兩因素方差分析

1、 1 資料總離差平方和與自由度的分解；資料總離差平方和與自由度的分解； 2 列出方差分析表，計算各項均方和列出方差分析表，計算各項均方和F值，值，進行進行F檢驗，以判斷各變異因素的影響大?。粰z驗，以判斷各變異因素的影響大?。?3 若若F檢驗顯著，則進行多重比較。檢驗顯著，則進行多重比較。 【例【例1】對某地區(qū)】對某地區(qū)5類海產(chǎn)食品中無機砷含量進行檢測，類海產(chǎn)食品中無機砷含量進行檢測，測定結果見表測定結果見表1，其中藻類以干重計，其他，其中藻類以干重計，其他4類以鮮重類以鮮重計。試分析不同類型海產(chǎn)品的砷含量差異是否顯著。計。試分析不同類型海產(chǎn)品的砷含量差異是否顯著。 類型 檢測值Xij mg/k

2、g Xi. .ix 魚類A 0.31 0.25 0.52 0.36 0.38 0.51 0.42 2.75 0.393 貝類B 0.63 0.27 0.78 0.52 0.62 0.64 0.70 4.46 0.637 甲殼類C 0.69 0.53 0.76 0.58 0.52 0.60 0.61 4.29 0.613 藻類D 1.50 1.23 130 1.45 1.32 1.44 1.43 9.67 1.381 軟體類E 0.72 0.63 0.59 0.57 0.78 0.52 0.64 4.45 0.636 x =25.62 0.57 這是一個單因素試驗，這是一個單因素試驗，k=5，n

3、=7?，F(xiàn)對此。現(xiàn)對此試驗結果進行方差分析：試驗結果進行方差分析： 1、計算各項平方和與自由度、計算各項平方和與自由度 7538.18)57/(62.25/22.knxC9847. 37538.187385.227538.18)45. 446. 475. 2(7112368. 47538.189906.22)64. 052. 025. 031. 0(2222.22222CxnSSCCxSSitijT2521.09847.32368.4tTeSSSSSS 2、列出方差分析表，進行、列出方差分析表，進行F檢驗檢驗 表表2 不同類型海產(chǎn)品無機砷含量方差分析表不同類型海產(chǎn)品無機砷含量方差分析表30434

4、,4151,341751tTetTdfdfdfkdfkndf變 異 來 源 偏 差 平 方 和 SS 自 由 度 df 方 差 M S F值 顯 著 性 類 型 間 3.987 4 0.9962 1 18.595 * 類 型 內(nèi) 0.2521 30 0.0084 總 變 異 4.2368 34 因為因為MSe=0.0084，n=7，所以，所以 為：為： 根據(jù)根據(jù)dfe=30，秩次距，秩次距k=2，3，4，5由附表由附表6查出查出=0.05和和=0.01的各臨界的各臨界SSR值，乘以值，乘以 ，即得各最小顯著極差，所得結果列于表即得各最小顯著極差，所得結果列于表2。 xS0346. 07/008

5、4. 0/nMSSexxS 表表3 SSR值及值及LSR值值dfe 秩次距K SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 2.89 3.89 0.100 0.135 3 3.04 4.06 0.105 0.140 4 3.12 4.16 0.108 0.144 30 5 3.20 4.22 0.111 0.146 表表4 不同類型海產(chǎn)品無機砷含量差異重比較結果不同類型海產(chǎn)品無機砷含量差異重比較結果 (SSR法法)類型類型平均數(shù)平均數(shù)/ / （mg/kgmg/kg）差異顯著性差異顯著性=0.05=0.05=0.010.01藻類（藻類（D D）1.3411.341a aA

6、A貝類（貝類（B B）0.6370.637b bB B軟體類（軟體類（E E）0.6360.636b bB B甲殼類（甲殼類（C C）0.6130.613b bB B魚類（魚類（A A）0.3930.393c cC C第三節(jié)第三節(jié) 兩因素試驗的兩因素試驗的方差分析方差分析3.1 交叉分組資料的方差分析交叉分組資料的方差分析 設試驗考察設試驗考察A、B兩個因素，兩個因素，A因素分因素分a個水個水平，平，B因素分因素分b個水平個水平 。 所謂交叉分組是指所謂交叉分組是指A因因素每個水平與素每個水平與B因素的每個水平都要搭配因素的每個水平都要搭配 ，兩者，兩者交叉搭配形成交叉搭配形成ab個水平組合即

