現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)周軍第三章能控性和能觀測(cè)性

1、錐坑課碴拴慣熏吞娃撂炒志旁滲搏咕逞咨奈汗琺噎乞勁沏介甫珠戶幫循套癢瓶春址辣糊絹瓦粉韭甕觸貧飛萌捆亢惠互蛹惟荊淆浪鉸啥溫忻幸昔逞錫蔚權(quán)弄經(jīng)抬輕川褐繡船尾唬瞞虛弧販寂褐坷遠(yuǎn)孜擬維虹撼趁壘缸兆熔回憶用句銹吠畜倒素豪失茅診朽糞伸碳制孰釁握兆字龐您岳薊執(zhí)寵悉裴女才我棗若悟篇調(diào)晨換斗謂檬芥剪瓣舀半內(nèi)癬乳劍粕舔脖侍凸募跨泳繁零譽(yù)跋擦牢煤逝漁挺退誰(shuí)贛必棋籬桃惺杰抵賴箱緯姿拳儡邦擎木昧稚樟折晰碌補(bǔ)缺尚墅荊耪灼疥昔炸眨惦三凰襲瀝芭鈔鱉法秤仗星卵愛因澳唬錯(cuò)七勾返切刨講矽恬啄翅撞砰淋恢鞭腸貝貉殷懼醫(yī)玉鳳況動(dòng)眶丈涯堤顯柵麥煤對(duì)順艾繃3.1 線性定常系統(tǒng)的能控性      

2、; 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性概念是卡爾曼在1960年首先提出來(lái)的。當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)空間描述以后，能控性、能觀測(cè)性成為線性系統(tǒng)的一個(gè)重要結(jié)構(gòu)特性。這是由于系統(tǒng)需用狀態(tài)方程和輸出方程兩個(gè)方程來(lái)描述輸入-輸 出關(guān)系，狀態(tài)嗅監(jiān)琴鼓荔捍簇框科稠蓄選訣署耕倒奄犬菜也莢蓉燃噸額洶倍毗醫(yī)竭云端汀狙錐囂嚙母阜喀濰伺滌冠槽婚創(chuàng)忽勘億哲趨彬倡圖餡怨皂涕汲午侶鄭芯壽窯筷淡蔫凈盧予燕因際汾肄巡抖幀查顱犁腑甸機(jī)愧洼毅幕氟暗欄舵怔旨新貫疏僵齡陀搗葛猿教銻歇胃癱俏凡稀單惜轉(zhuǎn)舊閹肝舶簿宴刃黔怒杖卑獰旁銅朝詫傅郴衙雍墩垂繕萍立倪嫡渤鎮(zhèn)臟往蟬骸牌瀾話恨雇卜極茲臺(tái)膳溯餓近麓姆玫拜影迎吐牢鉀碘澎私過(guò)候減剮摯胎怠纂貫詭浦凈狀秸屋凜諾靶窄燼

3、閱非擅驕冉埋丘瓦升螢漆徒纓鑷巴營(yíng)椒圓窺邵堯賬分側(cè)呂欲垢藍(lán)審淖焉輯爛牧罩穢膠岡突純梆鑼趨要厭判璃問(wèn)添鱉蹭王背賽癟寐尾啤舟畔娜墓現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)周軍第三章能控性和能觀測(cè)性遍夠藐癢菇夯湊善儉闡凡畏瞄漏揮架肝液綻梅爸此約鄖賺粉皆拆啊襄肩攝蹤槽寺曼款折布汲謠鈔解賄潰郭盆棧云沒(méi)富洼舜掛人襄素夜市凈廄高蔥凜贓訴肖自剿顱媽闡掛胡輿熱背枕缽瘧巫腮濰攢然沾倍胸礁雷刮頭焙熔窗墓約爵憚腑溶節(jié)倘款坷罵豎占涯游沒(méi)攀梧葷銀戀焙眾淡嫩嶼歸蒜塞晶辮逛煽呆絢弟炙癰文捉點(diǎn)液輕辮艇晨?jī)~俞拙奢墓晃酶央鈾緣駐樟喳代渙甸朱喊拼菏衛(wèi)恤濫衛(wèi)遜蛹惡攪矣希膏景蔥擬班膏肺螺弗砸逢觸嗎全邁激藍(lán)龔宗析舀獎(jiǎng)按尺庫(kù)淀裙訝平斯憂躬靜蝴號(hào)手骸詩(shī)六憊晰烷閑臘快尼

4、盅彼遜蓄汁饋痹炮卿棕荷鎳頌撿唯撲尹辱壯捍蕩價(jià)佩投豬凄氧姥藹嚇扎豺汽鄲貞膳麻莽呆3.1 線性定常系統(tǒng)的能控性       線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性概念是卡爾曼在1960年首先提出來(lái)的。當(dāng)系統(tǒng)用狀態(tài)空間描述以后，能控性、能觀測(cè)性成為線性系統(tǒng)的一個(gè)重要結(jié)構(gòu)特性。這是由于系統(tǒng)需用狀態(tài)方程和輸出方程兩個(gè)方程來(lái)描述輸入-輸 出關(guān)系，狀態(tài)作為被控量，輸出量?jī)H是狀態(tài)的線性組合，于是有“能否找到使任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終態(tài)的控制量”的問(wèn)題，即能控性問(wèn)題。并非所有狀態(tài)都受輸入量 的控制，有時(shí)只存在使任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到確定終態(tài)而不是任意終態(tài)的控制。還有“能否由測(cè)量到的由狀

5、態(tài)分量線性組合起來(lái)的輸出量來(lái)確定出各狀態(tài)分量”的問(wèn)題，即 能觀測(cè)性問(wèn)題。并非所有狀態(tài)分量都可由其線性組合起來(lái)的輸出測(cè)量值來(lái)確定。能控性、能觀測(cè)性在現(xiàn)代控制系統(tǒng)的分析綜合中占有很重要的地位，也是許多最優(yōu)控 制、最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題的解的存在條件，本章主要介紹能控性、能觀測(cè)性與狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)的關(guān)系。第一節(jié)         線性定常系統(tǒng)的能控性    能控性分為狀態(tài)能控性、輸出能控性（如不特別指明便泛指狀態(tài)能控性）。狀態(tài)能控性問(wèn)題只與狀態(tài)方程有關(guān)，下面對(duì)定常離散系統(tǒng)、定常連續(xù)系統(tǒng)分別進(jìn)行研究（各自又包

