高中數學 第二章 數列 2.1 數列的概念與簡單表示法 第2課時 數列的通項與遞推公式學案 新人教A版必修5

1、第2課時數列的通項與遞推公式學習目標：1.理解遞推公式的含義(重點).2.掌握遞推公式的應用(難點).3.會求數列中的最大(小)項(易錯點)自 主 預 習·探 新 知1數列遞推公式(1)兩個條件：已知數列的第1項(或前n項)；從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示(2)結論：具備以上兩個條件的公式叫做這個數列的遞推公式思考：所有數列都有遞推公式嗎？提示不一定例如精確到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值排列成一列數：1,1.4,1.41,1.414，沒有遞推公式2數列遞推公式與通項公式的關系遞推公式通項公式區(qū)別表示an

2、與它的前一項an1(或前幾項)之間的關系f表示an與n之間的關系聯系(1)都是表示數列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通項公式思考：僅由數列an的關系式anan12(n2，nn*)就能確定這個數列嗎？提示不能數列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關系確定的，如果只有遞推關系而無初始值，那么這個數列是不能確定的基礎自測1思考辨析(1)根據通項公式可以求出數列的任意一項()(2)有些數列可能不存在最大項()(3)遞推公式是表示數列的一種方法()(4)所有的數列都有遞推公式()答案(1)(2)(3)(4)×提示：并不是所有的數列都有遞推公式，如的精確值就沒有遞推公式2符

3、合遞推關系式anan1的數列是()a1,2,3,4，b1, ，2,2，c.，2, ，2， d0, ，2,2，b3數列an中，an1an2an，a12，a25，則a5()【導學號：91432124】a3 b11c5 d19da3a2a1527，a4a3a27512，a5a4a312719，故選d.4已知a11，an1(n2)，則a5_.a21112，a311，a411，a511.合 作 探 究·攻 重 難由遞推關系寫出數列的項已知數列an中，a11，a22，以后各項由anan1an2(n3)給出(1)寫出此數列的前5項；(2)通過公式bn構造一個新的數列bn，寫出數列bn的前4項. 【

4、導學號：91432125】解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故數列an的前5項依次為a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故bn的前4項依次為b1，b2，b3，b4.規(guī)律方法由遞推公式寫出數列的項的方法：(1)根據遞推公式寫出數列的前幾項，首先要弄清楚公式中各部分的關系，依次代入計算即可.(2)若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式，如an2an11.(3)若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的

5、形式，如an1.跟蹤訓練1已知數列an的第1項a11，以后的各項由公式an1給出，試寫出這個數列的前5項解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故該數列的前5項為1，.數列的最大(小)項的求法已知數列an的通項公式為an(n1)n，試問數列an有沒有最大項？若有，求最大項；若沒有，說明理由.【導學號：91432126】思路探究：an1an等于多少？n為何值時，an1an>0？an1an<0?解法一：(單調性法)an1an(n2)n1(n1)·nn·，當n<9時，an1an>0，即an<an1；當n9時，an1an0，即anan1；當n>

6、9時，an1an<0，即an>an1；故a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，所以數列中有最大項，最大項為第9、10項，且a9a10.法二：(最大項法)設ak是數列an的最大項則，即，整理得，得9k10，k9或10，即數列an中的最大項為a9a10.規(guī)律方法求數列的最大(小)項的兩種方法：一是利用判斷函數增減性的方法，先判斷數列的增減情況，再求數列的最大項或最小項；如本題利用差值比較法來探討數列的單調性，以此求解最大項.二是設ak是最大項，則有對任意的kn*且k2都成立，解不等式組即可.跟蹤訓練2已知數列an的通項公式為ann2