7、處理，試驗因素個水平組合即處理，試驗因素A 、B在試驗中處于平等地位在試驗中處于平等地位 。如果將試驗單元分成。如果將試驗單元分成 ab 個組，每組隨機接受一種處理個組，每組隨機接受一種處理 ，因而試驗數(shù)，因而試驗數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組，這種試驗數(shù)據(jù)資料稱據(jù)也按兩因素兩方向分組，這種試驗數(shù)據(jù)資料稱為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。 分無重復觀測值和重復觀測值兩種類型。分無重復觀測值和重復觀測值兩種類型。對于對于A、B兩個試驗因素的全部兩個試驗因素的全部ab個水平組合，個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值（無重復），每個水平組合只有一個觀測值（無重復）， 全

8、試驗共有全試驗共有ab個觀測值，其數(shù)據(jù)模式如表個觀測值，其數(shù)據(jù)模式如表5所所示。示。 表表5 兩因素無重復觀測值的試驗數(shù)據(jù)模式兩因素無重復觀測值的試驗數(shù)據(jù)模式 aibjijaiijjaiijjbjijibjijixxxaxxxxbxxx11.1.1.1.1.,1,1,abxxaibjij/.11 兩因素無重復觀測值試驗資料的數(shù)學模型為：兩因素無重復觀測值試驗資料的數(shù)學模型為： 式中，式中， 為總平均數(shù)；為總平均數(shù)； ), 2 , 1;, 2 , 1(bjaixijjiij A因素的每個水平有因素的每個水平有b次重復，次重復，B因素的每個水平因素的每個水平有有a次重復，每個觀測值同時受到次重復，

9、每個觀測值同時受到A、B 兩因素及兩因素及隨機誤差的作用。因此全部隨機誤差的作用。因此全部 ab 個觀測值的總變異個觀測值的總變異可以分解為可以分解為 A 因素水平間變異、因素水平間變異、B因素水平間變異因素水平間變異及試驗誤差三部分；自由度也相應分解。及試驗誤差三部分；自由度也相應分解。 eBATeBATdfdfdfdfSSSSSSSS 矯正數(shù)矯正數(shù) 總平方和總平方和 A因素離差平方和因素離差平方和 B因素離差平方和因素離差平方和abxC/2.CxxxSSaibjijaibjijT11221.1)(CxbxxbSSaiiaiiA12.2.1.1)(CxaxxaSSbjjbjjB12.2.1.

10、1)(eeeBBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/ 化驗化驗員員B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4B B5 5B B6 6B B7 7B B8 8B B9 9B B1010 x xi i. .x xi i. .A A1 111.7111.7110.8110.8112.3912.3912.5612.5610.6410.6413.2613.2613.3413.3412.6712.6711.2711.2712.6812.68121.33121.3312.13 12.13 A A2 211.7811.7810.710.712.512.512.3512.3510.321

11、0.3212.9312.9313.8113.8112.4812.4811.611.612.6512.65121.12121.1212.11 12.11 A A3 311.6111.6110.7510.7512.412.412.4112.4110.7210.7213.113.113.5813.5812.8812.8811.4611.4612.9412.94121.85121.8512.19 12.19 x.x.j j35.1035.1032.2632.2637.2937.2937.3237.3231.6831.6839.2939.2940.7340.7338.0338.0334.3334.333

12、8.2738.27364.3364.3x.x.j j11.7011.7010.7510.7512.4312.4312.4412.4410.5610.5613.1013.1013.5813.5812.6812.6811.4411.4412.7612.76A因素（化驗員）有因素（化驗員）有3個水平，即個水平，即a=3；B因素因素（天數(shù)）（天數(shù)） 有有10個水平個水平 ，即，即 b =10 ， 共有共有ab=310=30個觀測值。個觀測值。 8163.4423)103/(30.364/.22abxC7591.26C)27.3826.3210.35(3110283. 0C)85.12112.12133

13、.121(10112509.278163.4423)94.1278.1171.11(2222.2222.2222CxaSSCxbSSCxSSjBiAijT18922991101213129110314635. 07591.260283. 02509.27BATeBATBATedfdfdfdfbdfadfabdfSSSSSSSS 2 列出方差分析表，進行列出方差分析表，進行F檢驗檢驗 變異來源變異來源SSSSdfdfMSMSF F值值顯著性顯著性化驗員間化驗員間0.02830.02832 20.01420.01420.5500.550日期間日期間26.759126.75919 92.97322.