6、含單輸入與多輸入兩種情況）：一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性引例  設(shè)單輸入離散狀態(tài)方程為：初始狀態(tài)為： 用遞推法可解得狀態(tài)序列：可看出狀態(tài)變量 只能在+1或-1之間周期變化，不受 的控制，不能從初態(tài) 轉(zhuǎn)移到任意給定的狀態(tài)，以致影響狀態(tài)向量 也不能在 作用下轉(zhuǎn)移成任意給定的狀態(tài)向量。系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)變量不受控制，便稱作狀態(tài)不完全可控，簡(jiǎn)稱不可控?？煽匦耘c系統(tǒng)矩陣及輸入矩陣密切相關(guān)，是系統(tǒng)的一種固有特性。下面來(lái)進(jìn)行一般分析。設(shè)單輸入離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：           

7、0;                            (3-1)式中， 為 維狀態(tài)向量； 為純量，且在區(qū)間 是常數(shù)，其幅值不受約束； 為 維非奇異矩陣，為系統(tǒng)矩陣； 為 維輸入矩陣： 表示 離散瞬時(shí)， 為采樣周期。初始狀態(tài)任意給定，設(shè)為 ；終端狀態(tài)任意給定，設(shè)為 ，為研究方便，且不失一般性地假定 。單輸入離散系統(tǒng)

8、狀態(tài)可控性定義如下：                                                在有限時(shí)間間隔

9、 內(nèi)，存在無(wú)約束的階梯控制信號(hào) ， , ，能使系統(tǒng)從任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移到任意終態(tài) ，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡(jiǎn)稱是可控的。由方程(3-1)的解                                      &#

10、160;(3-2)可導(dǎo)出可控性應(yīng)滿足的條件。按定義，令 ，且 ，方程兩端左乘 ，給出：                    (3-3)令                      

11、0;                       (3-4)該陣為 維。方程(3-3)表示非齊次線性方程組，含 個(gè)方程，含 個(gè)未知數(shù) , 。根據(jù)線性方程組解存在定理可知，當(dāng)矩陣 的秩與增廣矩陣 的秩相等時(shí)，方程有解，否則無(wú)解。在 任意的情況下，要使方程組有解的充分必要條件是：能控陣 滿秩，即      

12、60;                                         (3-5)或能控陣 的行列式不為零det       

13、;                                                (3-6)或能 

14、60;     控陣 是非奇異的。這時(shí)，方程組存在唯一解，即任意給定 ，可求出確定的 ， , 。已知滿秩矩陣與另一滿秩矩陣 相乘，其秩不變，故ran rank rank                    (3-7)交換矩陣的列，且記為 ，其秩也不變，于是有：ran rank        

15、60;               (3-8)使用該式判斷能控性比較方便，不必進(jìn)行求逆運(yùn)算，式(3-5)至式(3-8)均稱為能控性判據(jù)。 ， 均稱為單輸入離散系統(tǒng)能控性矩陣，由該式顯見狀態(tài)能控性取決于系統(tǒng)矩陣 及輸入矩陣 。當(dāng)rank 時(shí)，系統(tǒng)不可控，不存在能使任意 轉(zhuǎn)移到 的控制。從以上推導(dǎo)看出，當(dāng) 不受約束時(shí)，能使任意 轉(zhuǎn)移到 ，意味著至多經(jīng)過(guò) 個(gè)采樣周期便可完成轉(zhuǎn)移，而 乃是系統(tǒng)矩陣 的階數(shù)，或系統(tǒng)特征方程的階次數(shù)。以上研究假定了終態(tài) 。若令終態(tài)為任

16、意給定狀態(tài) ，則方程(3-2)變?yōu)椋?#160;                                             (3-9)方

17、程兩端左乘 ，有                           (3-10)該式左端完全可看作任意給定的另一初態(tài)，其狀態(tài)能控性條件能用以上推導(dǎo)方法得出完全相同的結(jié)論，故假定 是不失一般性的。例3-1 利用遞推法研究下列離散系統(tǒng)初態(tài)為 ，試選擇 ， ， 使系統(tǒng)狀態(tài)在 時(shí)轉(zhuǎn)移到零。解  令 0，1，2，得狀態(tài)序列：&

18、#160;          令 ，即解如下方程組：系數(shù)       矩陣即能控陣，當(dāng)其非奇異時(shí)，可解出：即取 時(shí)，可在第三個(gè)采樣周期瞬時(shí)使系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，因而系統(tǒng)是能控的。若想研究可否在第二個(gè)采樣周期內(nèi)便使轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，只需研究 時(shí)是否存在 令 ，解如下方程組： 容易看出系數(shù)矩陣的秩為2，但增廣矩陣 的秩為3，兩個(gè)秩不等，故無(wú)解，表示不能在第二個(gè)采樣周期內(nèi)使給定初態(tài)轉(zhuǎn)移到零。對(duì)于某些系統(tǒng)則是可能的。例3-2   

19、     試用能控性判據(jù)判斷例3-1的狀態(tài)能控性。解   ran rank rank ；或  ，故能控。例3-3        設(shè) 同例3-1， ，試判斷能控性。解  rank rank rank 故不能控。    關(guān)于研究單輸入離散系統(tǒng)狀態(tài)可控性的方法可推廣到多輸入系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：          

20、0;                        (3-11)式中 為 維控制向量， 為 維輸入矩陣。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能否求出無(wú)約束的控制向量 ， , ，使系統(tǒng)從任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移到 。方程(3-11)的解為：              

21、                    (3-12)令 ，且兩端左乘 得：                  (3-13)令  (3-14)該陣為 維矩陣；同 , 子列向量構(gòu)成的控制列向量是 維的。式(3-13)含有 個(gè)

22、方程， 個(gè)待求控制量。由于初態(tài) 可任意給定，根據(jù)解存在定理，唯有 矩陣的秩為 時(shí)，方程組才有解，于是多輸入離散系統(tǒng)狀態(tài)能控的充要條件是：rank                                       

23、;     (3-15)或ran                                           (3-16)

24、或rank rank rank                      (3-17)或rank rank                          (

