自動(dòng)控制原理(第2版)(余成波)_第5章習(xí)題解答 -

1、第5章 頻率特性法教材習(xí)題同步解析5.1 一放大器的傳遞函數(shù)為：G(s)=測得其頻率響應(yīng)，當(dāng)=1rad/s時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比為12/，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位差為/4。求放大系數(shù)K及時(shí)間常數(shù)T。解：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比為，即 穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位差，即當(dāng)=1rad/s時(shí)，聯(lián)立以上方程得T=1，K=12放大器的傳遞函數(shù)為：G(s)=5.2 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)頻率特性的物理意義，求閉環(huán)輸入信號分別為以下信號時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。（1）r（t）=sin（t+30°）；（2）r（t）=2cos（2t45°）；（3）r（t）= sin（t

2、+15°）2cos（2t45°）；解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性為閉環(huán)系統(tǒng)的相頻特性為（1）輸入信號的頻率為，因此有，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出（2）輸入信號的頻率為，因此有，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出（3）由題（1）和題（2）有對于輸入分量1：sin（t+15°），系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出如下對于輸入分量2：2cos（2t45°），系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加定理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)輸出為5.3 繪出下列各傳遞函數(shù)對應(yīng)的幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性。（1） （2） G(s)=10(0.1s±1) （3） （4) （5） （6） （7）解：（1）幅相頻率特性開環(huán)系統(tǒng)

3、是一個(gè)不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)，頻率特性為(a) 幅相頻率特性Im10Rew0w0w¥(b) 對數(shù)頻率特性圖5.1 題5.3（1）系統(tǒng)頻率特性10w/ (rad·s1)L(w)/（dB）20 j(w)/°90450020w/ (rad·s1)1010010180135j2(w)j1(w)相頻特性為相頻特性從180°連續(xù)變化至90°。可以判斷開環(huán)奈氏曲線起點(diǎn)為(10，j0)點(diǎn)，隨w的增加，A1(w)逐漸減小至0，而j1(w)逐漸增加至90°，繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G1(jw)的軌跡，如圖5.1(a)虛線所示，是一個(gè)直徑為10的半圓。而

4、開環(huán)系統(tǒng)則是一個(gè)典型的慣性環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性G2(jw)如圖5.1(a)實(shí)線所示。對數(shù)頻率特性開環(huán)系統(tǒng)與的對數(shù)幅頻特性完全相同，僅對數(shù)相頻特性不同，如圖5.1(b)所示。（2）G(s)=10(0.1s±1)幅相頻率特性開環(huán)系統(tǒng)G1(s)=10(0.1s1)的頻率特性為，其相頻特性為相頻特性從180°連續(xù)變化至90°。其開環(huán)頻率特性G1(jw)的軌跡，如圖5.2(a)虛線所示。(a) 幅相頻率特性Im10Rew0w0w¥(b) 對數(shù)頻率特性圖5.2 題5.3（2）系統(tǒng)頻率特性10w/ (rad·s1)L(w)/（dB）20 j(w)/°

5、;90450020w/ (rad·s1)1010010180135j2(w)j1(w)w¥0而開環(huán)系統(tǒng)G2(s)=10(0.1s+1) 則是一個(gè)典型的一階微分環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性G2(jw)如圖5.2(a)實(shí)線所示。對數(shù)頻率特性同題（1），二者的對數(shù)幅頻特性完全相同，僅對數(shù)相頻特性不同，如圖5.2(b)所示。（3）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式為幅相頻率特性1）系統(tǒng)為型系統(tǒng)，A(0)=，j(0)=90º，低頻特性始于平行于負(fù)虛軸的無窮遠(yuǎn)處。低頻漸近線如下確定：將頻率特性表達(dá)式分母有理化為則低頻漸近線為同時(shí)可知，頻率特性實(shí)部與虛部均<0，故曲線只在第三象限。

6、2）nm=2，則j(¥)=180°，幅相特性沿負(fù)實(shí)軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。(a) 幅相頻率特性Im1Rew0w¥(b) 對數(shù)頻率特性圖5.3 題5.3（3）系統(tǒng)頻率特性w/ (rad·s1)L(w)/（dB）20 j(w)/°90020w/ (rad·s1)1100.12180135401103）此系統(tǒng)無開環(huán)零點(diǎn)，因此在w由0增大到¥過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從90º連續(xù)變化到180°。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針方向連續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。系統(tǒng)的幅相頻率特性G(jw)見圖5.3(