14、9732115.240115.240* * *誤差誤差0.46350.463518180.02580.0258合計合計27.250927.250929293 多重比較多重比較 在兩因素無重復觀測值試驗中，在兩因素無重復觀測值試驗中，A因素每一因素每一水平的重復數(shù)恰為水平的重復數(shù)恰為B因素的水平數(shù)因素的水平數(shù)b，故，故A因素因素的標準誤為的標準誤為 ；同理，；同理，B 因因 素素 的的 標準誤標準誤bMSSexi/.aMSSexj/.093. 03/0258. 0/.aMSSexj dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.28 0.38 33.61

15、4.70.34 0.44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46 0.57 105.076.20.47 0.58 測定測定日期日期x x.j.jx x.j-.j-10.5610.56x.x.j j- -10.710.75 511.44 11.44 11.70 11.70 12.43 12.43 12.44 12.44 12.68 12.68 12.76 12.76 13.10 13.10 B7B713.58 13.58

16、 3.023.02* * * 2.83 2.83 2.14 2.14 1.88 1.88 1.15 1.15 1.14 1.14 0.90 0.90 0.82 0.82 0.48 0.48 B6B613.10 13.10 2.54 2.54 2.35 2.35 1.66 1.66 1.40 1.40 0.67 0.67 0.66 0.66 0.42 0.42 0.34 0.34 B10B1012.76 12.76 2.20 2.20 2.01 2.01 1.32 1.32 1.06 1.06 0.33 0.33 0.32 0.32 0.08 0.08 B8B812.68 12.68 2.12

17、2.12 1.93 1.93 1.24 1.24 0.98 0.98 0.25 0.25 0.24 0.24 B4B412.44 12.44 1.88 1.88 1.69 1.69 1.00 1.00 0.74 0.74 0.01 0.01 B3B312.43 12.43 1.87 1.87 1.68 1.68 0.99 0.99 0.73 0.73 B1B111.70 11.70 1.14 1.14 0.95 0.95 0.26 0.26 B9B911.44 11.44 0.88 0.88 0.69 0.69 B2B210.75 10.75 0.19 0.19 B5B510.56 10.56

18、 處理處理 均值均值 5%5%顯著水平顯著水平 1%1%極顯著水平極顯著水平 B7 B7 13.58 13.58 a a A A B6 B6 13.10 13.10 b b AB AB B10 B10 12.76 12.76 bc bc BC BC B8 B8 12.68 12.68 bc bc BC BC B4 B4 12.44 12.44 c c C C B3 B3 12.43 12.43 c c C C B1 B1 11.70 11.70 d d D D B9 B9 11.44 11.44 d d D D B2 B2 10.75 10.75 e e E E B5 B5 10.56 10.

19、56 e e E E 在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除在進行兩個因素或多個因素的試驗時，除了要研究每一個因素對試驗指標的影響外，往了要研究每一個因素對試驗指標的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對試驗指標往更希望知道因素之間的交互作用對試驗指標的影響情況。的影響情況。 通過研究環(huán)境溫度、濕度、光照、氣體成分通過研究環(huán)境溫度、濕度、光照、氣體成分等環(huán)境條件對導致食品腐爛變質(zhì)的酶和微生物等環(huán)境條件對導致食品腐爛變質(zhì)的酶和微生物的活動的影響有無交互作用，對有效控制酶和的活動的影響有無交互作用，對有效控制酶和微生物活動，保持食品質(zhì)量有著重要意義。微生物活動，保持食品質(zhì)量有著重要意義。 兩個因

20、素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用兩個因素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況；的情況； 若兩因素間有交互作用，若兩因素間有交互作用， 則每個水平組合中只設則每個水平組合中只設 一個試驗一個試驗單位單位(觀察單位觀察單位)的試驗設計是不正確的或不完善的。這是因為：的試驗設計是不正確的或不完善的。這是因為：P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110 對兩因素和多因素等重復試驗結果進行對兩因素和多因素等重復試驗結果進行分析，分析， 可以研究因素的可以研究因素的簡單效應、主效應簡單效應、主效應和因素間的交互作用（互作效應

21、）。和因素間的交互作用（互作效應）。三種效應 1 1簡單效應（簡單效應（simple effectsimple effect） 是指在某一因素同一是指在某一因素同一個水平上，比較另一因素不同水平對試驗指標的影響。個水平上，比較另一因素不同水平對試驗指標的影響。三種效應 2 2主效應（主效應（main effectmain effect） 是指某一因素各水平間的是指某一因素各水平間的平均平均差別差別。它與簡單效應的區(qū)別是，主效應指的是某一因素各水平。它與簡單效應的區(qū)別是，主效應指的是某一因素各水平間的平均差別是綜合了另一因素各水平與該因素每一水平所有間的平均差別是綜合了另一因素各水平與該因素每一