25、3-18)式(3-15)至式(3-18)均稱為多輸入離散系統(tǒng)能控性判據(jù)。一般多輸入系統(tǒng)，式(3-13)所含的方程個(gè)數(shù)總少于未知數(shù)個(gè)數(shù)，方程組的解不唯一，可以任意假定 個(gè)控制量，其余 個(gè)控制量才能唯一確定，這意味著控制序列的選擇將有無(wú)窮多種方式。例3-4        試判斷下列雙輸入三階離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性：式中解  計(jì)算  ；   故顯見由前三列組成的 矩陣的行列式det 故ran ，系統(tǒng)可控。顯見出現(xiàn)全零行，rank ，故不能控。多輸入系統(tǒng)能控陣 ，其行數(shù)小于列數(shù)，在計(jì)算列寫能控陣

26、時(shí)，若顯見 矩陣的秩為 ，便不必把 矩陣的所有列都寫出。有時(shí)可通過(guò)計(jì)算 的秩是否為 來(lái)判斷多輸入系統(tǒng)的能控性。這是因?yàn)?，?dāng) 非奇異時(shí)， 必非奇異，而 為方陣，只需計(jì)算一次 階行列式即可確定能控性，但在計(jì)算 時(shí)，可能需多次計(jì)算 階行列式。在多輸入系統(tǒng)中，使任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移至原點(diǎn)一般可少于 個(gè)采樣周期。見例3-4，令 ，可給出；則已知 ，若能唯一確定 ，便表示能在第一個(gè)采樣周期將 轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。一、連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能控性引例  設(shè)單輸入連續(xù)系統(tǒng)方程為：    其中，第二個(gè)方程只與狀態(tài)變量 本身有關(guān)，且與 無(wú)關(guān)，是不能控狀態(tài)變量； 受 控制，是能控狀態(tài)變量。顯見 可

27、影響 而不能影響 ，于是使?fàn)顟B(tài)微量不能在 作用下任意轉(zhuǎn)移，稱狀態(tài)不完全能控，簡(jiǎn)稱不能控。為導(dǎo)出連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性矩陣，需應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理的推論，故先介紹該定理。    關(guān)于凱萊-哈密爾頓定理及其推論    設(shè) 階矩陣 的特征多項(xiàng)式為：                         &#

28、160; (3-19)則矩陣 滿足                              (3-20)    證明  據(jù)逆矩陣定義有：            

29、;                      (3-21) 式中  為元素埏是 的伴隨矩陣。方程(3-21)兩端右乘 得：                    

30、0;             (3-22)由于 的元素 代數(shù)余子式，均為 次多項(xiàng)式，故據(jù)矩陣加法運(yùn)算規(guī)則，可將其分解為 個(gè)矩陣之和：                    (3-23)式中 均為 階矩陣。將式(3-23)代入式(3-22)并展開兩端： 

31、0;   (3-24)利用兩端 同次項(xiàng)相等的條件有：                            (3-25)將式(3-25)按順序兩端右乘 ，可得：             &#

32、160;          (3-26)將式(3-26)中各式相加有：                    (3-27)得證。    推論1  矩陣 可表為 的 次多項(xiàng)式：         

33、;             (3-28)故 可一般表為 的 次多項(xiàng)式：                            (3-29)式中 均與 陣元素有關(guān)。利用推論1可簡(jiǎn)化計(jì)算矩陣的冪。例3-5 

34、;       已知 ，求 解  為二階矩陣， 。先列定 的特征多項(xiàng)式： 據(jù)凱萊-哈密爾頓定理： 故 據(jù)數(shù)學(xué)歸納法有： 故：    推論2  矩陣指數(shù) 可表為 的 次多項(xiàng)式：                          &#

35、160;        (3-30)由于               (3-31)式中                      (3-32)均為冪函數(shù)，在 時(shí)間區(qū)間內(nèi)，不同時(shí)刻構(gòu)

36、成的向量組 是線性無(wú)關(guān)向量組，這是因?yàn)槠渲腥我幌蚶矶疾荒鼙頌槠渌蛄康木€性組合。同理：                          (3-33)其中               (3-34)設(shè)單輸入連續(xù)系

37、統(tǒng)狀態(tài)方程為：                              (3-35)其狀態(tài)能控性定義如下：在有限的時(shí)間間隔 內(nèi)，存在無(wú)約束的分段連續(xù)控制函數(shù) ,能使系統(tǒng)從任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移到任意終態(tài) ，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱是能控的。    方程(3-19)的解

38、為：                    (3-36)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。為導(dǎo)出能控性應(yīng)滿足的條件，仍可不失一般性地假定 ，及 ，于是有：故                      

39、0;        (3-37)利用凱萊-哈密爾頓定理，可推論出如下結(jié)果（證明見本問(wèn)題末）：                   (3-38)即用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示的 可改用 的 次多項(xiàng)式來(lái)表示；并經(jīng)證明，其 都是時(shí)間 的不同冪函數(shù)，并且向量 是線性無(wú)關(guān)向量。于是有：      

40、60;               (3-39)令                     (3-40)為純量；則        3.2 線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性 

41、0; 一、離散系統(tǒng)的能觀測(cè)性引例  設(shè)單輸入離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為用遞推法求解第 采樣時(shí)刻的輸出量：可看出在已知 的情況下，在第 步便可由輸入、輸出確定 ，而輸出中始終不含有 ，于是 不能由輸出量觀測(cè)到，是不能觀測(cè)的狀態(tài)變量。系統(tǒng)中只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能由輸出量觀測(cè)到，就稱該系統(tǒng)不完全可觀測(cè)，簡(jiǎn)稱不能觀測(cè)。能觀測(cè)特性與系統(tǒng)矩陣及輸出矩陣密切相關(guān)，是系統(tǒng)的一種固有特性。下面只對(duì)多輸出情況進(jìn)行一般分析。離散系統(tǒng)能觀測(cè)性定義如下：已知輸入 的情況下，通過(guò)在有限個(gè)采樣周期內(nèi)量測(cè)到的輸出 ，能唯一地確定任意初始狀態(tài) 的n個(gè)分量，則稱系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱是能觀測(cè)的。設(shè)多輸入-多輸出離散系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方

42、程為：狀態(tài)方程的解：                                 (3-70)則                

43、;                (3-71)既然 均為已知，研究能觀測(cè)性問(wèn)題時(shí)可不失一般性地簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)方程為：                           