7、a)。對數(shù)頻率特性1）可知系統(tǒng)包含有放大、積分、一階慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率為w T =2 rad·s1。低頻段斜率為20dB/dec，低頻段表達(dá)式為L()=20lg220lg，并通過點(diǎn)L(2)= 0dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率wT后斜率為40dB/dec。2）系統(tǒng)的相頻特性為積分環(huán)節(jié)（90º）與慣性環(huán)節(jié)（0º 90º）相頻特性的疊加，為轉(zhuǎn)折頻率處相位為j(2)=135°，對數(shù)相頻特性曲線對應(yīng)于該點(diǎn)斜對稱。繪制開環(huán)伯德圖L(w)、j(w)，如圖5.3（b）所示。（4）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式為幅相頻率特性1）系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，A(0)=2，j(0)= 0

8、º，開環(huán)奈氏曲線起點(diǎn)為(2，j0)點(diǎn)；nm=2，則j(¥)=180°。隨w的增加，A(w)逐漸單調(diào)連續(xù)減小至0，而j(w)滯后逐漸增加至180°，幅相特性沿負(fù)實(shí)軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。2）將頻率特性表達(dá)式分母有理化為頻率特性虛部均<0，故曲線在第三、第四象限。3）相位有j(w)=90°，因此與虛軸的交點(diǎn)為(a) 幅相頻率特性2Imj0.94Rew0w¥(b) 對數(shù)頻率特性圖5.4 題5.3（4）系統(tǒng)頻率特性2w/ (rad·s1)L(w)/（dB）20 j(w)/°180900020w/ (rad·s1)1

9、100.106 2400此系統(tǒng)無開環(huán)零點(diǎn)，因此在w由0增大到¥過程中，奈氏曲線是平滑的曲線，G(jw)見圖5.4(a)。對數(shù)頻率特性1）可知系統(tǒng)包含有放大、兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率分別為w 1 =1 rad·s1、w 2 =2 rad·s1。系統(tǒng)為0型，低頻段斜率為0dB/dec，低頻段表達(dá)式為L()=20lg2=6dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w1、w 2后斜率分別為20、40dB/dec。2）系統(tǒng)的相頻特性是兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)相頻特性的疊加，為兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處相位分別為j(1)=72°，j(2)=109°。繪制開環(huán)伯德圖L(w)、j(w)，如圖5.4（b）所

10、示。（5）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式為幅相頻率特性1）系統(tǒng)為型系統(tǒng)，A(0)=，j(0)=90º，低頻特性始于平行于負(fù)虛軸的無窮遠(yuǎn)處。低頻漸近線如下確定：(a) 幅相頻率特性(b) 對數(shù)頻率特性圖5.5 題5.3（5）系統(tǒng)頻率特性w/ (rad·s1)L(w)/（dB）20 j(w)/°180020w/ (rad·s1)0.020.20.00290400.020.240 60 20135ImRew0w¥450低頻漸近線為同時(shí)可知，頻率特性實(shí)部、虛部均<0，故曲線只在第三象限。2）nm=1，則j(¥)=90°，幅相

11、特性沿負(fù)虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。3）此系統(tǒng)有開環(huán)零點(diǎn)，因此在w由0增大到¥過程中，特性曲線有凹凸，最后終于原點(diǎn)。系統(tǒng)的幅相頻率特性G(jw)見圖5.5(a)。對數(shù)頻率特性1）系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率分別為w 1 =0.02 rad·s1、w 2=0.2 rad·s1。系統(tǒng)為I型，低頻段斜率為20dB/dec，低頻段表達(dá)式為L()=20lg1020lg，因此L(0.02)=54dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w1、w 2后斜率分別為40 dB/dec、60dB/dec。2）系統(tǒng)的相頻特性為兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)相頻特性的疊加，為兩個(gè)轉(zhuǎn)折頻率處相位分別為，j(0.02)=j(0.2)=129°。系統(tǒng)

