P(x)y Q(x) 0.dx引進(jìn)新變量uy，有y ux及矽u X包xdxdx代入原方程得:duu x一dx分離變量后求解，即解方程(u)；du(u) udxx2(2). 階齊次線性微分方程dyP

3、(x)y 0的解法：分離變量法dx通解為y CeP(x)dx,(C R).(公式)(3). 一階非齊次線性微分方程dyP(x)y Q(x) 0的解法：常數(shù)變易法.dx對方程dyP(x)y Q(x)，設(shè)y u(x)eP(x)dx為其通解，其中u(x)為未知函數(shù),dx從而有u (x)eP(x)dxu(x)P(x)eP(x)dx，dx代入原方程有u (x)e )u(x)P(x)eP(x)dxP(x)u(x)eP(x)dxQ(x)，兩端積分得u(x) Q(x)eP(x)dxdx C，再代入通解表達(dá)式，便得到一階非齊次線性微分方程的通解即非齊次線性方程通解=齊次線性方程通解+非齊次線性方程特解第八章：空

4、間解析幾何與向量代數(shù)、向量a (Xa，ya，Za),b(xb,yb,zb),c(xc,yc,zc)向量a(Xa，ya，za)與b (xb,yb，zJ的數(shù)量積：a b a b cosi j k2.向量a (Xa,ya,Za)與b (XbJbZb)的向量積：a b XayaZaXbybZba b a b sin的幾何意義為以a, b為鄰邊的平行四邊形的面積.3.向量r (x, y, z)的方向余弦:cos -X,cosy,cos2zy2y2z/ 2 2.x y/ 2 2 2 X y Zx222 2222coscoscos1；sinsinsin2.4.向量a(Xa，ya，za)與b (x,yb,Zb

5、)垂直的判定：a b a b 0 XaXbXbybZaZb0.5.向量a (Xa，ya，Za)與b (Xb,yb,Zb)平行的判定:整理得P(x)d xu (x) Q(x)eP(x)d x(Q(x)eP(x)dx ,dxC)CeP(x)dxeP(x)d xQ(x)eP(x)dxdx，(公式)XaXbXbybZaZb；3三、直線x x yyzzmnpXX0tm2.過點P(X0,y0,Z0)，以s（m, n, p）為方向向量的直線的參數(shù)式方程：yy。tnzZ0tp3.直線的一般式方程：A-iXB1yC1ZD10.方向向量為s mn2.A2X B2y C2Z D204.直線方程之間的轉(zhuǎn)化：i）點向式

6、參數(shù)式a/ ba b 0 a kb,k 0XaXbZa6.三向量共面的判定:XbybZbka mb nc 0 a,b,c共面.a7.向量a(Xa,ya,Za)在b (Xb，Yb，Zb)上的投影：Pr jab -XaXbXbbZazb2 2yaZa二、平面1.過點P（x0,y0,z0），以n（代B,C）為法向量的平面的點法式方程:A(x Xo) B(y yo) C(z z)0.2.以向量n（代B,C）為法向量的平面的一般式方程：AxBy Cz0.3.點M （xy“ zj到平面AxByCz D0的距離dA21CZ1B2C2錯誤！未找到引用源。4.平面:AxByC1zD1:A2xB?yD20平行的判

7、定:5.平面:Ax6.平面:Ax1ByC1zn1ByC1zcosn1/ n2AA2B1B2C1C2D1D2D1n2D1:A2xB?yD20垂直的判定:A1A2B1B2C1C20:A2xB2yC2zD20的夾角:A1A2B12B-iB2C1C222ci.A；B；C；1.過點P（x。，y0，z。），以s（m,n, p）為方向向量的直線的點向式（對稱式、標(biāo)準(zhǔn)）方程:4ii) 一般式 點向式第一步：找點第二步：找方向向量s n1n2四、曲線、曲面S:f( x2y2,z)0.2.空間曲線C:F(x, y,z)0關(guān)于xoy平面上的投影柱面方程為：H(x, y) 0；G(x, y,z) 08.x直線L：lx

