離散型隨機(jī)變量及其分布律PPT課件

1、 nnpppxxxX2121或記為其中 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp第1頁/共42頁注.1 分布律中的 pk 必須滿足：1)2(), 2, 1(10)1(1 kkkpkp2 若X 是離散型隨機(jī)變量，則其分布函數(shù)為： xxkkxXPxF)(.而言而言的的是對(duì)于一切滿足是對(duì)于一切滿足”其中“其中“kxxkxxk 第2頁/共42頁例1 1的的分分布布律律為為：設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X), 2, 1 , 0(!3 kkakXPk. a試試確確定定常常數(shù)數(shù)解由1), 2 , 1 , 0( 100 kkkpkp得 01!3kkka 01!)31(kkka即即 031!)31(

2、kkek31 ea第3頁/共42頁2. 離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)及 事件概率的關(guān)系(1) 若已知 X 的分布律：), 2 , 1( kxXPpkk則X的分布函數(shù)：)()(RxxXPxFxxkk 事件 a X b的概率： bxakkxXPbXaP第4頁/共42頁(2) 若已知 X的分布函數(shù)F(x)，則X的分布律：kkxXPp )0()( kkxFxF)()(1 kkxFxF)(1kkkxXxPxXP 或), 2 , 1( k注 1離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)是階梯函數(shù)，x1, x2,是F(x)的第一類間斷點(diǎn), 而X在xk（k=1,2, ）處的概率就是F(x)在這些間斷點(diǎn)處的躍度.第5

3、頁/共42頁2bXaP bXPaXPbXaP )()(aFbF )0()(aFaF)0()( bFbF)0()0( aFbF)()(aFbF 第6頁/共42頁例2一盒內(nèi)裝有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)舊的，3個(gè)新的，從中任取2個(gè)，求取得的新球個(gè)數(shù)X的分布律與分布函數(shù)，并計(jì)算：.20,20 XPXP解X= 取得的新球個(gè)數(shù) ，其分布律為)2, 1, 0( kkXP25223CCCkk 或XP2103 . 06 . 01 . 0第7頁/共42頁X的分布函數(shù)為)()(RxxXPxF xkkXP 0 xXP2103 . 06 . 01 . 0, 010 x,0 XP21 x,10 XPXP,210 XPXPXP

4、 0.1, 0.1 + 0.6,21 x 0.1 + 0.6 + 0.3,2 x 0.7, 1,2 xxoy0.10.7 1 21第8頁/共42頁XP2103 . 06 . 01 . 020 XP方法1.21 XPXP9 . 03 . 06 . 0 20 XP10 XPXP7 . 06 . 01 . 0 方法2. 2, 121, 7 . 010, 1 . 00, 0)(xxxxxF)0()2(20FFXP 9 . 01 . 01 )00()02(20 FFXP7 . 007 . 0 第9頁/共42頁二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布 設(shè)隨機(jī)變量 X 只可能取0與1兩個(gè)值 , 它的分布律為2.兩點(diǎn)

5、分布1.退化分布若隨機(jī)變量X取常數(shù)值C的概率為1,即1 )(CXP則稱X服從退化分布.第10頁/共42頁實(shí)例1 “拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況. 隨機(jī)變量 X 服從 (0-1) 分布., 1)(eXX , 0,正面正面當(dāng)當(dāng) e.反面反面當(dāng)當(dāng) eXkp012121其分布律為則稱 X 服從 (0-1) 分布或兩點(diǎn)分布.記為XB(1,p)Xkp0p 11p第11頁/共42頁實(shí)例2 200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那末,若規(guī)定 , 0, 1X取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量 X 服從(0-1)分布.Xkp0120019020010第12頁/共42頁 兩點(diǎn)分

6、布是最簡單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)分布.說明第13頁/共42頁3.均勻分布如果隨機(jī)變量 X 的分布律為實(shí)例 拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量 X,Xkp161234566161616161則有 ., )(),(服從均勻分布服從均勻分布則稱則稱其中其中Xjiaaji Xkpnaaa21nnn111第14頁/共42頁nknkknnnnkpqpCpqCqpnkX 1110稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為).,(pnBXknkknppC )1(pq 1記記knkknqpC 二項(xiàng)分布1 n兩點(diǎn)分布4.二項(xiàng)分布若X的分

7、布律為: kXP或?yàn)?第15頁/共42頁例如 在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行 5 次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次數(shù) X 服從 B (5,0.6) 的二項(xiàng)分布.5) 4 . 0(4154 . 06 . 0 C32254 . 06 . 0 C23354 . 06 . 0 C4 . 06 . 0445 C56 . 0Xkp012345第16頁/共42頁.,400,02. 0,率率試試求求至至少少擊擊中中兩兩次次的的概概次次獨(dú)獨(dú)立立射射擊擊設(shè)設(shè)每每次次射射擊擊的的命命中中率率為為某某人人進(jìn)進(jìn)行行射射擊擊解,X設(shè)擊中的次數(shù)為設(shè)擊中的次數(shù)為).02. 0,400( BX則則的分布

8、律為的分布律為X,)98. 0()02. 0(400400kkkCkXP .400, 1 , 0 k因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例3第17頁/共42頁).(P,.0, 2 , 1 , 0,!, 2, 1, 0 XXkkekXPk記為記為分布分布的泊松的泊松服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱是常數(shù)是常數(shù)其中其中取各個(gè)值的概率為取各個(gè)值的概率為而而的值為的值為設(shè)隨機(jī)變量所有可能取設(shè)隨機(jī)變量所有可能取 泊松資料5. 泊松分布第18頁/共42頁泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子