12、的對數(shù)頻率特性L(w)、j(w)見圖5.5(b)。（6） 幅相頻率特性1）系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，A(0)=10，j(0)= 0º，開環(huán)奈氏曲線起點(diǎn)為(10，j0)點(diǎn)；nm=3，則j(¥)=270°，幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。2）同上，頻率特性表達(dá)式分母有理化為3）相位有j(w)=90°，因此與虛軸的交點(diǎn)為相位有j(w)=180°，因此與實(shí)軸的交點(diǎn)為此系統(tǒng)無開環(huán)零點(diǎn)，因此在w由0增大到¥過程中，奈氏曲線是平滑的曲線，G(jw)見圖5.6(a)。對數(shù)頻率特性1）系統(tǒng)慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率均為w T =1 rad·s1。系

13、統(tǒng)為0型，低頻段斜率為0dB/dec，低頻段表達(dá)式為L()=20lg10=20dB，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率wT后斜率為60 dB/dec。漸近線上各點(diǎn)坐標(biāo)可以通過坐標(biāo)系直接讀出，也可根據(jù)簡單的計(jì)算求出。例如，點(diǎn)L(2)與L(1)=20dB位于同一條斜線，斜率為60dB/dec，則L(2)的縱坐標(biāo)值滿足求出L(2)=2dB。2）系統(tǒng)的相頻特性為慣性環(huán)節(jié)與二階振蕩環(huán)節(jié)相頻特性的疊加，為轉(zhuǎn)折頻率處相位為j(1)=136°，并有j(2)=209°。系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性L(w)、j(w)見圖5.6(b)。(a) 幅相頻率特性Imj9.43Rew0w¥(b) 對數(shù)頻率特性圖5.6 題5.

14、3（6）系統(tǒng)頻率特性10w/ (rad·s1)L(w)/（dB）20 j(w)/°1809000w/ (rad·s1)1100.106002703.32（7）幅相頻率特性1）延遲環(huán)節(jié)與其他典型環(huán)節(jié)相結(jié)合不影響幅頻特性，但使相頻特性的最大滯后為無窮大。系統(tǒng)頻率特性為2）隨w的增大，此系統(tǒng)幅頻特性A(w)單調(diào)減小，而相位滯后單調(diào)增加，相頻特性j(w)從0°一直變化到負(fù)無窮大。故該系統(tǒng)的奈氏圖是螺旋狀曲線，繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)¥次，最后終止于原點(diǎn)，與實(shí)軸、虛軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，如圖5.7（a）所示。3）與虛軸的第一個(gè)交點(diǎn)為4）與實(shí)軸的第一個(gè)交點(diǎn)為(a) 幅相

15、頻率特性Imj0.42Rew0w¥(b) 對數(shù)頻率特性圖5.7 題5.3（7）系統(tǒng)頻率特性1w/ (rad·s1)L(w)/（dB）j(w)/°1809000w/ (rad·s1)1100.102002701100.1220對數(shù)頻率特性系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性與典型慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性完全一致，但相頻特性滯后無限增加。系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性L(w)、j(w)見圖5.7(b)。5.4 求圖5.8所示的電網(wǎng)絡(luò)的頻率特性表達(dá)式，以及幅頻特性與相頻特性表達(dá)式，并繪制出對數(shù)頻率特性曲線。圖5.8 題5.4圖解：（a）電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為w/ (rad·s1)L(w

16、)/(dB)20lga j(w)/°030600+20（a） （b） 圖5.9 題5.4伯德圖w/ (rad·s1)j(w)/°L(w)/(dB)w/ (rad·s1)w/ (rad·s1)9000-20jmjm頻率特性為 幅頻特性相頻特性伯德圖見圖5.9（a），此電網(wǎng)絡(luò)是系統(tǒng)校正中常用的超前校正裝置（見第六章），呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：1） 轉(zhuǎn)折頻率與之間漸近線斜率為20dB/dec，起微分作用；2）j(w)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都>0，具有相位超前作用，故名超前校正裝置；3）j(w)有超前最大值jm。（b）電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為頻率特性為 幅頻特性相頻特

17、性伯德圖見圖5.9（a），此電網(wǎng)絡(luò)是系統(tǒng)校正中常用的滯后校正裝置（見第六章），呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：1） 轉(zhuǎn)折頻率與之間漸近線斜率為20dB/dec，起積分作用； 2）j(w)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都<0，具有相位滯后作用，故名滯后校正裝置；3）j(w)有滯后最大值jm。5.5 由實(shí)驗(yàn)測得某最小相位系統(tǒng)幅頻特性如下，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表5.1 最小相位系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)w/(rad·s1)0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.01解：1）根據(jù)表5.1，求出與每個(gè)頻率對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出