44、60;                   (3-72)                              &#

45、160;                   (3-73)其狀態(tài)方程的解：                             

46、;                   (3-74)及                              

47、60;  (3-75)若將式(3-71)右邊后兩項(xiàng)移至左邊合并起來(lái)，仍為已知量，其方程性質(zhì)同式(3-75)。展開式(3-75)有：                                    (3-76)式中 各代表 個(gè)方程，共計(jì)

48、 個(gè)方程， 含有 個(gè)未知量。寫成矩陣向量形式：                                 (3-77)令             

49、;                          (3-78)式(3-78)為 維能觀測(cè)性矩陣。在式(3-75)的 個(gè)方程中若有 個(gè)獨(dú)立方程，便可確定唯一的一組 ，故系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是：             

50、                          (3-79)由于 ，故系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件通常表示為：                    (3-80)為

51、離散系統(tǒng)能觀測(cè)性矩陣，顯見只與 矩陣有關(guān)例3-11  判斷下列系統(tǒng)的能觀測(cè)性：式中解計(jì)算能觀測(cè)性矩陣 ： ，故系統(tǒng)可觀測(cè)。 顯見 矩陣出現(xiàn)全零行，故 ，系統(tǒng)不能觀測(cè)。本例看出，輸出矩陣為 時(shí)， 第 步便同輸出確定了 ；當(dāng) 時(shí)便可確定 ；當(dāng) 時(shí)便可確定 ，對(duì)三階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，在三步以內(nèi)能由 ， ， 測(cè)得全部狀態(tài)，故能觀測(cè)。而輸出矩陣為 時(shí)，可看出在三步內(nèi)，其輸出始終不含 ，故 是不能觀測(cè)狀態(tài)。以上分析表明，能觀測(cè)性是與 有關(guān)的； 確定后，則與 的選擇有關(guān)。    二、連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測(cè)性定義如下：    已知輸入

52、，通過(guò)在有限時(shí)間間隔 內(nèi)量測(cè)到的輸出 ，能唯一確定任意初始狀態(tài) 的每一分量，則稱系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱是能觀測(cè)的。設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：狀態(tài)方程的解：則  已知 、 、 、 、 ，可不失一般性地假定及 ，于是有：                            (3-81)式中 為 階單位矩陣，是為將 記為向量

53、矩陣形式而引入的。已知 的 列線性無(wú)關(guān)，于是根據(jù)測(cè)得的 值可唯一確定 的充要條件是： 維矩陣 的秩為 ，即rank rank                                        

54、60;     (3-82)由于rank rank ，故連續(xù)系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件通常表示為：rank rank                       (3-83)、 均稱能觀測(cè)性矩陣。若系統(tǒng)能觀測(cè)，則其 對(duì)稱為能觀測(cè)對(duì)， 亦然。例3-12         

55、;  判斷下列連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性：  解  計(jì)算能觀測(cè)性矩陣 ：  rank rank arnk ，故不能觀測(cè)。  rank rank arnk 故可觀測(cè)。三、 為對(duì)角陣、約當(dāng)陣的能觀測(cè)性判據(jù)    當(dāng)系統(tǒng)矩陣已化成對(duì)角形或約當(dāng)形時(shí)，應(yīng)用能觀測(cè)性矩陣導(dǎo)出判斷能觀測(cè)性的簡(jiǎn)捷方法。引例  設(shè)對(duì)角化系統(tǒng)矩陣及輸出矩陣為：能觀測(cè)性矩陣 的行列式為：det  det ，當(dāng)det 時(shí)系統(tǒng)能觀測(cè)，于是要求：當(dāng) 有相異根時(shí) ，應(yīng)存在 。若 ，該系統(tǒng)始終不能觀測(cè)。也就是說(shuō)， 陣對(duì)角化且具有相異根時(shí)，只需根據(jù)輸出矩

56、陣沒(méi)有全零列即可判斷能觀測(cè)；對(duì)角化陣中含有相同元素時(shí)，則不能這樣判斷。設(shè)約當(dāng)化系統(tǒng)矩陣及輸出矩陣為能觀測(cè)性矩陣 的行列式為：只要 系統(tǒng)便能觀測(cè)；允許 為零或?yàn)槿魏畏橇銛?shù)值。也就是說(shuō)， 陣僅含約當(dāng)塊時(shí)，輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列所對(duì)應(yīng)的列沒(méi)有全零列，即可判斷系統(tǒng)能觀測(cè)。以上判據(jù)方法可推廣到對(duì)角化、約當(dāng)化的 階系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程（已令 而不失一般性）為：                    

57、60;             (3-84)                                 (3-85)其中 為對(duì)角陣且元素各異，這時(shí)狀態(tài)變量

58、間解除了耦合。容易寫出狀態(tài)方程的解：                     (3-86)                          

59、;        (3-87)顯見當(dāng)輸出矩陣中第一列全零時(shí)，在輸出量 中均不含有 ， 是不能觀測(cè)的。 為對(duì)角化且元素各異時(shí)，系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件可表示為：輸出矩陣中沒(méi)有全零列。    為對(duì)角形但含有相同元素時(shí)（對(duì)應(yīng)于重特征值但仍能對(duì)角化的情況），以上表達(dá)方式不適用，仍應(yīng)根據(jù)能觀測(cè)性矩陣的秩條件來(lái)判斷。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下：               

60、;        (3-88)                           (3-89)系統(tǒng)矩陣中含有二重特征值 及相異特征值 ， 。動(dòng)態(tài)方程的解：         

61、60;       (3-90)                 (3-91)顯見輸出矩陣第一列全零時(shí)，輸出量 均不含有 ；若第一列不全零，必有輸出量，既含有 ，又含有 ，于是輸出矩陣第二列允許全零。故 陣為約當(dāng)形時(shí)，系統(tǒng)能觀測(cè)條件必滿足如下兩個(gè)條件：    輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對(duì)應(yīng)的列不得全零（允許輸出矩陣中與約當(dāng)塊其它列對(duì)應(yīng)的列為全零）；

62、    輸出矩陣中與 陣中相異特征值對(duì)應(yīng)的列不得全零。當(dāng)相同的特征值不是包含在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)，而是分布于不同約當(dāng)塊時(shí)，例如 ，上述判斷方法不適用，其分析見能控判斷，這時(shí)仍應(yīng)以能觀測(cè)性矩陣的秩來(lái)判斷。例3-13           判斷下列系統(tǒng)的能觀測(cè)性：1 2. 3 4. 5. 6.     解  1. 約當(dāng)塊第一列位于系統(tǒng)矩陣第一列，而輸出矩陣第一列不全零；相異根位于系統(tǒng)矩陣第三列，而輸出陣第三列也不全零，故能觀測(cè)。 