9、個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608 次觀察(每次時(shí)間為7.5 秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), 其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布. 第19頁/共42頁地震 在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.火山爆發(fā)特大洪水第20頁/共42頁電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù) 在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.第21頁/共42頁泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系泊松定理設(shè)Xn B

10、(n ,pn ) (n=1,2,), 1 ,0()1(nkppCkXPknnknknn 且滿足：且滿足：)0(lim nnnp.!lim ekkXPknn則則),2,1,0( k第22頁/共42頁證)0(lim nnnp nnnnnplim,有有令令knnknknnppCkXP )1(于于是是knnknppknkn )1()!( !knnknnnkknnn )1()(!)1()1( knnknnnknnk )1)(11()21)(11(!)( 第23頁/共42頁knnknnnknnk )1)(11()21)(11(!)( kXPn 在這里是固定的，注意到kkknn)(lim001limlim

11、nnnnnn又又由由重重要要極極限限，得得nnlim第24頁/共42頁)()1(lim)1(limknnnnnknnnnnnn )()1(limknnnnnnnn e.!lim ekkXPknn第25頁/共42頁注.即即二項(xiàng)分布的極限分布，二項(xiàng)分布的極限分布，視為視為很大時(shí)，泊松分布可以很大時(shí)，泊松分布可以當(dāng)當(dāng)n21 ，意味著：，意味著：條件條件)0(lim nnnp. 101 npn時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 很小), 1 , 0(!)1(nkekppCkknnknkn .nnp 其其中中第26頁/共42頁 有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每

12、天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通過, 問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?),0001.0,1000( BX9991100010009999. 00001. 09999. 01 C 設(shè) 1000 輛車通過,出事故的次數(shù)為 X , 則解? 二項(xiàng)分布 泊松分布n很大, p 很小故所求概率為1012 XPXPXP例4第27頁/共42頁可利用泊松定理計(jì)算, 1 . 00001. 01000 .0047. 0! 11 . 0!0111 . 01 . 0 ee2 XP9991100010009999. 00001. 09999. 01 C), 1 , 0(!)1(nkekppCkknnknkn 第28頁

13、/共42頁在保險(xiǎn)公司里有2500名同齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在一年中每個(gè)人的死亡的概率為0.002, 每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)取2000元賠償金. 求：(1) 保險(xiǎn)公司虧本的概率；(2) 保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率.解(1) 以“年”為單位，在1年的1月1日，保險(xiǎn)公司的總收入為：).(30000122500元元 例5第29頁/共42頁，則，則年中死亡的人數(shù)為年中死亡的人數(shù)為設(shè)設(shè)X1)002. 0,2500( BX保險(xiǎn)公司在這一年中，應(yīng)付出：2000X (元)設(shè) A=保險(xiǎn)公司虧本，則300002000 XA發(fā)發(fā)生生)(15人人

14、即即 X15)( XPAPkkkkC 25002500162500)002. 01()002. 0(第30頁/共42頁很很小小，所所以以可可用用很很大大，因因?yàn)闉?02. 02500 pn,5項(xiàng)項(xiàng)分分布布的的泊泊松松分分布布近近似似代代替替二二參參數(shù)數(shù) np 15115 XPXP即即有有kkkkC 25001502500)002. 01()002. 0(1 1505!51kkke.000069. 0 第31頁/共42頁(2) 保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率.B5 XP20000200030000)( XPBPkkkkC 2500502500)002. 01()002. 0(615961.

15、 0!5505 kkke即 保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率接近于62%.第32頁/共42頁若隨機(jī)變量 X 的分布律為則稱 X 服從幾何分布.實(shí)例 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為 p,對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查 , 直到第一次抽到一只次品為止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目 X 是一個(gè)隨機(jī)變量 , 求X 的分布律., 1, qpXkpk21pqppqk 1 6. 幾何分布第33頁/共42頁)(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ), 2 , 1( k所以 X 服從幾何分布.說明 幾何分布可作

16、為描述某個(gè)試驗(yàn) “首次成功”的概率模型.解., 3, 2, 1所取的可能值是所取的可能值是X,個(gè)產(chǎn)品是正品個(gè)產(chǎn)品是正品抽到的第抽到的第表示表示設(shè)設(shè)iAi第34頁/共42頁7.超幾何分布超幾何分布設(shè)X的分布律為),min,(nMkCCCkXPnNmnMNmM210 .,服從超幾何分布服從超幾何分布則稱則稱這里這里XNMMmNn 超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用 到.說明第35頁/共42頁離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布均勻分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布1010.p,n 兩點(diǎn)分布1 n三、內(nèi)容小結(jié)超幾何分布退化分布第36頁/共42頁幾類常見的離散型分布 分布名稱分布名稱 記號(hào)記號(hào) 分布律分布律 背景背景 退化分布(單點(diǎn)分布)1 cXP必然事件兩點(diǎn)分布(或 01分布)X B(1,p) ) 1 , 0()1(1 kppkXPkk貝努里概型(0p0)(0p1), 2, 1 , 0(! kekkXPk 稀有事件第38頁/共42頁 分布名稱分布名稱記記號(hào)號(hào) 分布律分布律 背景背景 幾何分布), 2 , 1()1(1nkppkXPk 在n重獨(dú)立試驗(yàn)中，A首次發(fā)生的試驗(yàn)次數(shù)為X. 超幾何分布),min), 1 , 0(nMllkCCCkXPnNknMNkM NMNn ,設(shè)N件產(chǎn)品中有M件次品