高考一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法Word版

1、第1講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法【2015年高考會(huì)這樣考】1以數(shù)列的前幾項(xiàng)為背景，考查“歸納推理”思想2考查已知數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系，求數(shù)列的某項(xiàng)3考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，已知Sn與an的關(guān)系求an等【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主2對(duì)于歸納通項(xiàng)公式的題目，歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證3熟練掌握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法，另外注意累加法、累積法的靈活應(yīng)用基礎(chǔ)梳理1數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)

2、間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M1 / 15擺動(dòng)數(shù)列an的符號(hào)正負(fù)相間，如1，1,1，1，3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法4數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子anf(n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式5Sn與an的關(guān)系已知Sn，則an在數(shù)列an中，若an最大，則若an最小，則 一個(gè)聯(lián)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列因此，在研究函數(shù)問(wèn)

3、題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性 兩個(gè)區(qū)別(1)若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列，這有別于集合中元素的無(wú)序性(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)三種方法由遞推式求通項(xiàng)an的方法：(1)an1anf(n)型，采用疊加法；(2)f(n)型，采用疊乘法；(3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)已知數(shù)列an的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0，則下列各式不可以作為數(shù)列an的通項(xiàng)公式的一項(xiàng)是()Aan1(1)n1 Ban2sinCan1cos n Dan解析根據(jù)數(shù)列的前4

4、項(xiàng)驗(yàn)證答案B2在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為()A30 B31 C32 D33解析a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案B3已知an1an30，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D不確定解析an1an30，an1an30，an1an.故數(shù)列an為遞增數(shù)列答案A4設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為()A15 B16 C49 D64解析由于Snn2，a1S11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1，又a11適合上式an2n1，a82×8115.答案A5(2012·泰州月考)數(shù)列1,

5、1,2,3,5,8,13，x,34,55，中x的值為_(kāi)解析觀察數(shù)列中項(xiàng)的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)都是其前兩項(xiàng)的和答案21考向一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)【例1】寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.審題視點(diǎn) 先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系解(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23，24，所以an.(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，

6、；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以an(1)n·.也可寫為an(4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為：，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031，1041，所以an(10n1) 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征：把數(shù)列的項(xiàng)分成變化的部分和不變的部分；(4)各項(xiàng)符號(hào)特征若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來(lái)【訓(xùn)練1】 已知數(shù)列an的前四項(xiàng)分別為1,0,1,0，給出下列各式：an；an；ansin

7、2；an；an；an(n1)(n2)其中可以作為數(shù)列an的通項(xiàng)公式的有_(填序號(hào))答案考向二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an【例2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn3n1，則它的通項(xiàng)公式為an_.審題視點(diǎn) 利用anSnSn1(n2)求解解析當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n1(3n11)2·3n1；當(dāng)n1時(shí)，a1S12也滿足an2·3n1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2·3n1.答案2·3n1 數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an當(dāng)n1時(shí)，a1若適合SnSn1，則n1的情況可并入n2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n1時(shí)，a1若不適合SnSn1，則用分段函數(shù)的形式表示【訓(xùn)練2】 已

8、知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)解析當(dāng)n1時(shí)，a1S13×122×112；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an答案an考向三由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)【例3】根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)a11，an13an2；(2)a11，anan1(n2)；(3)已知數(shù)列an滿足an1an3n2，且a12，求an.審題視點(diǎn) (1)可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解(2)可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解(3)可利用累加法求解解(1)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3

9、，又a112，an12·3n1，an2·3n11.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個(gè)式子相乘得ana1····.(3)an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1×(3×11)2符合公式，ann2. 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn)anan1m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時(shí)，用累乘法求解【訓(xùn)練3

10、】 根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列an的首項(xiàng)和基本關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a12，an1anln.解(1)anan13n1(n2)，an1an23n2，an2an33n3，a2a131，以上(n1)個(gè)式子相加得ana131323n113323n1.(2)an1anln，an1anlnln，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，以上(n1)個(gè)式相加得，ana1lnlnlnln n又a12，anln n2.考向四數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例4】已知數(shù)列an的通項(xiàng)an(n1)n(nN)，試問(wèn)該數(shù)列an有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由審題視點(diǎn) 作差：an

11、1an，再分情況討論解an1an(n2)n1(n1)nn.當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；故a1a2a3a9a10a11a12，所以數(shù)列中有最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng) (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識(shí)，函數(shù)的思想方法來(lái)解決(2)數(shù)列的單調(diào)性是高考常考內(nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問(wèn)題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用作差法，作商法，結(jié)合函數(shù)圖象等方法【訓(xùn)練4】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn224n(nN*)(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，Sn達(dá)到最大？最大值是多少？解(1)n1時(shí)，a1S123.n2時(shí)，anSnSn1n224n(n1)224(n1)2n25.經(jīng)驗(yàn)證，a123符合an2n25，an2n25(nN*)(2)法一Snn224n，n12時(shí)，Sn最大且Sn144.法二an2n25，an2n250，有n.a120，a130，故S12最大，最大值為144.難點(diǎn)突破13數(shù)列中最值問(wèn)題的求解從近幾年新課標(biāo)高考可以看出，對(duì)求數(shù)列中的最大項(xiàng)是高考的熱點(diǎn)，一般難度較大解決這類問(wèn)題時(shí)，要利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的最值，但要注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的