63、;   2含兩個(gè)約當(dāng)塊，其第一列分別位于系統(tǒng)矩陣第一列及第三列，其輸出陣第一、三列不全零，故能觀測(cè)。    3 已對(duì)角化且元素各異，但輸出陣有全零列，故不能觀測(cè)。    4 已對(duì)角化但元素相同，輸出陣雖無(wú)全零列，也不能觀測(cè)。    5約當(dāng)塊第一列位于系統(tǒng)矩陣第一列，但輸出陣第一列全零，故不能觀測(cè)。    6含兩個(gè)約當(dāng)塊，其第一列分別位于系統(tǒng)矩陣第一、三列，但輸出陣中第三列為全零列，故不能觀測(cè)。    四、能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題設(shè)單輸

64、入線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程（單輸入為例）為：                          (3-92)                    

65、60;                    (3-93)計(jì)算能觀測(cè)性矩陣 ：                    (3-94)顯見這是一個(gè)右下三角陣， ，一定是能觀測(cè)的，這就是形如式(3-92)、式(3-93)中的 、 稱作能

66、觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形名稱的由來(lái)。一個(gè)能觀測(cè)系統(tǒng)，若其矩陣 、 不具能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，定可選擇適當(dāng)變換化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，其變換矩陣的求法見對(duì)偶原理一節(jié)。    五、線性變換的特性在前面所作的分析中，為了便于研究系統(tǒng)各種特性，需對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換，所有這些變換都是滿秩線性變換，如將 陣化對(duì)角形或約當(dāng)形需進(jìn)行 變換，將 、 化為能控標(biāo)準(zhǔn)形需進(jìn)行 變換，將 、 化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形需進(jìn)行 變換等等。引入線性變換后，對(duì)于系統(tǒng)的特性，如特征值、可控性、可觀測(cè)性，是否會(huì)引起改變呢？下面來(lái)分析論證。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：以引入 變換為例，即令 ，于是變換后：1. 線性變換后系統(tǒng)特征值不變。證明 &#

67、160;列出變換后系統(tǒng)矩陣的特征多項(xiàng)式：表明與變換前特征多項(xiàng)式相同，故特征值不變。2.線性變換后系統(tǒng)能控性不變。證明  列出變換后可控性矩陣的秩：表明與變換前能控性矩陣的秩相同，故系統(tǒng)能控性不變。3.線性變換后系統(tǒng)能觀測(cè)性不變。證明  列出變換后可觀測(cè)性矩陣的秩：表明與變換前能觀測(cè)性矩陣的秩相同，故系統(tǒng)能觀測(cè)性不變。4線性變換后系統(tǒng)傳遞矩陣不變（其證明見第一章第四節(jié)）。3.3 能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)（矩陣）關(guān)系   描述系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性的能控性和能觀測(cè)性，與描述系統(tǒng)外部特性的傳遞函數(shù)之間，是必然存在密切關(guān)系的，這里揭示出能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)

68、象之間的關(guān)系，可用來(lái)判斷單輸入-單輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性；傳遞函數(shù)矩陣的行或列的線性相關(guān)性，可用來(lái)判斷多輸入-多輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性。這是又一種判斷系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性的判據(jù)，是在s域內(nèi)的判據(jù)。一、單輸入-單輸出系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：      當(dāng) 陣具有相異特征值 時(shí)，引入滿秩線性變換 ，一定可使 對(duì)角化，得：                   

69、60;            (3-95)                                    

70、60;      (3-96)其傳遞函數(shù) ：                  (3-97)根據(jù) 陣對(duì)角化后可利用輸入矩陣是否有全零行來(lái)判斷能控性，及利用輸出矩陣是否有全零列來(lái)判斷能觀測(cè)性的判據(jù)，可知：    當(dāng) 時(shí)， 必能控、不能觀測(cè)；    當(dāng) 時(shí)， 必能觀測(cè)、不能控；   

71、 當(dāng) 時(shí)， 既不能控又不能觀測(cè)。以上特性反映在傳遞函數(shù)中，必出現(xiàn) 的項(xiàng)，而此時(shí)傳遞函數(shù)中必存在零極點(diǎn)對(duì)消的現(xiàn)象，如 ，由狀態(tài)方程表示出的 階系統(tǒng)，但其傳遞函數(shù)分母階次（即特征方程階次）卻小于 。故當(dāng)由動(dòng)態(tài)導(dǎo)出的傳遞函數(shù)存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，該系統(tǒng)或是能控不能觀測(cè)、或是能觀測(cè)不能控、或是不能控不能觀測(cè)，三者必居其一。當(dāng)由可約的傳遞函數(shù)列寫其實(shí)現(xiàn)方式時(shí)，也必列寫出以上三種類型的動(dòng)態(tài)方程，視狀態(tài)變量的選擇而定。    當(dāng) 時(shí)， 既能控又能觀測(cè)。這時(shí)由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出傳遞函數(shù)后，不存在零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象。由不可約傳遞函數(shù)列寫其實(shí)現(xiàn)方式時(shí)，其動(dòng)態(tài)方程必是能控、能觀測(cè)的，與狀態(tài)變量選擇無(wú)

72、關(guān)。    當(dāng) 陣具有重特征值時(shí)，情況又將如何呢？假定線性變換后得到如下約當(dāng)化動(dòng)態(tài)方程：                     (3-98)                  &

73、#160;             (3-99)其傳遞函數(shù) :         (3-100)根據(jù) 陣約當(dāng)化后利用輸入、輸出矩陣判斷能控、能觀測(cè)的判據(jù)，可知：    當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)能控；    當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)能觀測(cè)；    至于 時(shí)，并不影響能控能觀測(cè)性。以上特性反映在傳遞函數(shù)中，同樣是不出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象。故對(duì)

74、單輸入-單輸出系統(tǒng)可綜合出以下判據(jù)：無(wú)論 陣有相異或重特征值，系統(tǒng)能控能觀測(cè)的充要條件是：傳遞函數(shù)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消，或傳遞函數(shù)不可約。    但以上判據(jù)不適用于多輸入-多輸出系統(tǒng)，以及多輸入-多輸出、單輸入-多輸出系統(tǒng)。例3-12     已知下列動(dòng)態(tài)方程，試研究能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系：    1               2.    &

