高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教A版選修22

1、1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會(huì)求導(dǎo)函數(shù)(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程(重點(diǎn))4.正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的切線，并會(huì)求其方程(易混點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義：圖1­1­6如圖1­1­6，對(duì)于割線ppn，當(dāng)點(diǎn)pn趨近于點(diǎn)p時(shí)，割線ppn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線pt稱為點(diǎn)p處的切線(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是切線pt的斜率k，即k f(x0)(3)切線方程：曲線y

2、f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2導(dǎo)函數(shù)對(duì)于函數(shù)yf(x)，當(dāng)xx0時(shí)，f(x0)是一個(gè)確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱為導(dǎo)數(shù))，即f(x)y .思考： f(x0)與f(x)有什么區(qū)別？提示f(x0)是一個(gè)確定的數(shù)，而f(x)是一個(gè)函數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)xx0處切線的斜率()(2)若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，則f(x0)必存在()(3)f(x0)(或y|xx0)是函數(shù)f(x)在點(diǎn)xx0處的函數(shù)值()(4)直線

3、與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)()答案(1)(2)×(3)(4)×2若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程為2xy10，則()af(x0)0bf(x0)0cf(x0)0df(x0)不存在c由題意可知，f(x0)20，故選c.3已知函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)為f(x0)1，則函數(shù)f(x)在x0處切線的傾斜角為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062012】解析設(shè)切線的傾斜角為，則tan f(x0) 1，又0°，180°)，45°.答案45°4若函數(shù)f(x)在點(diǎn)a(1,2)處的導(dǎo)數(shù)是1，那么過點(diǎn)a的切線方程是_解析切線的斜率為k

4、1.點(diǎn) a(1,2)處的切線方程為y2(x1)，即xy30.答案xy30合 作 探 究·攻 重 難導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用(1)已知yf(x)的圖象如圖1­1­7所示，則f(xa)與f(xb)的大小關(guān)系是()圖1­1­7af(xa)f(xb)bf(xa)f(xb)cf(xa)f(xb)d不能確定(2)若曲線yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是xy10，則()aa1，b1ba1，b1ca1，b1da1，b1(1)b(2)a(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f(xa)，f(xb)分別是切線在點(diǎn)a、b處切線的斜率，由圖象可知f(xa)f(xb)(2)由題意，知k

5、y|x0 1，a1.又(0，b)在切線上，b1，故選a.規(guī)律方法1.本例(2)中主要涉及了兩點(diǎn)：f(0)1，f(0)b.2.解答此類問題的關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識(shí)，如直線的方程、直線間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解題.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)曲線yax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a等于() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062013】a1 bcd1a由題意可知，f(1)2.又 (ax2a)2a.故由2a2得a1.2如圖1­1­8，函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)p(2，y)處的切線是l，則f(2)f(2)等于()圖1

6、3;1­8a4b3c2d1d直線l的方程為1，即xy40.又由題意可知f(2)2，f(2)1，f(2)f(2)211.求切點(diǎn)坐標(biāo)過曲線yx2上某點(diǎn)p的切線滿足下列條件，分別求出p點(diǎn)(1) 平行于直線y4x5；(2)垂直于直線2x6y50；(3)與x軸成135°的傾斜角解f(x) 2x，設(shè)p(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)(1)切線與直線y4x5平行，2x04，x02，y04，即p(2,4)是滿足條件的點(diǎn)(2)切線與直線2x6y50垂直，2x0·1，得x0，y0，即p是滿足條件的點(diǎn)(3)切線與x軸成135°的傾斜角，其斜率為1.即2x01，得x0，y0，即p是

7、滿足條件的點(diǎn)規(guī)律方法1.本題關(guān)鍵是由條件得到直線的斜率，從而得知函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x)；(3)求切線的斜率f(x0)；(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0；(5)x0代入f(x)求y0得切點(diǎn)坐標(biāo). 跟蹤訓(xùn)練3已知曲線y2x27在點(diǎn)p處的切線方程為8xy150，求切點(diǎn)p的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062014】解設(shè)切點(diǎn)p(m，n)，切線斜率為k，由y (4x2x)4x，得ky|xm4m.由題意可知4m8，m2.代入y2x27得n1.故所求切點(diǎn)p為(2,1)求曲線的切線方程探究問題

8、1如何求曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線方程？提示：yy0k(xx0)即根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程2曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線與曲線過點(diǎn)(x0，y0)的切線有什么不同？提示：曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線，點(diǎn)(x0，f(x0)一定是切點(diǎn)，只要求出kf(x0)，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可；而曲線f(x)過某點(diǎn)(x0，y0)的切線，給出的點(diǎn)(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點(diǎn)3曲線在某點(diǎn)處的切線是否與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？提示：不一定曲線yf

9、(x)在點(diǎn)p(x0，y0)處的切線l與曲線yf(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，如圖所示已知曲線c：yx3.(1)求曲線c在橫坐標(biāo)為x1的點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線c過點(diǎn)(1,1)的切線方程思路探究(1)(2) 解(1)將x1代入曲線c的方程得y1，切點(diǎn)p(1,1)y|x1 33xx23.ky|x13.曲線在點(diǎn)p(1,1)處的切線方程為y13(x1)，即3xy20.(2)設(shè)切點(diǎn)為q(x0，y0)，由(1)可知y|xx03x，由題意可知kpqy|xx0，即3x，又y0x，所以3x，即2xx010，解得x01或x0.當(dāng)x01時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，相應(yīng)的切線方程為3xy20.當(dāng)x0時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為

10、，相應(yīng)的切線方程為y，即3x4y10.母題探究：1.(變結(jié)論)第(1)小題中的切線與曲線c是否還有其他的公共點(diǎn)？解由解得或從而求得公共點(diǎn)為p(1,1)或m(2，8)，即切線與曲線c的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另一公共點(diǎn)(2，8)2(變條件)求曲線yf(x)x21過點(diǎn)p(1,0)的切線方程解設(shè)切點(diǎn)為q(a，a21)，2ax，當(dāng)x趨于0時(shí)，(2ax)趨于2a，所以所求切線的斜率為2a.因此，2a，解得a1±，所求的切線方程為y(22)x(22)或y(22)x(22)規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法(1)若已知點(diǎn)(x0，y0)在已知曲線上，求在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程，先求出函數(shù)

11、yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程yy0f(x0)(xx0).(2)若點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，求過點(diǎn)(x0，y0)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程. 當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1已知曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為2xy20，則f(1)()a4b4c2d2d由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(1)2，故選d.2下面說法正確的是()a若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處沒有切線b若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，則f(x0)必存在c若f(x0)不存在，則

12、曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率不存在d若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處沒有切線，則f(x0)有可能存在c根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(x0，y0)處有導(dǎo)數(shù)，則切線一定存在，但反之不一定成立，故a，b，d錯(cuò)誤3已知二次函數(shù)yf(x)的圖象如圖1­1­9所示，則yf(x)在a，b兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(a)與f(b)的大小關(guān)系為：f(a)_f(b)(填“”或“”)圖1­1­9解析f(a)與f(b)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)a，b處的切線斜率，由圖象可得f(a)f(b)答案4曲線f(x)在點(diǎn)(2，1)處的切線方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062015】解析f(2) ，切線方程為y1(x2)，即x2y40.答案x2y405已知直線y4xa和曲線yx32x23相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)及a的值解設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)p(x0，y0)，則f(x) 3x24x.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得kf(x0)3x4x04，解得x0或x02，切點(diǎn)坐標(biāo)為或(2,3)當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，有4×a，a.當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有34×2a，a5，因此切點(diǎn)坐標(biāo)為或(2,3)