18、與輸入幅值比的分貝值20lgA，見表5.2。表5.2 最小相位系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)w/(rad·s1)0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.0120lgA19.9819.8219.6819.0818.8715.9914.4910.217.230.924.4320402）已知該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，可直接由幅頻特性曲線求出傳遞函數(shù)，根據(jù)表5.12繪出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻性曲線L(w)，如圖5.10虛線所示。3）根據(jù)求得的L(w)，由0、±20、±40、±0

19、dB/dec斜率的線段近似，求出其漸近線，如圖5.10實(shí)線所示。4）由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K低頻漸近線的表達(dá)式為L(w)=20lgK=20dB，系統(tǒng)為0型，K=10。5）由漸近線的每個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；并由漸近線在轉(zhuǎn)折點(diǎn)斜率的變化量確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)。圖5.10 題5.5控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖14010L(w)/（dB）100060w/ (rad·s1)0.014020202020126060204060330在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減小20dB/dec，則必有慣性環(huán)節(jié)；在轉(zhuǎn)折頻率處，斜率減去40dB/dec，則有振蕩環(huán)節(jié)，阻尼比可由諧振峰值的大小查表

20、求取。由圖5.10，處L(w)的誤差約為6dB，查教材表5.7（振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性最大誤差修正表）可得，»1。因此 ，。 6）綜上，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.6 各系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷下列反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性 （1) （2）解：（1) 令s=jw，得開環(huán)系統(tǒng)頻率特性1）系統(tǒng)為型系統(tǒng)，A(0)=，j(0)=90º，低頻特性始于平行于負(fù)虛軸的無窮遠(yuǎn)處。低頻漸近線如下確定：將頻率特性表達(dá)式分母有理化為則低頻漸近線為同時(shí)可知，頻率特性實(shí)部0，故曲線只在第二與第三象限。2）nm=3，則j(¥)=270°，幅相特性沿正虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。3）此系統(tǒng)無開環(huán)零

21、點(diǎn)，因此在w由0增大到¥過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從90º連續(xù)變化到270°。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時(shí)針方向連續(xù)變化最后終于原點(diǎn)。4）j(w)有180°相位角，故曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)可以由下式確定ImG(jw)=I(w)=解之得交點(diǎn)處頻率w=10，代入實(shí)部I(w)，即可得曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 該系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線見圖5.11(1)。5）曲線始于虛軸的無窮遠(yuǎn)處，與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為（5，j0）。故當(dāng)w由0變到+¥ 時(shí)，開環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針包圍（1，j0）點(diǎn)的次數(shù)為1/2，N=1/2。由于開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)為P

22、=0，故Z = 2N + P=2閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)右極點(diǎn)，閉環(huán)不穩(wěn)定。（1） （2） 圖5.11 題5.6系統(tǒng)幅相頻率特性ww0ImRe5w¥0.0501ww0ImRe101w¥01解：（2）令s=jw，得系統(tǒng)開環(huán)頻率特性該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，P=1，開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性為1）系統(tǒng)為型系統(tǒng)，A(0)=，j(0)=270º，低頻特性始于平行于正虛軸的無窮遠(yuǎn)處。低頻漸近線如下確定：將頻率特性表達(dá)式分母有理化為則低頻漸近線為同時(shí)可知，頻率特性實(shí)部0，故曲線只在第二與第三象限。2）j(¥)=90°，幅相特性沿負(fù)虛軸進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)。3）此系統(tǒng)有開環(huán)零點(diǎn)，因此在

23、w=100附近曲線有凹凸。4）j(w)有180°相位角，故曲線與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)可以由下式確定ImG(jw)=I(w)=解之得交點(diǎn)處頻率w=10，代入實(shí)部I(w)，即可得曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 5）該系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線見圖5.11(2)，與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為（1，j0），說明閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，有位于虛軸上的共軛虛根。若直接采用勞斯判據(jù)，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為閉環(huán)極點(diǎn)為與奈氏判據(jù)的分析一致。5.7 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性如圖5.12所示，判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。圖中P為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)，v為系統(tǒng)的型別。解：（a），故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（b），故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（c），故閉環(huán)系