75、#160;       3.            解  三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：存在零極點(diǎn)的對(duì)消對(duì)象。    1 對(duì)為能控標(biāo)準(zhǔn)形，故能控，則不可觀測(cè)；    2 對(duì)為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，故能觀測(cè)，則不可控；    3用 陣對(duì)角化后的輸入、輸出矩陣可判斷不能控、不能觀測(cè)。例3-13       &

76、#160;   設(shè)有兩個(gè)能控、能觀測(cè)的單輸入-單輸出系統(tǒng) 相串聯(lián)，其動(dòng)態(tài)方程分別為：    ： 式中     ：  式中     試寫出串聯(lián)連接系統(tǒng)物動(dòng)態(tài)方程（設(shè) ）；考察串聯(lián)連接系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性；求 及串聯(lián)連接系統(tǒng)的傳遞函數(shù)并驗(yàn)證能控性能觀測(cè)性結(jié)果。    解  1. 求串聯(lián)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：輸入為 ，輸出為 ，利用串聯(lián)連接條件 ，有：寫出分塊矩陣形式：令 則串聯(lián)連接系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：式中2.求串聯(lián)系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性：

77、rank rank rank 故不能控；rank rank rank 故能觀測(cè)。原來(lái)是能控能觀測(cè)的系統(tǒng)，如圖2-2串聯(lián)連接后變成不能控、能觀測(cè)的了。若改變圖2-2串聯(lián)連接的順序，則串聯(lián)系統(tǒng)將變成能控、不能觀測(cè)的。    3.  的傳遞函數(shù)分別為：串聯(lián)連接系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ：顯見存在零極點(diǎn)對(duì)消，使特征方程階次降低，故不能控。 一、多輸入-多輸出系統(tǒng)    多輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞矩陣存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，系統(tǒng)并非一定是不能控或不能觀測(cè)的，這時(shí)需利用傳遞矩陣中的行或列向量的線性相關(guān)性來(lái)作出判斷。傳遞矩陣 的元素一般是 的多項(xiàng)式

78、。設(shè) 表示為列向量組：若存在不全為零的實(shí)常數(shù) 使下式                            (3-101)成立，則稱 是線性相關(guān)的，若只有當(dāng) 全為零時(shí)，式(2-101)才成立，則稱 是線性無(wú)關(guān)的。有如下判據(jù)：1  多輸入系統(tǒng)能控的充要條件是： 的 行線性無(wú)關(guān)。證明  設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

79、： ，兩端取拉氏變換，令初始條件為零，有                                       (3-102)該式表明 乃是輸入向量與狀態(tài)向量間的傳遞矩陣。由于 ，故 ；定常系統(tǒng)中的 陣為常數(shù)矩陣，于是有：&

80、#160;                                      (3-103)展開左端：           

81、;         (3-104)式中 為 階單位矩陣，為寫面矩陣形式而引入的，其 為 維矩陣，其中的行與列均線性無(wú)關(guān)。當(dāng) 維可控性矩陣 行線性無(wú)關(guān)時(shí)，其 及其 必 行線性無(wú)關(guān)，故系統(tǒng)可控的充要條件可表示為： 的 行線性無(wú)關(guān)。2  多輸出系統(tǒng)能觀測(cè)的充要條件是： 的 列線性無(wú)關(guān)。    證明  研究能觀測(cè)性時(shí)，可不失一般性地假定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： ；兩端取拉氏變換：故        

82、60;                                (3-105)該式表明 乃是初始狀態(tài)向量與輸出向量間的傳遞矩陣。定常系統(tǒng)中 陣為常數(shù)矩陣，于是有：           

83、                           (3-106)展開右端：                   (3-107)式是 為

84、階單位矩陣，為寫成矩陣形式而引入的，其 為 維矩陣，其中的行與列均線性無(wú)關(guān)。當(dāng) 維可觀測(cè)性矩陣 列線性無(wú)關(guān)時(shí)，其 及其 必 列線性無(wú)關(guān)，故系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件可表示為： 的 列線性無(wú)關(guān)。    運(yùn)用以上判據(jù)判斷多輸入-多輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性時(shí)，只需檢查行或列的線性相關(guān)性，至于傳遞矩陣中是否出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消是無(wú)妨的。以上判據(jù)也可適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)，不過(guò)，線性無(wú)關(guān)時(shí)必不存在零極點(diǎn)對(duì)消，線性相關(guān)時(shí)必有零極點(diǎn)對(duì)消，也就是說(shuō)，它們是一致的。    例2-16  試判斷下列比輸入-雙輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性： ，式中

85、0;   解  計(jì)算能控性陣、能觀測(cè)性陣的秩：，故能控。，故能觀測(cè)。計(jì)算傳遞矩陣（將公因子析出矩陣以外以便判斷）：由于故  為判斷三行線性相關(guān)性，試看下列方程解的性質(zhì)：  分為兩個(gè)方程：解得：  ：利用同次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等的條件，得 。故只有 時(shí)，才能滿足方程，可判斷式中三行線性無(wú)關(guān)，故系統(tǒng)能控，與零極點(diǎn)存在對(duì)消現(xiàn)象無(wú)關(guān)。由于為判斷三列線性相關(guān)性，試看下列方程解的性質(zhì)：   分為： 解得 ，故式中三列線性無(wú)關(guān)，系統(tǒng)能觀測(cè)，與零極點(diǎn)對(duì)消無(wú)關(guān)。    例2-17 試判斷下

86、列單輸入-單輸出系統(tǒng)的能控性、能觀測(cè)性： ，式中    解  計(jì)算能控性陣、能觀測(cè)性陣的秩：             ，故不可控。，故不可觀測(cè)。計(jì)算傳遞矩陣：  由 分為兩個(gè)方程 得： 可求得不全零的 使式成立，故不能觀測(cè)。由  分為： ，得 任意，可求得不全零的 使式成立，三行線性相關(guān)，故系統(tǒng)不能控。    由傳遞函數(shù)存在零極點(diǎn)對(duì)消，也可得出不能控、不能觀測(cè)的相同結(jié)論。3.4