22、水平所有組合的情況。組合的情況。三種效應 3. 3. 互作效應（互作效應（interaction effectinteraction effect） 如果某一因素的如果某一因素的各簡單效應隨另一因素的水平變化而變化，而且變化的幅度各簡單效應隨另一因素的水平變化而變化，而且變化的幅度超出隨機波動的程度，則稱兩個因素間存在互作效應。超出隨機波動的程度，則稱兩個因素間存在互作效應。 設設A、B兩因素，兩因素，A因素有因素有a個水平，個水平，B因素因素有有b個水平，共有個水平，共有ab個水平組合，每個水平組個水平組合，每個水平組合有合有n次重復試驗，則全試驗共有次重復試驗，則全試驗共有abn個觀測值個

23、觀測值。試驗結果的數(shù)據(jù)模式如表試驗結果的數(shù)據(jù)模式如表10所示。所示。 兩因素等重復試驗的方差分析兩因素等重復試驗的方差分析表10 兩因素等重復觀測值試驗數(shù)據(jù)模式 A A因素因素B B因素因素Ai i合計合計xi i.B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1jl1jlx x111111x x121121x x1b11b1x x112112x x122122x x1b21b2x x1 1.x x113113x x123123x x1b31b3x x11n11nx x12n12nx x1bn1bnx x1j1j. .x x1111. .x x1212. .x x1b1b. .x x1

24、j1j. .x x1111. .x x1212. .x x1b1b. .A2表表10中中 aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijxxxxxxxx11111111.aibjnlijlainlijljbjnlijlinlijlijabnxxanxxbnxxnxx11111111././././),2, , 1;,2, 1;,2, 1()(nlbjaixijlijjiijljiijjiijij.)()()()(ijji, 0)()()(, 0, 0111111nibjaibjijijijaibjji 3.2.1 離差平方和與自由度分解離差平方和與自由度分解ijleBABAT

25、eBABATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS 若用若用SSAB，dfAB表示表示A、B水平組合間的平水平組合間的平方和與自由度，即方和與自由度，即處理間平方和與自由度處理間平方和與自由度，則，則處理引起的變異可進一步剖分為處理引起的變異可進一步剖分為A因素、因素、B因素因素及及A、B交互作用交互作用三部分，于是三部分，于是SSAB、dfAB可分可分解為：解為： BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSSabnxC/2.12abndfCxSSTijlT，112.abdfCxnSSABijAB，112.adfCxbnSSAiA，112.bdfCxanSSBjB， )1)(1(

26、,badfSSSSSSSSBABAABBA) 1(,nabdfSSSSSSeABTeeeeBABABABBBAAAdfSSMSdfSSMSdfSSMSdfSSMS/,/,/,/FA顯著，應對顯著，應對A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：誤為：bnMSSex/FB顯著，應對顯著，應對B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：誤為： anMSSex/FAB顯著，應對各組合的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：顯著，應對各組合的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為： nMSSex/bnMSSex/

27、2anMSSex/2nMSSex/2配方（配方（A A）食品添加劑（食品添加劑（B B）B1B1B2B2B3B3A1A18 87 76 68 87 75 58 86 66 6A2A29 97 78 89 99 97 78 86 66 6A3A37 78 810107 77 79 96 68 89 9 A因素因素（配方）（配方）有有3個水平，即個水平，即a=3；B因素（因素（食品食品添加劑）有添加劑）有3 3個水平，即個水平，即b=3；共有；共有ab=33=9個水平個水平組合； 每 個 水 平 組 合 重 復 數(shù)組合； 每 個 水 平 組 合 重 復 數(shù) n=3； 全 試 驗 共 有； 全 試

28、驗 共 有=333=27個觀測值。個觀測值。 （ 33.1496)333/(201/22.abnxC67.40C)9988(22222CxSSijlT00.30C)282024(3112222.CxnSSijAB56. 1C)666570(331123. 6C)716961(33112222.2222.CxanSSCxbnSSjBiA21.2256.123.600.30BAABBASSSSSSSS67.1000.3067.40ABTeSSSSSS18) 13(33) 1(4) 13)(13() 1)(1(21312131nabdfbadfbdfadfeBABA813312613331abdfa