8、y y。mzz0與平面n:AxByCzD 0垂直的判定l mnLS/NA BC9.直線L -xxy y。zz0與平面:Ax ByCzD 0平行的判定lmnL/SNAlBmCn0.10.直線L：xX。y y0z z與平面:AxByCzD0的夾角：lm2P22n2nm1m2mn2P1P2x5.直線L1 :-L2:x x2yy26.直線7.直線m1niPim2n2平行的判定:P2L1/ L2q / s2m1niPim2n2P2Liy y1m1n1與P1L2X2y y2m2n2-z2垂直的判定:P2L1L2S1S2m1m2ng p1p20.Jm1z z1與L2P1x X2y y2的夾角:m2P2cos

9、sinAmB2i BnCP C2m2n211.點P(x0, y0, z0)到直線AxA2XB?yCiZD-iC2zD2的距離:0PMi，其中M是直線上任意一點，s n1n2.1.yoz平面上的曲線C:f(y,z)0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為22n1P15第九章：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、平面點集1. 內(nèi)點一定在點集內(nèi)，但點集內(nèi)的點未必是點集的內(nèi)點，還有孤立點；2. 聚點可以是點集的邊界點，也可以是點集的內(nèi)點，但不可以是點集的外點和點集內(nèi)的孤立點;3. 開集和閉集內(nèi)的所有點都是聚點.二、二元函數(shù)的極限、連續(xù)性的相關(guān)知識點1.二元函數(shù)f (x, y)在(x0, y0)點的二重極限：lim f

10、(x, y) A.(x,y) (x0,y0)2.二元函數(shù)f (x, y)在(xo，y)點的連續(xù)性：lim f (x, y)f(xo,y).(x,y)(xo, yo)3. 二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點1.函數(shù)z f (x, y)對自變量x, y的偏導(dǎo)數(shù)： 及一z錯誤！未找到引用源。x y22.函數(shù)z f (x, y)對自變量x, y的二階偏導(dǎo)數(shù)：一zx2 2一-與一-連續(xù)，則二者相等x y y x三、二元函數(shù)的全微分：dz zdx dyx y四、二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性以及全微分存在性三者之間的關(guān)系1.函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系：二者沒有任何的蘊涵關(guān)系

11、2.偏導(dǎo)數(shù)存在性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，偏導(dǎo)數(shù)存在；反之未必.(偏導(dǎo)數(shù)不存在，全微分一定不存在)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分存在，反之未必.3.連續(xù)性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，函數(shù)一定連續(xù)；(函數(shù)不連續(xù)，全微分一定不存在)函數(shù)連續(xù)，全微分未必存在.五、二元復(fù)合函數(shù)的偏(全)導(dǎo)數(shù)1. 中間變量為兩個，自變量為一個的復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：z f(u,v),u (t),v(t),z f( (t), (t)，dzz duz dv在xoy平面上的投影曲線為C:H(x,y) 0z 02二錯誤!未找到引用源。2y2 2z z-、 -x y y x注：若二階混合偏導(dǎo)數(shù)6dtu dtv dt2. 中間變量為

12、兩個，自變量為兩個的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：7z f(u,v),u(X, y),v(X, y),z f ( (x,y),(x, y),F F u F vxuxv xGGuG vxuxv x七、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1.曲線的切線方程和法平面方程x(t),1).以參數(shù)式方程y(t),表示的曲線在t to對應(yīng)的點M(XQ,yo,Zo)的z(t)切線方程：罕勺yyo1zZQ1(to)(to)(to)法平面方程：(t)(x X。)(t)(y y)(t)(z z0)0zz uz vzzuz vxu x六、隱函數(shù)微分法v x,yuxv x1.由一個方程確定的隱函數(shù)微分法:2).以一般式方程F(x, y,z)G(x,