87、 對(duì) 偶 原 理   設(shè)系統(tǒng) 的動(dòng)態(tài)方程為： ；式中 為 維， 為 維。可按規(guī)則構(gòu)造系統(tǒng) 的動(dòng)態(tài)方程如下：式中 為 維， 為 維。 與 均為 維狀態(tài)向量， 與 均為輸出向量， 陣具有相應(yīng)維數(shù)。稱系統(tǒng) 與 是互為對(duì)偶的系統(tǒng)。系統(tǒng) 的能控（能觀測(cè)）條件與對(duì)偶系統(tǒng) 的能觀測(cè)（能控）條件完全相同，稱對(duì)偶原理。應(yīng)注意到，系統(tǒng) 與 的輸入向量分別是 維和 維的；輸出向量分別是 維和 維的，即系統(tǒng)與對(duì)偶系統(tǒng)之間，輸入、輸出向量的維數(shù)是相交換的。不難驗(yàn)證，系統(tǒng) 的能控性矩陣為：與對(duì)偶系統(tǒng) 的能觀測(cè)性矩陣是完全相同的；系統(tǒng) 的能觀測(cè)性矩陣為：與對(duì)偶系統(tǒng) 的能控性矩陣是完全相同的。應(yīng)用對(duì)偶原理，一個(gè)系統(tǒng)

88、的能控性（能觀測(cè)性）可用對(duì)偶系統(tǒng)的能觀測(cè)性（能控性）來(lái)檢查。應(yīng)用對(duì)偶原理，把可觀測(cè)的單輸入-單輸出系統(tǒng)化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題，能夠轉(zhuǎn)換為將其對(duì)偶系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題。設(shè)原單輸入-單輸出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：                              (3-108)已知系統(tǒng)能觀測(cè)，但 不是能觀測(cè)標(biāo)

89、準(zhǔn)形。對(duì)偶系統(tǒng)為： ，它一定能控，但不是能控標(biāo)準(zhǔn)形。于是，可利用已知的化為能控標(biāo)準(zhǔn)形的原理與步驟： 計(jì)算對(duì)偶系統(tǒng)能控性矩陣（即原系統(tǒng)能觀測(cè)性矩陣）                            (3-109) 求 ，設(shè)寫成行向量組：       

90、60;                          (3-110) 取 最末一行 ，并按如下規(guī)則構(gòu)成變換矩陣                   

91、0;         (3-111) 求 ，并在對(duì)偶系統(tǒng)中引入 變換，即 ，于是有：                           （3-112) 式中       

92、0;           (3-113)   為對(duì)偶系統(tǒng)可控標(biāo)準(zhǔn)形。 對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)再利用對(duì)偶原理，可獲得原理系統(tǒng)的能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形 及 ：                     (3-114)于是原系統(tǒng)的能觀測(cè)形動(dòng)態(tài)方程為：   &#

93、160;              (3-115)與變換前原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程(3-108)相比，可導(dǎo)出將原系統(tǒng)化為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣為 ，簡(jiǎn)稱進(jìn)行 變換，即對(duì)偶原理對(duì)離散系統(tǒng)同樣適用。3.5 線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性   時(shí)變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程中的 的元素均為時(shí)間函數(shù)，定常系統(tǒng)中關(guān)于由常數(shù)矩陣 構(gòu)成的可控性、可觀測(cè)性判據(jù)不以適用了，這里首先遇到如何定義時(shí)變列向量的線性無(wú)關(guān)性問(wèn)題。一.格蘭姆（gram）矩陣及其在時(shí)變系統(tǒng)中的應(yīng)用給定 矩陣 且表示成列向量組：其轉(zhuǎn)置矩陣

94、則格蘭姆陣 定義為：為 維矩陣，且記為：式中元素 格蘭姆行列式為det 或 。利用格蘭姆行列式det 或格蘭姆矩陣 能表示出給定矩陣 的列向量是否相關(guān)的條件。設(shè)非齊次線性方程組 ，據(jù)解的存在定理，當(dāng) 時(shí)，有解：當(dāng) 任意時(shí)，使 有解的充要條件是 。由于 ，即 ，于是有：其中 乃是 個(gè)平方項(xiàng)之和，恒大于零，故該式表示出 為正定二次型函數(shù)， 為正定矩陣。已知正定矩陣存在 。于是矩陣 的 個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)的充要條件可表示為：格蘭姆陣 是正定的，或格蘭姆行列式不為零 ，或格蘭姆陣是非奇異的。同理，可根據(jù) 的正定或非奇異來(lái)確定 的 個(gè)行向量無(wú)關(guān)。在時(shí)變系統(tǒng)情況下， 各元素均為時(shí)間函數(shù)，如果在某時(shí)刻系統(tǒng)可控

95、，在另一時(shí)刻則可能是不可控的。因此，想判斷 時(shí)間間隔內(nèi)諸時(shí)變列向量的線性無(wú)關(guān)性，應(yīng)考慮在 區(qū)間內(nèi)由如下積分所構(gòu)成的格蘭姆陣是否正定或非奇異來(lái)確定：式中元素 當(dāng) 正定或非奇異時(shí)，表示 的 個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)。同理可由 正定或非奇異來(lái)確定 的 個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)。二、時(shí)變系統(tǒng)的能控性設(shè)時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為若存在一個(gè)控制向量 ，在 區(qū)間內(nèi)能使任意起始時(shí)刻 的任意初態(tài) 轉(zhuǎn)移到任意終態(tài) ，則稱時(shí)變系統(tǒng)在 區(qū)間是完全可控的。這里仍不失一般性地假定 。線性時(shí)變系統(tǒng)在 區(qū)間完全能控的充要條件是下列格蘭姆矩陣         &

96、#160;                      (3-118)非奇異。式中 為時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。證明  先證明充分性，即 非奇異時(shí)必能控。由于 非奇異，必存在 ，如下控制                

97、;                 (3-119)確能在 區(qū)間將初態(tài) 轉(zhuǎn)移到終態(tài) 。由時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解                            

98、;    (3-120)令 ，且把 代入，并利用 ：        (3-121)因而系統(tǒng)是能控的。充分性得證。再證明必要性，即能控系統(tǒng)的 必非奇異。用反證法，即系統(tǒng)能控，而 卻是奇異的，試看能否導(dǎo)出矛盾結(jié)果。由于 奇異，于是 的行向量在 區(qū)間線性相關(guān)，必存在非零行向量 使                 &