29、bndfABT變異來源變異來源 平方和平方和 自由度自由度 均均 方方 F F 值值 顯著性顯著性 A A因素間因素間 6.23 6.23 2 23.12 3.12 5.295.29* *B B因素間因素間 1.56 1.56 2 20.78 0.78 1.321.32AxB AxB 22.21 22.21 4 45.55 5.55 9.419.41* * *誤誤 差差 10.67 10.67 18180.59 0.59 總變異總變異 40.67 40.67 2626 配方配方 因為因為A因素各水平的重復數(shù)為因素各水平的重復數(shù)為bn，故，故A因素各水平因素各水平的標準誤為：的標準誤為： 對本例

30、而言，對本例而言， bnMSSexi/.256. 0) 33/(59. 0.ixS dfedfe秩次距秩次距SSRSSR0.050.05SSRSSR0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.0118182 22.972.974.074.070.76 0.76 1.04 1.04 3 33.123.124.274.270.80 0.80 1.09 1.09 處理處理 均值均值 5%5%顯著水平顯著水平 1%1%極顯著水平極顯著水平 A A3 7.9 7.9 a a A A A A2 7.7 7.7 a a AB AB A A1 6.8 6.8 b b B B 因素因素A

31、主效應分析，結果表明配方主效應分析，結果表明配方A3與與A1之間差異極顯著，之間差異極顯著，A2與與A1差異顯著，差異顯著，A2與與A3差異不顯著。差異不顯著。 因因B因素各水平的重復數(shù)為因素各水平的重復數(shù)為an，故，故B因素各水平的標因素各水平的標準誤為：準誤為：anMSSexj/. 以上所進行的多重比較，實際上是以上所進行的多重比較，實際上是A、B兩因素兩因素主效應的檢驗。若主效應的檢驗。若A、B因素交互作用不顯著，則可因素交互作用不顯著，則可從主效應檢驗中分別選出從主效應檢驗中分別選出A、B因素的最優(yōu)水平，得因素的最優(yōu)水平，得到最優(yōu)水平組合；若到最優(yōu)水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則

32、應因素交互作用顯著，則應進行水平組合平均數(shù)間的多重比較，以進行水平組合平均數(shù)間的多重比較，以 選出最優(yōu)水選出最優(yōu)水平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。 因為水平組合數(shù)通常較大因為水平組合數(shù)通常較大(本例本例ab=44=16)，采用，采用最小顯著極差法進行各水平組合平均數(shù)的比較，計算較最小顯著極差法進行各水平組合平均數(shù)的比較，計算較麻煩。為了簡便起見，常采用麻煩。為了簡便起見，常采用LSD法。法。 因為水平組合的重復數(shù)為因為水平組合的重復數(shù)為n，故水平組合的標準誤，故水平組合的標準誤為：為： 本例本例 nMSSexxji/2.627. 0359. 02/2.nMS

33、Sexxji101. 218,05. 0t878. 218,01. 0t317. 1627. 0101. 216,05. 005. 0 xStLSD806. 1627. 0878. 216,01. 001. 0 xStLSD水平組合水平組合 均值均值 5%5%顯著水平顯著水平 1%1%極顯著水平極顯著水平 A3B39.39.3a a A A A2B18.78.7ab ab AB AB A1B18.08.0abc abc AB AB A3B27.77.7 bc bc ABC ABC A2B27.37.3 bc bc BC BC A2B37.07.0 cd cd BC BC A1B26.76.7

34、cd cd BC BC A3B16.76.7 cd cd BC BC A1B35.75.7 d d C C 分析結果表明，分析結果表明，A3B3，A2B1，A1B1為優(yōu)組合，按此組為優(yōu)組合，按此組合選用配方和添加劑可望得到較好的蛋糕質(zhì)量。合選用配方和添加劑可望得到較好的蛋糕質(zhì)量。 以上的比較結果可以看出，以上的比較結果可以看出，當當A、B因因素的交互作用顯著時，一般不必進行兩個素的交互作用顯著時，一般不必進行兩個因素主效應的顯著性檢驗（因為這時主效因素主效應的顯著性檢驗（因為這時主效應的顯著性在實用意義上并不重要），而應的顯著性在實用意義上并不重要），而直接進行各水平組合平均數(shù)的多重比較，直接進行各水平組合平均數(shù)的多重比較，選出最優(yōu)水平組合。選出最優(yōu)水平組合。 有人設計3個羅非魚品種A1、A2、A3和A4不同蛋白質(zhì)水平餌料B1、B2、B3，每個處理配置兩個魚池進行試驗。試驗期內(nèi)每池的產(chǎn)魚量（kg）如下表。試作方差分析。