中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)專項(xiàng)易錯(cuò)題及答案

1、一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA, PB, PC.將 PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°到4 P'CB的位置.設(shè)AB的長(zhǎng)為a, PB的長(zhǎng)為b（b<a）,求 PAB旋轉(zhuǎn)到 P'CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖 中陰影部分）的面積：若 PA=2, PB=4, Z APB=135°,求 PC 的長(zhǎng).11【答案】（1）S 用杉=%2&2）： （2）PC=6.【解析】試題分析：（1）依題意，將4 P'CB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。可與 PAB重合，此時(shí)陰影部分面積二扇 形BAC的面積-扇形BPP，的面積

2、，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90。，可據(jù) 此求出陰影部分的面積.（2）連接PP',根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BP=BP',旋轉(zhuǎn)角N PBP'=90°,則是等腰直角三 角形,Z BP'C=Z BPA=135°, Z PP'C=Z BP'C-Z BP,P=135°-45o=90°,可推出 PP'C 是直角三角 形，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出PC的長(zhǎng).試題解析：（1） 將 PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到4 PZCB的位置，/. PAB二 P'CB,Sa pab=Sa p,cb»nS

3、明彰二S 際秒bac-S 見6bpp；'（a2-b2）；（2）連接PP',根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：4APB之區(qū)CPB月南K1。SP BP=BP'=4, P'C=PA=2, Z PBP'=90°,/. a PBP'是等腰直角三角形，P,P2=PB2+P,B2=32：又，Z BPX=Z BPA=135%Z. Z PP'C=N BP'C-N BP/P=135o-45o=90% 即 PP'C 是直角三角形.PCK'P» + Pd=6.考點(diǎn)：1 .扇形面積的計(jì)算：2,正方形的性質(zhì)：3,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.如圖1,

4、四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG, DE.（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，不必證明； 將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到如圖2情形.請(qǐng) 你通過觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷.（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4）,且AB=a, BC=b, CE=ka> CG=kb （a*b, k>0）,第（1）題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡(jiǎn)要說明理（3）在第（2）題圖4中，連接DG、

5、BE,且"3, b=2, k=',求BE?+DG2的值.2【答案】（1）BG_LDE, BG=DE： BG±DE,證明見解析：（2） BG±DEf證明見解 析：（3） 16.25.【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。即可得到三角形DCE, 從而判斷兩條直線之間的關(guān)系：結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定4BCG2 DCE,從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個(gè)三角形相似，從而可以得到 （1）中的位置關(guān)系仍然成立：（3）連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把BE2+DG?轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬

6、平方和.詳解：（1）BGJ»DE, BG=DE；;四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，BC=DC, CG=CE, Z BCD=Z ECG=90Z. Z BCG=Z DCE,/. BG=DE, NCBG=NCDE,又；Z CBG+Z BHC=90°,. Z CDE+Z DHG=90°,；BG±DE.(2) VAB=a, BC=b, CE=ka, CG=kb,BC CG b IDC- CE *又' Z BCG=Z DCE,?. BCG- DCE,J Z CBG=Z CDE,又Z CBG+Z BHC=90°, Z CDE+Z DHG=90

7、%J BG±DE.(3)連接 BE、DG.根據(jù)題意,得 AB=3, BC=2, CE=L5, CG=1,BGJLDE, Z BCD=Z ECG=90°Z. BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG 2=9+4+2.25+1=16.25.點(diǎn)睛：此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定 理.3.已知:在 ABC中，BC=a, AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3,且N ACB=60。，則CD=: （2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同

8、側(cè)時(shí)，a=b=6,且N ACB=90。，則CD=_； （3）如圖3,當(dāng)NACB變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相應(yīng)的N ACB的度數(shù).【答案】（1） 3尸：（2） 3、否一3“2；）當(dāng)/aCB=120。時(shí)，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】（1）a=b=3,且NACB=60。， ABC是等邊三角形，且CD是等邊三角形的高線的2倍，據(jù) 此即可求解；（2） a=b=6,且NACB=90。， ABC是等腰直角三角形，且CD是邊長(zhǎng)是6的等邊三角形的 高長(zhǎng)與等腰直角三角形的斜邊上的高的差：（3）以點(diǎn)D為中心，將 DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.連接AE.

9、 CE,當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí)，CD有最大值，CD=CE=a+b.【詳解】（1） / a=b=3,且NACB=60°, ABC是等邊三角形，3、尸/. OC= 2 ,/. CD=38： 3歷-3A/2；（3）以點(diǎn)D為中心，將 DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.連接AE, CE,C：.CD=ED, Z CDE=60°, AE=CB=a, CDE為等邊三角形, CE=CD.當(dāng)點(diǎn)E、A、C不在一條直線上時(shí)，有 CD=CE<AE+AC=a+b；當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí)，CD 有最大值，CD=CE=a+b；只有當(dāng)N ACB=120°時(shí)，Z