13、y, z)0表示的曲線在點0M (x0, y0, z0)的切線和法平面方程:先用方程組F(x, y,z)G(x, y, z)0確定的隱函數(shù)組y0zf(x)微分法求出dy,dz，g (x)dx dx然后得到切線的方向向量dzXQ.dxxXQF (x, y, z) 0確定隱函數(shù)z f(x, y),直接對方程左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即F dxx dxF ,F cF z7100，解得：xyz xx2.由方程組確定的隱函數(shù)組微分法:FENM0確定隱函數(shù)u u(x,y)，G(x, y, u, v) 0v v(x,y)直接對方程組左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即F dxF dyF ux dxy dxu x

14、G dxG dyG ux dxy dxuxF vv xv x0，即00，可以解出y dxFxIFz89切線方程：X Xoyy0z z1f (X0) g (X0)法平面方程：x X。f(x)(y y) g(x)(z z)02.曲面的切平面方程和法線方程1).以一般式方程F(x, y,z) 0表示的曲面在點M(x0,y0,z0)的切平面和法線方程:切平面線方程：Fx(M)(x X。)Fy(M)(y y。)F；(M )(z z。)0法方程：XX0y y0zZ011Fx(M )FX(M) Fz(M)2).以特殊式方程zf (x, y)表示的曲面在點M (x0, y0,z0)的切平面和法線方程:令F(x

15、,y,z) f (x, y) z 0,有曲面在點M(x0,y0,z0)的切平面的法向量N(Fx(M),Fy(M),F；(M) (fx(x, y), fy(, y), 1)切平面線方程：fx(X0，y0)(x x) fy(x0，y0)(y y)(z q) 0法方程：x X0y yz z0fx(x0,y)fx(x0,y)13.方向?qū)?shù)與梯度:1).方向?qū)?shù)：丄limf(xx，yy) f(Ky)l02).方向?qū)?shù)存在條件：可微分函數(shù)z f (x, y)在一點沿任意方向I的方向?qū)?shù)都存在，并且 cos，其中cos , cos是方向I的方向余弦y3).梯度：函數(shù)f (x,y,z)在點M(x0,y0,z0

16、)處的梯度gradf(冷0必)fx(x0,y0,z)ify(x0,y0,z) j fz(x, y,z0)k().4).方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：1.函數(shù)f (x, y, z)在點M (x0, y0, %)處增加最快的方向是其梯度grad f (x0,y0, z0)的方向，減小最快的方向是gradf (x0,y,z0)的方向.2.函數(shù)f (x, y, z)在點M(x0,y0,z0)沿任意方向的方向?qū)?shù)的最大值為grad f (x0, y0, z0).八、極值、條件極值1.函數(shù)z f (x, y)的極值點和駐點的關(guān)系：函數(shù)z f (x, y)的極值在其駐點或不可偏導(dǎo)點取得.z cosx102. 求函數(shù)

17、極值的步驟：fx(x,y) 0(1). 對函數(shù)z f(x,y)求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組x，得所有駐點(xi, yi).fy(x,y)0(2). 對每一個駐點(xi, yi)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)fxx(xi,yi),Bfxy(xi, yi),Cfyy(xi, yi).(3).計算B2AC，根據(jù)B2AC以及A的符號判定f(Xj, yi)是否是極值：若B2AC0,A 0，則f (xi, yi)是極小值；若B2AC0,A0，則f (xi, yi)是極大值；若B2AC0,，則f (xi,yi)不是極小值；若B2AC0,，則f (xi, yi)是否是極值不能判定，需其他方法驗證3. 求函數(shù)z f (x,y)在

18、附加條件(x,y)0下的條件極值的方法：做拉格朗日函數(shù)F(X,y)f (X,y)(x,y)，對自變量x, y求偏導(dǎo)，建立方程組Fx(x,y)Fy(x,y)fx(x,y)fy(x, y)x(x,y)y(x,y)與附加條件聯(lián)立的方程組Fx(x, y)Fy(x,y)(x, y)fx(x,y)x(x, y) 0IIfy(x, y)y(x, y) 0，解出的x, y就是函數(shù)z f (x, y)的可能極值點.0第十章：重積分一、二重積分的相關(guān)性質(zhì)1. 有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)f(x,y)在該區(qū)域D上二重積分f(x,y)d存在；2. 若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上二重積分存在f(x,y)d，則f (x,

