高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修22

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理(難點(diǎn)、易混點(diǎn))2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題(重點(diǎn)、難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法思考：數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?提示不一定如證明n邊形的內(nèi)角和為(n2)·180°，第一個(gè)值n03.2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法()(2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1

2、.()(3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可()答案(1)×(2)×(3)2下面四個(gè)判斷中，正確的是()a式子1kk2kn(nn*)中，當(dāng)n1時(shí)，式子的值為1b式子1kk2kn1(nn*)中，當(dāng)n1時(shí)，式子的值為1kc式子1(nn*)中，當(dāng)n1時(shí)，式子的值為1d設(shè)f(n)(nn*)，則f(k1)f(k)ca中，n1時(shí)，式子1k；b中，n1時(shí)，式子1；c中，n1時(shí)，式子1；d中，f(k1)f(k).故正確的是c.3如果命題p(n)對所有正偶數(shù)n都成立，則用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，先驗(yàn)證n_成立. 【導(dǎo)學(xué)號：31062162】答案24已知sn，則s1_，s2_，s3_，s4_，猜想sn_

3、.解析分別將1,2,3,4代入得s1， s2，s3，s4，觀察猜想得sn.答案合 作 探 究·攻 重 難用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)·(n2)··(nn)2n×1×3××(2n1)(nn*)，“從k到k1”左端增乘的代數(shù)式為_. 【導(dǎo)學(xué)號：31062163】(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nn*)解析(1)令f(n)(n1)(n2)(nn)，則f(k)(k1) (k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1)答案2(2k1)(2)證明： 當(dāng)n1時(shí)，成立假設(shè)當(dāng)

4、nk(nn*)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)nk1時(shí)，即當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由可得對于任意的nn*等式都成立規(guī)律方法用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)：(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況；(2)弄清從nk到nk1等式兩端增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng)；(3)證明nk1時(shí)結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝nk1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.跟蹤訓(xùn)練1求證：1 (nn*)證明當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，所以等式成立假設(shè)nk(kn*)時(shí)， 1成立那么當(dāng)nk1時(shí)，1，所以nk1時(shí)，等式也成立綜上所述，對于任何nn*，等式都成立.歸納猜想證明已知數(shù)列，計(jì)算s1，s2，s3，s4，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜

5、想sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明. 【導(dǎo)學(xué)號：31062164】 解s1 ；s2 ；s3 ；s4 .可以看出，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n1.于是可以猜想sn .下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊s1 ，右邊 ，猜想成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)猜想成立，即 ，當(dāng)nk1時(shí)， ，所以，當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對任何nn*都成立規(guī)律方法(1)“歸納猜想證明”的一般環(huán)節(jié)(2)“歸納猜想證明”的主要題型已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在給出一

6、些簡單的命題(n1,2,3，)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題跟蹤訓(xùn)練2數(shù)列an滿足sn2nan(sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和)，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，再猜想an，并證明. 【導(dǎo)學(xué)號：31062165】解由a12a1，得a11；由a1a22× 2a2，得a2 ；由a1a2a32× 3a3，得a3 ；由a1a2a3a42× 4a4，得a4 .猜想an .下面證明猜想正確：(1)當(dāng)n1時(shí)，由上面的計(jì)算可知猜想成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)猜想成立，則有ak ，當(dāng)nk1時(shí)，skak12(k1)ak1，ak1k1 (2k ) ，所以，當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)和(2)可

7、知，an 對任意正整數(shù)n都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式探究問題1你能指出下列三組數(shù)的大小關(guān)系嗎？(1)n，；(2)，；(3)，.提示：(1)<n<；(2)<<；(3)<，<.2結(jié)合探究點(diǎn)1，試給出一些常見的不等式放縮方法？提示：在不等式證明時(shí)，我們可以使分母變大(小)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)值變小(大)如：(1)>2，<2；(2)< (k2), >；(3)<()(k2)用數(shù)學(xué)歸納法證明11n(nn*)思路探究按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明，由nk到nk1的推證過程可應(yīng)用放縮技巧，使問題簡單化證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左式1，右式1，所以1，命題成立(2

8、)假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)，命題成立，即1 1 k，則當(dāng)nk1時(shí)，1 >1 2k· 1 .又1 < k2k· (k1)，即當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)和(2)可知，命題對所有的nn*都成立母題探究：1.(變條件)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<n(nn*，n>1)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊2，左邊<右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，即1<k，則當(dāng)nk1時(shí)，有1<k<kk1，所以，當(dāng)nk1時(shí)不等式成立由(1)和(2)知，對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立2(變條件)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<2(n2)證明(1)當(dāng)n

9、2時(shí)，1<2，命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即1<2.當(dāng)nk1時(shí)，1<2<222.命題成立由(1)和(2)知原不等式在n2時(shí)均成立規(guī)律方法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大一些，方法更靈活些，用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步，即已知f(k)g(k)，求證f(k1)g(k1)時(shí)應(yīng)注意靈活運(yùn)用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法).具體證明過程中要注意以下兩點(diǎn)：(1)先湊假設(shè)，作等價(jià)變換；(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)nk1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論. 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(a1，nn*)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左

10、邊計(jì)算所得的項(xiàng)是() 【導(dǎo)學(xué)號：31062166】a1b1ac1aa2 d1aa2a3c當(dāng)n1時(shí)，左邊1aa111aa2，故c正確2用數(shù)學(xué)歸納法證明123(2n1)(n1)(2n1)時(shí)，從“nk”到“nk1”，左邊需增添的代數(shù)式是()a(2k1)(2k2)b(2k1)(2k1)c(2k2)(2k3)d(2k2)(2k4)c當(dāng)nk時(shí)，左邊是共有2k1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即123(2k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)，左邊共有2k3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k2)(2k3)故選c.3已知f(n)1(nn*)，計(jì)算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推測，當(dāng)n2時(shí)，有_答案f(2n)4用數(shù)學(xué)歸納法證明：.假設(shè)nk時(shí)，不等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_解析從不等式結(jié)構(gòu)看，左邊nk1時(shí)，最后一項(xiàng)為，前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù)，右邊nk1時(shí)，式子為即，不等式為.答案.5用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n2，nn*時(shí)，··. 【導(dǎo)學(xué)號：31062167】證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊，n2時(shí)等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kn*)時(shí)等式成立，即，那么當(dāng)nk1時(shí)，·.當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立根據(jù)(1)和(2)知，對任意n2，nn*，等式都成立6edbc3191f2351dd815