7、5n4.(1)數列中有多少項是負數？(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.nn*，n2,3，數列中有兩項是負數(2)法一：ann25n42，可知對稱軸方程為n2.5.又nn*，故n2或3時，an有最小值，且a2a3，其最小值為225×242.法二：設第n項最小，由得解這個不等式組，得2n3，n2或3，a2a3且最小a2a3225×242.由遞推公式求數列的通項公式探究問題1某劇場有30排座位，從第一排起，往后各排的座位數構成一個數列an，滿足a120，an1an2，你能歸納出數列an的通項公式嗎？提示：由a1

8、20，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各項歸納可知an20(n1)·22n18.即an2n18(nn*，n30)2對于任意數列an，等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立嗎？若數列an滿足：a11，an1an2，你能求出它的通項an嗎？提示：等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n1.3若數列an中的各項均不為0，等式a1····an成立嗎？若數列an滿足：a13，2，則它的通項an是什么？提示

9、：等式a1····an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，將這些式子兩邊分別相乘可得····2·2··2.則2n1，所以an3·2n1(nn*)(1)已知數列an滿足a11，an1an，nn*，求通項公式an；(2)設數列an中，a11，anan1(n2)，求通項公式an.【導學號：91432127】思路探究：(1)先將an1an變形為an1an，照此遞推關系寫出前n項中任意相鄰兩項間的關系，這些式子兩邊分別相加即可求解(2)先將anan1(n2)變形為，按此遞推關系，寫出

10、所有前后兩項滿足的關系，兩邊分別相乘即可求解解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana111.an11，an(n2)又n1時，a11，符合上式，an(nn*)(2)a11，anan1(n2)，an××××××a1××××××1.又n1時，a11，符合上式，an(nn*)母題探究：1.(變條件)將例題(2)中的條件“a11，anan1(n2)”變?yōu)椤癮12，an13an(nn*)”寫出數列的前5項，猜想an并加以證明解由a12，an13

11、an，得：a23a13×2，a33a23×3×232×2，a43a33×32×233×2，a53a43×33×234×2，猜想：an2×3n1，證明如下：由an13an得3.因此可得3，3，3，3.將上面的n1個式子相乘可得····3n1.即3n1，所以ana1·3n1，又a12，故an2·3n1.2將例題(1)中的條件“a11，an1an，nn*”變?yōu)椤癮1，anan1an1an(n2)”求數列an的通項公式解anan1an

12、1an，1.2n1.n1，an.規(guī)律方法由數列的遞推公式求通項公式時，若遞推關系為an1anf(n)或an1g(n)·an，則可以分別通過累加或累乘法求得通項公式，即：(1)累加法：當anan1f(n)時，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通項公式.(2)累乘法：當g(n)時，常用an求通項公式.當 堂 達 標·固 雙 基1下列四個命題：如果已知一個數列的遞推公式及其首項，那么可以寫出這個數列的任何一項；數列，的通項公式是an；數列的圖象是一群孤立的點；數列1，1,1，1，與數列1,1，1,1，是同一數列其中真命題的個數是()a1b2c3 d4a只有正

13、確中，如已知an2an1an，a11，無法寫出除首項外的其他項中an，中1和1排列的順序不同，即二者不是同一數列2數列2,4,6,8,10，的遞推公式是()【導學號：91432128】aanan12(n2) ban2an1(n2)ca12，anan12(n2) da12，an2an1(n2)ca，b中沒有說明某一項，無法遞推，d中a12，a24，a38，不合題意3數列xn中，若x11，xn11，則x2 018等于()a1 bc. d1bx11，x2，x31，數列xn的周期為2，x2 018x2.4數列an中，an，則該數列前100項中的最大項與最小項分別是()【導學號：91432129】aa1，a50 ba1，a44ca45，a44 da45，a50can1.當n1,44且nn*時，an單調遞減，當n45，)且nn*時，an單調遞減，結合函數f(x)的圖象(圖略)，可知(an)maxa45，(an)mina44.5已知數列an中，a12，an1anln，求an.解(1)由題意得an1anln ，anan1ln (n2)，an1an2ln ，a2a1ln .當n2時，ana1lnln n，an2ln n(n2)當n1時，a1