24、統(tǒng)不穩(wěn)定。（d），在w0附近，曲線以¥為半徑，逆時(shí)針補(bǔ)畫q= 2·90°=180°的圓弧與正實(shí)軸相交。，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（e），在w0附近，曲線以¥為半徑，逆時(shí)針補(bǔ)畫q= 90°的圓弧與正實(shí)軸相交。，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（f），在w0附近，曲線以¥為半徑，逆時(shí)針補(bǔ)畫q= 2·90°=180°的圓弧與正實(shí)軸相交。，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（g），故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（h），故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 圖5.12 題5.7圖5.8 已知最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5.13所示。（1）寫出其傳遞函數(shù)；（2）繪出近似的對

25、數(shù)相頻特性。圖5.13 題5.8圖解：（a）1） 由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K由于低頻段的斜率為0dB/dec，該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。由，求出K=1000。 2）確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié) 第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率w1=1rad·s1，且斜率減小20dB/dec，有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)； 第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率w2=10rad·s1，且斜率減小20dB/dec，有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)； 第三個(gè)轉(zhuǎn)折頻率w3=300 rad·s1，且斜率減小20dB/dec，有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。3）綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4） 繪出近似的對數(shù)相頻特性對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)頻率特性的低頻漸近線斜率為20v

26、dB/dec，相頻特性j(w)|w0=90v°，均與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v有關(guān)；當(dāng)w ¥時(shí)，若nm，高頻漸近線斜率為20（nm）dB/dec的斜線，j(w)|w=90（nm）°。因此，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性有，j(0)=0°，j()=270°。w/ (rad·s1)180900110100300(a)圖5.14 題5.8系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性270j(w)/（°）w/ (rad·s1)180900110100(b)270j(w)/（°）最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性的變化趨勢相同，即若L(w)的斜率減?。ɑ?/p>

27、增大），則j(w)的相位也相應(yīng)地減小（或增大）；如果在某一頻率范圍內(nèi)，對數(shù)幅頻特性L(w)的斜率保持不變，則在這些范圍內(nèi)，相位也幾乎保持不變。因此，系統(tǒng)的相頻特性在每個(gè)慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化，并可直接求取幾個(gè)典型頻率處（如轉(zhuǎn)折頻率）的相位，以提高曲線的準(zhǔn)確性。如果系統(tǒng)有開環(huán)零點(diǎn)，則在相關(guān)轉(zhuǎn)折頻率處特性曲線出現(xiàn)凹凸。轉(zhuǎn)折頻率處相位為：j(1)=51.7°，j(10)=131°，j(300)=223°。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.14(a)。解：（b）1）由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K低頻段的斜率為20dB/dec，該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，v

28、=1。將低頻漸近線延長線上的點(diǎn)L(100)=0，代入低頻漸近線的表達(dá)式L(w)=20lgK20lgw，可以求出K=100。2）確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié) 第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率w1=1rad·s1，且斜率減小20dB/dec，有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)；第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率w2=100rad·s1，且斜率減小20dB/dec，有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)；3）綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4） 繪出近似的對數(shù)相頻特性與題（a）的分析相同，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足，j(0)=90°，j()=270°。轉(zhuǎn)折頻率處相位為：j(1)=135°，j(10)=180°，j(100)=225&

29、#176;。系統(tǒng)的相頻特性在每個(gè)慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.14(b)。解：(c) 1）由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K低頻段的斜率為0dB/dec，該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。由，求出K=10。 2）確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率w1=5rad·s1，且斜率減小40dB/dec，有一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，其時(shí)間常數(shù)為，由，此振蕩環(huán)節(jié)為；第二個(gè)轉(zhuǎn)折頻率w1=80rad·s1，且斜率增加40dB/dec，所以有一個(gè)二階微分環(huán)節(jié)，其時(shí)間常數(shù)為，由，此二階微分為。3）綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4） 繪出近似的對數(shù)相頻特性同上，本開環(huán)

30、系統(tǒng)相頻特性滿足，j(0)=0°，j()= 0°，轉(zhuǎn)折頻率處相位為j(5)=j(80)=91°。系統(tǒng)的相頻特性在每個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.15(c)。圖5.15 題5.8系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性w/ (rad·s1)1800(c)j(w)/（°）w/ (rad·s1)90450110100(d)j(w)/（°）580170解：(d) 1）由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K由于低頻段的斜率為+20dB/dec，該系統(tǒng)有一個(gè)純微分環(huán)節(jié)。低頻漸近線表達(dá)式為L(w)=20lg

