高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法 第2課時(shí) 數(shù)列的通項(xiàng)與遞推公式學(xué)案 新人教A版必修5

1、第2課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)與遞推公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解遞推公式的含義(重點(diǎn)).2.掌握遞推公式的應(yīng)用(難點(diǎn)).3.會(huì)求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)(易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1數(shù)列遞推公式(1)兩個(gè)條件：已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前n項(xiàng))；從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示(2)結(jié)論：具備以上兩個(gè)條件的公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式思考：所有數(shù)列都有遞推公式嗎？提示不一定例如精確到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值排列成一列數(shù)：1,1.4,1.41,1.414，沒有遞推公式2數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an

2、與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系f表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式思考：僅由數(shù)列an的關(guān)系式anan12(n2，nn*)就能確定這個(gè)數(shù)列嗎？提示不能數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項(xiàng)的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始值，那么這個(gè)數(shù)列是不能確定的基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任意一項(xiàng)()(2)有些數(shù)列可能不存在最大項(xiàng)()(3)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法()(4)所有的數(shù)列都有遞推公式()答案(1)(2)(3)(4)×提示：并不是所有的數(shù)列都有遞推公式，如的精確值就沒有遞推公式2符

3、合遞推關(guān)系式anan1的數(shù)列是()a1,2,3,4，b1, ，2,2，c.，2, ，2， d0, ，2,2，b3數(shù)列an中，an1an2an，a12，a25，則a5()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432124】a3 b11c5 d19da3a2a1527，a4a3a27512，a5a4a312719，故選d.4已知a11，an1(n2)，則a5_.a21112，a311，a411，a511.合 作 探 究·攻 重 難由遞推關(guān)系寫出數(shù)列的項(xiàng)已知數(shù)列an中，a11，a22，以后各項(xiàng)由anan1an2(n3)給出(1)寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)通過公式bn構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列bn，寫出數(shù)列bn的前4項(xiàng). 【

4、導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432125】解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故數(shù)列an的前5項(xiàng)依次為a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故bn的前4項(xiàng)依次為b1，b2，b3，b4.規(guī)律方法由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法：(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可.(2)若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式，如an2an11.(3)若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的

5、形式，如an1.跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列an的第1項(xiàng)a11，以后的各項(xiàng)由公式an1給出，試寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故該數(shù)列的前5項(xiàng)為1，.數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的求法已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n1)n，試問數(shù)列an有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)；若沒有，說明理由.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432126】思路探究：an1an等于多少？n為何值時(shí)，an1an>0？an1an<0?解法一：(單調(diào)性法)an1an(n2)n1(n1)·nn·，當(dāng)n<9時(shí)，an1an>0，即an<an1；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即anan1；當(dāng)n>

6、9時(shí)，an1an<0，即an>an1；故a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，所以數(shù)列中有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第9、10項(xiàng)，且a9a10.法二：(最大項(xiàng)法)設(shè)ak是數(shù)列an的最大項(xiàng)則，即，整理得，得9k10，k9或10，即數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a9a10.規(guī)律方法求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的兩種方法：一是利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減情況，再求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；如本題利用差值比較法來探討數(shù)列的單調(diào)性，以此求解最大項(xiàng).二是設(shè)ak是最大項(xiàng)，則有對(duì)任意的kn*且k2都成立，解不等式組即可.跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2

7、5n4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.nn*，n2,3，數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)(2)法一：ann25n42，可知對(duì)稱軸方程為n2.5.又nn*，故n2或3時(shí)，an有最小值，且a2a3，其最小值為225×242.法二：設(shè)第n項(xiàng)最小，由得解這個(gè)不等式組，得2n3，n2或3，a2a3且最小a2a3225×242.由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式探究問題1某劇場(chǎng)有30排座位，從第一排起，往后各排的座位數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，滿足a120，an1an2，你能歸納出數(shù)列an的通項(xiàng)公式嗎？提示：由a1