19、y )在該區(qū)域上有界；3. 中 值 性 ： 若 函 數(shù)f (x, y)在 有 界 閉 區(qū) 域D上 連 續(xù) ， 區(qū) 域D的 面 積 為 ， 則 在D上 至 少 存 在 一 點( , )， 使 得Df (x, y)d f(x,y).4.1d，區(qū)域D的面積為 .D二、二重積分的計算1. 利用平面直角坐標(biāo)計算二重積分1). 先對y后對x積分，由于積分區(qū)域D : a x b；1(x) y2(x)，有1112f(x,y)dDbdxa2(X)1(x)f(x,y)dy.2).先對x后對y積分,由于積分區(qū)域D:d；1(y) x2(y)，有f(x,y)dDdcdy2( y)f(x,y)dx.i(y)b3).積分換

20、序：dxa2(X)1(x)f (x, y)dyf(x, y)dDdcdy2(y)1(y)住血.2.利用極坐標(biāo)計算二重積分cOs，由于積分區(qū)域D :sin1(2()，有f(x,y)d2()1()f ( cos , sin三、三重積分的相關(guān)性質(zhì):1dVV，區(qū)域 的體積為四、三重積分的計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分積分區(qū)域V:a xy,x)y y2(x)；Z1(x, y) z Z2(x,y)，有f(x, y, x)dVdxy2(x)%(x)dyZ2(x,y)心)f(x,y,z)dz第十一章：曲線積分曲面積分一、曲線積分的計算1.第一型曲線積分的計算:若曲線C的參數(shù)方程是:(t),(t),t0t t

21、1，則第一型曲線積分Cf (x,y)dsCt1t0f(t),(t)J2(t)2(t)dt22.第二型曲線積分的計算:若曲線C的參數(shù)方程是：(t),(t),t0t t1，t0tA, t1tB分別對應(yīng)曲線的兩個端點，則第一型曲線積分CP(x,y)dx Q(x,y)dyt1tP(L0(t),(t) (t) Q( (t), (t)(t)dt3.格林公式(聯(lián)系曲線積分和二重積分)設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線C所圍成，C取正向，函數(shù)P(x, y), Q(x, y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式1314cPdx Qdy注：1.可用第二型曲線積分計算該曲線所圍成區(qū)域的面積：設(shè)有界閉區(qū)域2.函數(shù)P(x,

22、 y),Q(x, y)在區(qū)域D上連續(xù).二、曲面積分的計算1. 第一型曲面積分的計算：若曲面S的方程是：z z(x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在xoy平面上的投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù)，則第一型曲 面積分I 22sf(x,y,z)dSDfz,y,z(z, y). 1 zxZydxdySDxy2. 第二型曲面積分的計算：若正向曲面S的方程是：z z(x, y)，且在xoy平面上的投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)R(x, y,z)在S上連續(xù)，則第二型曲面積分sR(x,y,z)dxdyDRx, y, z(x, y)dxdy，SDxy同理可得P(x, y, z)dydz Rx(y,z),

23、y, z)dydz；SDyzQ(x, y, z)dzdx Q x, y(z, x), z)dzdxSDzx3. 高斯公式(聯(lián)系曲面積分和三重積分)若函數(shù)P(x, y,z),Q(x, y, z)在空間有界閉區(qū)域Q及其光滑邊界曲面 S 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則注：設(shè)空間有界閉區(qū)域Q由光滑封閉曲面 S 所圍成，則區(qū)域Q的體積為4.斯托克斯公式(聯(lián)系曲面積分和三重積分)三、曲線積分與路徑無關(guān)的條件. P(x, y)dx Q(x, y)dy 0；D由取正向的光滑曲線C所圍成，則區(qū)域D的面積為dxdyDydxxdy.dxdy.有高斯公式：二$Pdydz Qdzdx RdxdyP Qx ydxdydz.$xdydzydzdx zd