31、K+20lgw，將點(diǎn)L(10)=0代入，可求出K=0.1。2）確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率w=100rad·s1，且斜率減小20dB/dec，有一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。3）綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4） 繪出近似的對數(shù)相頻特性同上，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足，j(0)= 90°，j()=0°。系統(tǒng)的相頻特性在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處為j(100)=45°。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.15(d)。5.9 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)的相角裕量，并判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。 （1）（2）解：（1）可知系統(tǒng)包含有放大、積分、兩個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，二階振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)為因此，轉(zhuǎn)折頻率分

32、別為w1=1rad·s1、w2=2 rad·s1。繪制開環(huán)伯德圖如圖5.16所示。低頻段斜率為20dB/dec，并通過點(diǎn)L(1)=20dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w1后斜率為60dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w2后最終斜率為100dB/dec。并有L(2)= L(1)60lg2=2dB開環(huán)傳遞函數(shù)中兩個(gè)振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比分別為1=0.5，2=0.4。由教材表5.7可知，對數(shù)幅頻特性的修正值分別為0dB和2dB，誤差很小，可不必修正，對分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與相對穩(wěn)定性幾乎沒有影響。系統(tǒng)的幅值穿越頻率可以直接從半對數(shù)坐標(biāo)系上讀取，也可根據(jù)漸近線求取，方法如下：求得系統(tǒng)的幅值穿越頻率wc=2.2

33、 rad·s1，代入系統(tǒng)的相頻特性有圖5.16 題5.9(1)控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖901402L(w)/(dB)80102060w/ (rad·s1)0.1j(w)/（°）180w/ (rad·s1)c=2.2100270401201210360450wg200.8直接求解三角函數(shù)，可以求出系統(tǒng)的相角穿越頻率wg，但計(jì)算十分復(fù)雜。實(shí)際上wg也可以從半對數(shù)坐標(biāo)系上讀取，有wg=0.8 rad·s1。將wg代入低頻漸近線表達(dá)式，可求得L(wg)=2020lgwg =21.9dB，系統(tǒng)的幅值裕量為Lh=L(wg)=21.9dB<0因此，閉環(huán)系統(tǒng)

34、不穩(wěn)定。解：（2）可知系統(tǒng)包含有放大、積分、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率分別為w1=0.1 rad·s1、w2=1 rad·s1。繪制開環(huán)伯德圖如圖5.17所示。低頻段斜率為20dB/dec，并通過點(diǎn)L(0.1)=20lgK20lg0.1=60dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w1后斜率為40dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w2后最終斜率為60dB/dec。圖5.17 題5.9(2)控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖900.1401L(w)/（dB）60102040w/ (rad·s1)0.01j(w)/（°）180w/ (rad·s1)c=2.1602704020wg=0.32208

35、00.11100.01可以求得L(1)= L(0.1)40lg1/0.1=20dB，并有系統(tǒng)的幅值穿越頻率wc=2.1 rad·s1，代入系統(tǒng)的相頻特性有相角穿越頻率wg=0.32（rad/s）。將wg代入中頻漸近線表達(dá)式，可求得L(wg)= L(0.1)40lgwg /0.1=40dB系統(tǒng)的幅值裕量為Lh=L(wg)=40dB<0因此，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 5.10 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下（1）當(dāng)K=1時(shí)，求系統(tǒng)的相位裕量；（2）當(dāng)K=10時(shí)，求系統(tǒng)的相位裕量；（3）分析開環(huán)傳遞系數(shù)的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。90圖5.18 題5.10控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖14010L(w)/（

36、dB）1002040w/ (rad·s1)0.1j(w)/（°）180w/ (rad·s1)ca602704020wg201101000.01cbK=1aK=10b3.16解：（1）當(dāng)K=1時(shí)，求系統(tǒng)的相位裕量；繪制開環(huán)伯德圖如圖5.18對數(shù)頻率特性(a)所示。低頻段斜率為20dB/dec，并通過點(diǎn)L(1)=20lgK20lg1=0dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w1=1rad·s1后斜率為40dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w2=10rad·s1后最終斜率為60dB/dec。系統(tǒng)的幅值穿越頻率wc=1 rad·s1，代入系統(tǒng)的相頻特性有相角穿越頻率wg