10、 CAE=180°, 即A、C、E在一條直線上，此時(shí)AE最大 /. Z ACB=120°,因此當(dāng)N ACB=120°時(shí)，CD有最大值是a+b.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確理解CD有最大值的條件, 是解題的關(guān)鍵.4.（1）觀察猜想如圖，在 ABC中,Z BAC=90°, AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作正方形DEFG,使點(diǎn)A, C分別在DG和DE上，連接AE, BG,則線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是 拓展探究將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0。，小于或等于360。），如圖2,則中的結(jié)論是

11、否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng) 說明理由.解決問題若BC=DE=2,在的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，直接寫出AF的值.連接AD. ; ABC是等腰三直角角形，NBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).Z ADB=90% 且 BD=AD.Z BDG = Z ADB-Z ADG = 90°-Z ADG = Z ADE, DG = DE.: & BDG合 ADE, BG=AE7分(3)由(2)知，BG=AE,故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大.正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270。時(shí)，BG最大，如圖.若 BC = DE = 2,則 AD = 1, EF = 2.在 RtA

12、 AEF 中，AF2=AE2+EF2=(AD + DE)2+EF2=(l+2)2+22=13.af=jy【解析】解：(1) BG=AE.(2)成立.如圖，連接AD.ABC是等腰三直角角形，NBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).NADB=90°,且BD=AD.Z BDG = Z ADB-Z ADG = 90°-N ADG = Z ADE, DG = DE. BDG合 & ADE, /. BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大.Z+X+X+K因?yàn)檎叫蜠EFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DG為半徑的 圓，故當(dāng)正方形DE

13、FG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長(zhǎng)線上(即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向 旋轉(zhuǎn)270。)時(shí)，BG最大，如圖.若 BC = DE = 2,則 AD = 1, EF = 2.在 RtA AEF 中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF=JJ即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF=JIJ.A5.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)。（0.0）,點(diǎn)4（5,0）,點(diǎn)5（0,3）.以點(diǎn) 4為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AO3C,得到矩形AOEF，點(diǎn)。，3, C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 D，E, F.（I）如圖，當(dāng)點(diǎn)。落在BC邊上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)：（口）如圖，當(dāng)點(diǎn)0

14、落在線段座上時(shí)，AO與BC交于點(diǎn).求證 AADB g AAO8 ；求點(diǎn)的坐標(biāo).（川）記K為矩形AOBC對(duì)角線的交點(diǎn)，S為KQE的面積，求S的取值范圍（直接 寫出結(jié)果即可）.7【答案】（I）點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,3）.（n）證明見解析；點(diǎn)”的坐標(biāo)為（丁,3）.（m）30-3后ms m 30 + 3g4_ _4,【解析】分析：（I）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AO=5,設(shè)CD=x,在直角三角形ACD中運(yùn)用勾股定理可CD的值，從而可確定D點(diǎn)坐標(biāo)；（）根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判定即可；由知的。= NBAO,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得NCB4 = NQ43 .從而ZBAD = ZCBA,故BH=AH,在RSACH

15、中，運(yùn)用勾股定理可求得AH的值，進(jìn)而求得答案：(m) 3。-3 國(guó) <s<30 +3g4 4詳解：(I) .點(diǎn)4(5,0),點(diǎn)3(0,3),OA = 5， OB = 3.v四邊形AOBC是矩形，AC = OB = 3, BC = OA = 5, ZOBC = ZC = 90°.,1矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的，/. AD = AO = 5.在 RhAOC 中，有 AO?=AC2+oc2,1 DC = AD-AC1 =,5232 =4.BD = BCDC = 1.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,3).(n)由四邊形AOEF"是矩形，得NADE = 90。.又點(diǎn)。在線段

16、跳:上，得NAOB = 90。.由(I)知，AD = AO,又 =ZAOB = 90° ,RmADBRmAOB.由 aADB經(jīng)aAOB,得 ZBAD = 4AO.又在矩形408C中，OA/BC,ZCBA = ZOABABAD = Z.CBABH = AH.設(shè)BH=1,則A" = /, HC = BCBH=5t.在 RlaAHC 中,有人2=4。2+。2,1 *7 7r=32+(5-1.解得f =. BH= .點(diǎn)H的坐標(biāo)為(彳,3).(ID) 3。-3.<5<3。+ 3后44點(diǎn)睛：本大題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等知 識(shí)，靈活運(yùn)用

17、勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵.6.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0：在RSPMN中，Z MPN = 90°.(1)如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)0重合且PMJ_AD、PN_LAB,分別交AD、AB于點(diǎn)E、F,請(qǐng)直 接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系：(2)將圖1中的RS PMN繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a (T<a<45。).如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中(1)中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說 明理由：如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ND0M = 15。時(shí)，連接EF,若正方形的邊長(zhǎng)為2,請(qǐng)直接寫出 線段EF的長(zhǎng)；如圖3,旋轉(zhuǎn)后，若R3 PMN的頂點(diǎn)P在線段0B上移動(dòng)(不與點(diǎn)0、B重合)