8、20，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各項(xiàng)歸納可知an20(n1)·22n18.即an2n18(nn*，n30)2對(duì)于任意數(shù)列an，等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立嗎？若數(shù)列an滿足：a11，an1an2，你能求出它的通項(xiàng)an嗎？提示：等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n1.3若數(shù)列an中的各項(xiàng)均不為0，等式a1····an成立嗎？若數(shù)列an滿足：a13，2，則它的通項(xiàng)an是什么？提示

9、：等式a1····an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，將這些式子兩邊分別相乘可得····2·2··2.則2n1，所以an3·2n1(nn*)(1)已知數(shù)列an滿足a11，an1an，nn*，求通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)數(shù)列an中，a11，anan1(n2)，求通項(xiàng)公式an.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432127】思路探究：(1)先將an1an變形為an1an，照此遞推關(guān)系寫出前n項(xiàng)中任意相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，這些式子兩邊分別相加即可求解(2)先將anan1(n2)變形為，按此遞推關(guān)系，寫出

10、所有前后兩項(xiàng)滿足的關(guān)系，兩邊分別相乘即可求解解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana111.an11，an(n2)又n1時(shí)，a11，符合上式，an(nn*)(2)a11，anan1(n2)，an××××××a1××××××1.又n1時(shí)，a11，符合上式，an(nn*)母題探究：1.(變條件)將例題(2)中的條件“a11，anan1(n2)”變?yōu)椤癮12，an13an(nn*)”寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，猜想an并加以證明解由a12，an13

11、an，得：a23a13×2，a33a23×3×232×2，a43a33×32×233×2，a53a43×33×234×2，猜想：an2×3n1，證明如下：由an13an得3.因此可得3，3，3，3.將上面的n1個(gè)式子相乘可得····3n1.即3n1，所以ana1·3n1，又a12，故an2·3n1.2將例題(1)中的條件“a11，an1an，nn*”變?yōu)椤癮1，anan1an1an(n2)”求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解anan1an

12、1an，1.2n1.n1，an.規(guī)律方法由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，若遞推關(guān)系為an1anf(n)或an1g(n)·an，則可以分別通過累加或累乘法求得通項(xiàng)公式，即：(1)累加法：當(dāng)anan1f(n)時(shí)，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通項(xiàng)公式.(2)累乘法：當(dāng)g(n)時(shí)，常用an求通項(xiàng)公式.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1下列四個(gè)命題：如果已知一個(gè)數(shù)列的遞推公式及其首項(xiàng)，那么可以寫出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng)；數(shù)列，的通項(xiàng)公式是an；數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；數(shù)列1，1,1，1，與數(shù)列1,1，1,1，是同一數(shù)列其中真命題的個(gè)數(shù)是()a1b2c3 d4a只有正

13、確中，如已知an2an1an，a11，無法寫出除首項(xiàng)外的其他項(xiàng)中an，中1和1排列的順序不同，即二者不是同一數(shù)列2數(shù)列2,4,6,8,10，的遞推公式是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432128】aanan12(n2) ban2an1(n2)ca12，anan12(n2) da12，an2an1(n2)ca，b中沒有說明某一項(xiàng)，無法遞推，d中a12，a24，a38，不合題意3數(shù)列xn中，若x11，xn11，則x2 018等于()a1 bc. d1bx11，x2，x31，數(shù)列xn的周期為2，x2 018x2.4數(shù)列an中，an，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432129】aa1，a50 ba1，a44ca45，a44 da45，a50can1.當(dāng)n1,44且nn*時(shí)，an單調(diào)遞減，當(dāng)n45，)且nn*時(shí)，an單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，可知(an)maxa45，(an)mina44.5已知數(shù)列an中，a12，an1anln，求an.解(1)由題意得an1anln ，anan1ln (n2)，an1an2ln ，a2a1ln .當(dāng)n2時(shí)，ana1lnln n，an2ln n(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1