37、=3.16 rad·s1，可求得系統(tǒng)的幅值裕量為Lh=L(wg)=20dB>0因此，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并具有較好的穩(wěn)定裕量。（2）當(dāng)K=10時(shí)，求系統(tǒng)的相位裕量；繪制開環(huán)伯德圖如圖5.18對數(shù)頻率特性(b)所示。相對于對數(shù)頻率特性(a)，開環(huán)傳遞系數(shù)增加10倍， L(w)曲線上升20dB，相頻特性保持不變。系統(tǒng)的幅值穿越頻率wc=3.16 rad·s1，也是系統(tǒng)的相角穿越頻率，代入系統(tǒng)的相頻特性有系統(tǒng)的幅值裕量為Lh=L(wg)=L(wc)=0dB因此，穩(wěn)定裕量為零，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（3）分析開環(huán)傳遞系數(shù)的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。由以上分析可見，對一結(jié)構(gòu)、參數(shù)給

38、定的最小相位系統(tǒng)，當(dāng)開環(huán)傳遞系數(shù)增加時(shí)，由于L(w)曲線上升，導(dǎo)致幅值穿越頻率wc右移，從而使得相位裕量與幅值裕量都下降，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。90圖5.19 題5.11控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖14010L(w)/（dB）1002040w/ (rad·s1)0.1j(w)/（°）180w/ (rad·s1)c2704020201101000.015.11 某延遲系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)所允許的最大延遲時(shí)間tmax。解：繪制最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，如圖5.19所示，系統(tǒng)的幅值穿越頻率wc=1 rad·s1。延遲環(huán)節(jié)不影響系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，但使相頻

39、特性隨增加而滯后無限增加，延遲環(huán)節(jié)導(dǎo)致的相位滯后對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利?？紤]到延遲環(huán)節(jié)的滯后作用，系統(tǒng)在wc=1 rad·s1處的相位裕量為當(dāng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)，有因此，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)所允許的最大延遲時(shí)間tmax為 注：在MATLAB中，可建立滯后系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型sys，并直接利用bode(sys)和nyquist(sys)繪制滯后系統(tǒng)的伯德圖和奈氏圖。指令如下：sys=tf(num,den,'inputdelay',a) 其中，num定義為系統(tǒng)連續(xù)部分的分子多項(xiàng)式，den為系統(tǒng)連續(xù)部分的分母多項(xiàng)式，a定義為延遲環(huán)節(jié)的滯后時(shí)間。 也可建立系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型：sys=zpk(z,p

40、,k, inputdelay,a) z、p、k分別為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)傳遞系數(shù)。5.12 某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5.20所示，試按照開環(huán)頻域指標(biāo)和wc之值估算閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)%和ts。 圖5.20 題5.12圖解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制開環(huán)伯德圖如圖5.21所示。低頻段斜率為20dB/dec，并通過點(diǎn)L(0.1)=52dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w1=0.125 rad·s1后斜率為40dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w2=1rad·s1后斜率為20dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率w3=20rad·s1后斜率為40dB/dec。圖5.21 題5.12控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖0.1401

41、L(w)/（dB）102040w/ (rad·s1)0.01c=44020202052602040120.125L(1)= L(0.1)40lg1/0.1=12dB并有可求得系統(tǒng)的幅值穿越頻率wc=4 rad·s1，代入系統(tǒng)的相頻特性有高階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)（、wc）與時(shí)域指標(biāo)（%，ts）之間的對應(yīng)關(guān)系比較復(fù)雜，通常采用經(jīng)驗(yàn)公式來近似。1）高階系統(tǒng)的超調(diào)量與相位裕量的關(guān)系通常用下述近似公式估算：2）高階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間與相位裕量的關(guān)系通常用下述近似公式估算以上估算公式是在比較嚴(yán)格的情況下推導(dǎo)的，實(shí)際值往往更理想。通過MATLAB仿真可得，此系統(tǒng)準(zhǔn)確的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：，?？梢姡?/p>