18、，當(dāng) BD = 3BP時(shí)，猜想此時(shí)PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明：當(dāng)BD二m-BP時(shí)，請(qǐng)直接寫出 PE與PF的數(shù)量關(guān)系.2收【答案】(1) PE=PF； (2)成立，理由參見解析：3 :PE=2PF,理由參見解 析：PE= (m-1) PF.【解析】試題分析：(1)可利用角平分線性質(zhì)定理得到PE=PF； (2)成立，可用角邊角定理判定AOaaDOE,從而得到PE=PF；要想求出EF的長(zhǎng)，關(guān)鍵要求出OE的長(zhǎng)，由N D0M=15?？傻肗 AEO=45 + 15=60。，作OHJLAD于H,若正方形的邊長(zhǎng)為2,則OH=1, 1 732 平可算出EHK丁，JOE；1, EOF是等腰直角三角形，.JE

19、F即可求出：構(gòu)建相 似三角形，過P點(diǎn)作PHJLAB, PK±AD ,垂足為H、K,則四邊形AHPK為矩形， PHB和 PKD都是等腰直角三角形，是相似的，BD = 3BP, .可算出HP:PK的值，然后通過 FHP4 PKE得到PE與PF的關(guān)系.由前面的思路可得出當(dāng)BD=m-BP時(shí)，BD:PD= (m- 1)： 1, /. PE:PF= (m-1) ： 1,從而確定PE與PF的數(shù)量關(guān)系.試題解析:(1) ,四邊形ABCD是正方形，.NOAF=NOAE=459,又 PMJLAD、PN±AB, /. PE=PF： (2)成立，PE仍等于PF,二四邊形ABCD是正方形，/. Z

20、OAF=Z ODE=452, OA=OD,又丁 N AOF 和D DOE 都是N AOE 的余角,Z AOF=Z DOE, /. AOa DOE (ASA) , /. OE=OF,即 PE=PF；作 OH J«AD 于 H, 由/口01/1=15?？傻?慶£0=45 + 15=609, Z HOE=30°,若正方形的邊長(zhǎng)為2,則OH=1,在RS HEO中，可算出EH=X?3=，.oe=3，; a EOF是等腰直角三角形， 2<3 2.EF=JOE=3x 3 = 3；構(gòu)建相似三角形，過P點(diǎn)作PHJ_AB, PK_LAD,垂足為H、K,則四邊形 AHPK 為矩形

21、，., N PHB=N PKD=90°N PBH=N PDK=45°,PH _ BPPH _ BP 2 PHB- PKD,. FK DP , BD=3BP, .aK DP = 2 ,Z HPF+Z FPK=90°Z KPE+Z FPK=90%. N HPF=N KPE, X'." Z PHF=Z PKE=90°, PF PH j_:, & PHF 4 PKE, ?. PE 產(chǎn)K = 2 ,即 pe="2PF” ；當(dāng) BD二m-BP 時(shí)，BD:PD= (m-1)：1, PHF- PKE, PE:PF=BD:PD= (m-

22、1) ： 1, PE= (m-1) -PF.考點(diǎn)：1.正方形性質(zhì)：2.三角形相似的判定；3.旋轉(zhuǎn)性質(zhì)；4.探索線段的數(shù)量關(guān)系規(guī) 律.7.在正方形ABCD中，M是BC邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)M不與B、C重合，點(diǎn)P在射線AM上，將 線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AQ,連接BP, DQ.（1）依題意補(bǔ)全圖1:（2）連接DP,若點(diǎn)P, Q, D恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2=2AB2； 若點(diǎn)P, Q, C恰好在同一條直線上，則BP與AB的數(shù)量關(guān)系為：【答案】（1）詳見解析：（2）詳見解析：BP=AB.【解析】【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）連接BD,如圖2,只要證明 AD8 ABP,

23、 N DPB=90。即可解決問題；,由推出結(jié)論：BP=AB,如圖3中，連接AC,延長(zhǎng)CD到N,使得DN=CD,連接AN, QN AD8 ABP, AN8 & ACP,推出 DQ=PB, Z AQN=Z APC=45%AQP=45°,N NQC=90。，由 CD二DN,可得 DQ=CD=DN=AB；【詳解】1 線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AQ,AQ=AP, Z QAP=90°,四邊形ABCD是正方形， .AD=AB, N DAB=90°,Z 1=Z 2. . AD8 ABP,，DQ=BP, Z Q=Z 3,/ 在 RtA QAP 中，Z Q+N Q

24、PA=90°, , Z BPD=Z 3+Z QPA=90°,在 RtA BPD 中，DP2+BP2=BD2, 又：DQ=BP, BD2=2AB2,/. DP2+DQZ=2AB2.解：結(jié)論：BP=AB.理由：如圖3中，連接AC,延長(zhǎng)CD到N,使得DN=CD,連接AN, QN. ADg 4 ABP, ANQ ACP,/. DQ=PB, Z AQN=Z APC=45 Z AQP=45% , Z NQC=90",; CD二DN, . DQ=CD=DN=AB, , PB=AB.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助 線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S8.已知NAOB=90。，在N AOB的平分