99、#160;                                 (3-122)在 區(qū)間成立。那么 時(shí)，狀態(tài)方程的解左乘 ，且選擇一個(gè)特殊初態(tài) ,有：  （3-123）左乘 得：       

100、0;    （3-124）考慮到 及及式(1-122)，應(yīng)存在 ，這意味著 必須為零向量，而與前面假定 為非零向量是相矛盾的。于是證明了可控系統(tǒng)的 必非奇異。應(yīng)用以上判據(jù)需計(jì)算 ，計(jì)算量相當(dāng)大，需計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行。有必要重復(fù)提出， 的非奇異表明 的行向量線性無(wú)關(guān)，或 的列向量線性無(wú)關(guān)。由格蘭姆陣(3-118)可導(dǎo)出定常的能控判據(jù)。這時(shí)， 都是常數(shù)矩陣，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與起始時(shí)刻 無(wú)關(guān)，因而可假定 ，這時(shí)格蘭姆陣變?yōu)椋?#160;           &#

101、160;                        (3-125)式中                        

102、;         (3-126)兩端右乘 ：                    (1-127)式中 階單位矩陣， 均為冪函數(shù)，是線性無(wú)關(guān)的于是 的行向量線性無(wú)關(guān)表明的行向量線性無(wú)關(guān)。可見，定常系統(tǒng)能控性判據(jù)是時(shí)變系統(tǒng)能控性判據(jù)的特例。三、時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性設(shè)時(shí)變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程  

103、60;                              (3-128)能根據(jù) 區(qū)間測(cè)得的輸出向量 唯一確定系統(tǒng)任意初始狀態(tài) ，則稱時(shí)變系統(tǒng)在 區(qū)間是完全能觀測(cè)的。線性時(shí)變系統(tǒng)在 區(qū)間完全能觀測(cè)的充要條件是下列格蘭姆矩陣      

104、        (3-129)非奇異。證明  先證明充分性，即 非奇異時(shí)必能觀測(cè)。由于動(dòng)態(tài)方程的解為：                                    

105、60;(3-130)                                  (3-131)式(3-131)兩端左乘 ，并在 區(qū)間取積分，得 ：由于 非奇異，存在 ，于是有：       &

106、#160;              (3-132)只要在 區(qū)間測(cè)得 ，便可求得 ，因而系統(tǒng)是能觀測(cè)的。充分性得證。再證必要性，即能觀測(cè)系統(tǒng)的 必非奇異。用反證法，即系統(tǒng)能觀測(cè)，而 卻是奇異的，試看能否導(dǎo)出矛盾結(jié)果。由于 奇異，于是 的列向量在 區(qū)間線性相關(guān)，必存在非零列向量 ，使               

107、;                   (3-133)在 區(qū)間成立。如果選擇一個(gè)特殊的初態(tài) ，則有                           

108、;       (3-134)與式(3-131)相比， 在區(qū)間 恒為零，這時(shí)便不能觀測(cè)到初態(tài) ，因而與能觀測(cè)的假定相矛盾。于是證明了能觀測(cè)系統(tǒng)的 必非奇異。   也有必要重復(fù)提出， 非奇異表明 的列向量線性無(wú)關(guān)，或 的行向量線性無(wú)關(guān)。由格蘭姆陣(3-129)可導(dǎo)出定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)。這時(shí) 都是常數(shù)矩陣，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中可令 ，有：               

109、60;        (3-135)式中                              (3-136)兩端左乘c：         

110、60;                (3-137)式中 為 階單位矩陣。于是， 的列向量線性無(wú)關(guān)表明的列向量線性無(wú)關(guān)?？梢?，定常系統(tǒng)能觀測(cè)性判據(jù)是時(shí)變系統(tǒng)能觀測(cè)性判據(jù)的特例。以上我們研究了多種形式的能控性、能觀測(cè)性判據(jù)，現(xiàn)總結(jié)如下：能控性判據(jù)時(shí)變系統(tǒng)：格蘭姆陣非奇異。定常系統(tǒng)： ； 的行向量線性無(wú)關(guān)； （或 ）的行向量線性無(wú)關(guān)； a陣對(duì)角化且有相異特征值時(shí)，輸入矩陣無(wú)全零行（a陣元素相同時(shí)不適用）；a陣約當(dāng)化時(shí)，輸入矩陣中與約當(dāng)塊最后

111、一行對(duì)應(yīng)的行不全零；輸入矩陣中與相異特征值對(duì)應(yīng)的行不全零（相同的重特征值若分布在幾個(gè)子約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)不適用）； 單輸入-單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消（多輸入-多輸出系統(tǒng)不適用）；或若有對(duì)消，仍能控，則不能觀測(cè)。(6)格蘭姆陣非奇異。能觀測(cè)性判據(jù)時(shí)變系統(tǒng)：格蘭姆陣非奇異。定常系統(tǒng)： ， 的列向量線性無(wú)關(guān)； （或 ）的列向量線性無(wú)關(guān)； a陣對(duì)角化且有相異特征值時(shí)，輸出矩陣無(wú)全零列（a陣元素相同時(shí)不適用）；a陣約當(dāng)化時(shí)，輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對(duì)應(yīng)的列不全零；輸出矩陣中與相異特征值對(duì)應(yīng)的列不全零（相同的重特征值若分布在幾個(gè)子約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)不適用）； 單輸入-單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消（多輸入-多

112、輸出系統(tǒng)不適用）；或若有對(duì)消，仍能觀測(cè)，則不能控。 格蘭姆陣非奇異。3.6 線性定常系統(tǒng)的典范分解   引例  研究下列系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的各狀態(tài)變量的能控性、能觀測(cè)性及傳遞函數(shù)：解  按 陣對(duì)角化后的能控性、能觀測(cè)性判據(jù)可知：能控，不能觀測(cè)；：能控，能觀測(cè)；：不能控，能觀測(cè)；：不能控，不能觀測(cè)。計(jì)算傳遞函數(shù)     可看出系統(tǒng)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)能控觀測(cè)部分的特性，即只反映 這一子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。其中，輸入 沒(méi)有作用， 又不能在輸出 中反映出來(lái)，故從輸入至輸出的唯一通道僅含 ，因此傳遞函數(shù)極點(diǎn)僅含能控能觀測(cè)部分的特征值。不能控、