42、利用開環(huán)頻域指標(biāo)和wc估算閉環(huán)高階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)%和ts，是完全滿足工程實(shí)際的。 5.13 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，計(jì)算系統(tǒng)的諧振頻率及諧振峰值，并估算閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)%和ts。（1） （2） 解：（1）方法一：可以先畫出開環(huán)對數(shù)頻率特性L(w)及j(w)，再利用尼柯爾斯圖線繪制系統(tǒng)閉環(huán)對數(shù)頻率特性。 方法二：由于是二階系統(tǒng)，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)伯德圖的繪制規(guī)律，求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，見圖5.22(1)。對于振蕩環(huán)節(jié)，以漸近線代替實(shí)際對數(shù)幅頻特性時(shí)，要特別注意誤差修正。如果z在0.470.7范圍內(nèi)，

43、誤差不大；而當(dāng)z很小時(shí)，要有一個(gè)尖峰糾正。對于=0.25，查教材表5.6修正表，可得轉(zhuǎn)折頻率wT=4rad·s1處最大誤差為6dB。在轉(zhuǎn)折頻率附近的修正曲線見圖5.37虛線，可以明顯地看出振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)了諧振。而且越小，諧振峰值Mr越大，諧振角頻率r越接近于轉(zhuǎn)折頻率wT（無阻尼自然振蕩頻率wn）。已知二階系統(tǒng)諧振頻率wr和諧振峰值Mr(wr)與系統(tǒng)特征量z 之間的關(guān)系為2）閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)%和ts計(jì)算如下二階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間有一一對應(yīng)的關(guān)系，根據(jù)或由教材圖5.70二階系統(tǒng)%、Mr、與的關(guān)系曲線，可直接查得0(1) (2)圖5.22 題5.11控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖440L(

44、w)/（dB）40w/ (rad·s1)0.4j(w)/（°）180w/ (rad·s1)r202040.40220lgM(w)3.4540L(w)/（dB）20w/ (rad·s1)j(w)/（°）0w/ (rad·s1)2202090020lgM(w)203.4525解：（2）同理，由于是二階系統(tǒng)，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率w1=2rad·s1處，漸近線斜率在此增加20dB/dec。二階振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)為根據(jù)伯德圖的繪制規(guī)律，求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，如圖5.

45、22(2)所示。對于振蕩環(huán)節(jié)，由于z=0.890.707，系統(tǒng)不產(chǎn)生諧振，并在轉(zhuǎn)折頻率w2=3.45rad·s1處有約5dB的修正量。 由教材圖3.24，當(dāng)z=0.89時(shí)，系統(tǒng)過渡時(shí)間約為z=0.890.707，系統(tǒng)無振蕩。但系統(tǒng)有閉環(huán)零點(diǎn)z=2，而閉環(huán)零點(diǎn)的作用將使系統(tǒng)響應(yīng)加快，并有超調(diào)，且閉環(huán)零點(diǎn)離閉環(huán)極點(diǎn)越近，影響就越大。本系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為s1,2=-3.11±j1.53，因此閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響較大。通過MATLAB仿真，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為：%=14%，ts=1.16s。5.14 某單位負(fù)反饋的二階型系統(tǒng)，其最大超調(diào)量為16.3%，峰值時(shí)間為11

46、4.6ms。試求其開環(huán)傳遞函數(shù)，并求出閉環(huán)諧振峰值Mr和諧振頻率wr。解二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為對于二階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間有著準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系。1）二階系統(tǒng)與系統(tǒng)平穩(wěn)性之間的關(guān)系系統(tǒng)超調(diào)量%和系統(tǒng)阻尼比之間的關(guān)系為開環(huán)頻域指標(biāo)相位裕量與阻尼比之間的對應(yīng)關(guān)系為=arctan將已知的最大超調(diào)量16.3%代入，可求得 也可由教材圖5.70直接查曲線求得。 2）二階系統(tǒng)wc 、與系統(tǒng)快速性之間的關(guān)系在時(shí)域分析中，已知二階系統(tǒng)峰值時(shí)間ts為 （誤差=5%）因此，有二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為3）諧振峰值Mr(wr)與z 之間的關(guān)系已知二階系統(tǒng)諧振頻率wr和諧振峰值Mr與系統(tǒng)特征量z 之間的關(guān)系為MATLAB實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)M5.1 某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制出系統(tǒng)的Bode圖與nyquist圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：MATLAB程序如下num=100 400;den=conv(conv(conv(1 0,1 0.5),1 50),1 50) %求分母（多項(xiàng)式相乘）s