高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2 等差數(shù)列 第2課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修5

1、第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)).2.能靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d，當(dāng)d0時(shí)，an是一固定常數(shù)；當(dāng)d0時(shí)，an相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)；點(diǎn)(n，an)分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點(diǎn)思考：由上式可得d，d，你能聯(lián)系直線的斜率解釋一下這兩個(gè)式子的幾何意義嗎？提示等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以變形為annd(a1d)，是關(guān)于n的一次函數(shù)，d為斜率，故兩點(diǎn)(1，a1)，(n，an)直線的斜率d，當(dāng)兩點(diǎn)為(n，an)，(m，am)時(shí)有d.2等差數(shù)列的性質(zhì)

2、(1)an是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)m，n，p，q滿足mnpq，則amanapaq.特別地，當(dāng)mn2k(m，n，kn*)時(shí)，aman2ak.對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即a1ana2an1akank1.(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列(3)若an是公差為d的等差數(shù)列，則can(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；can(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；anank(k為常數(shù)，kn*)是公差為2d的等差數(shù)列(4)若an，bn分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列panqbn(p，q是常數(shù))是公差為pd1qd2的等差數(shù)

3、列(5)an的公差為d，則d>0an為遞增數(shù)列；d<0an為遞減數(shù)列；d0an為常數(shù)列思考：若an為等差數(shù)列，且mnp(m，n，pn*)，則amanap一定成立嗎？提示不一定如常數(shù)列an,123，而a1a22a3.基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)若an是等差數(shù)列，則|an|也是等差數(shù)列()(2)若|an|是等差數(shù)列，則an也是等差數(shù)列()(3)若an是等差數(shù)列，則對(duì)任意nn*都有2an1anan2.()(4)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n5，則數(shù)列an的公差與函數(shù)y3x5的圖象的斜率相等()答案(1)×(2)×(3)(4)提示：(1)錯(cuò)誤，如2，1,0,1,2是等差數(shù)列，

4、但其絕對(duì)值就不是等差數(shù)列(2)錯(cuò)誤，如數(shù)列1,2，3,4，5其絕對(duì)值為等差數(shù)列，但其本身不是等差數(shù)列(3)正確，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)可判定對(duì)任意nn*都有2an1anan2成立(4)正確因?yàn)閍n3n5的公差d3，而直線y3x5的斜率也是3.2在等差數(shù)列an中，若a56，a815，則a14_.33由題意得d3.a14a86d151833.3在等差數(shù)列 an中，已知a3a4a5a6a7450，則a2a8_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432150】180因?yàn)閍3a4a5a6a75a5450，所以a590，a2a82a52×90180.4已知等差數(shù)列an中，a7a916，a41，則a12_.15由等差數(shù)列

5、的性質(zhì)得a7a9a4a1216，又a41a1215.合 作 探 究·攻 重 難靈活的設(shè)元解等差數(shù)列已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26，中間兩項(xiàng)的積為40，求這四個(gè)數(shù).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432151】解法一：(設(shè)四個(gè)變量)設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a，b，c，d，根據(jù)題意，得解得或這四個(gè)數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(設(shè)首項(xiàng)與公差)設(shè)此等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，根據(jù)題意，得化簡(jiǎn)，得解得或這四個(gè)數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(靈活設(shè)元)設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a3d，ad，ad，a3d，根據(jù)題意，得化簡(jiǎn)，得解得這四個(gè)數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.規(guī)

6、律方法1當(dāng)已知條件中出現(xiàn)與首項(xiàng)、公差有關(guān)的內(nèi)容時(shí)，可直接設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，利用已知條件建立方程組求出a1和d，即可確定數(shù)列2當(dāng)已知數(shù)列有2n項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此時(shí)公差為2d.3當(dāng)已知數(shù)列有2n1項(xiàng)時(shí)，可設(shè)為and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此時(shí)公差為d.跟蹤訓(xùn)練1已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個(gè)數(shù)解設(shè)第三個(gè)數(shù)為a，公差為d，則這5個(gè)數(shù)分別為a2d，ad，a，ad，a2d.由已知有整理得解得a1，d±.當(dāng)d時(shí)，這5個(gè)分?jǐn)?shù)分別是，1，；當(dāng)d時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別是，1，.綜上，這5個(gè)數(shù)分

7、別是，1，或，1，.等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個(gè)不同的信息圖如圖2­2­1.甲調(diào)查表明：從第1年每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只雞乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年10個(gè) 甲乙圖2­2­1請(qǐng)你根據(jù)提供的信息回答問(wèn)題(1)第2年養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；(2)到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年是擴(kuò)大了還是縮小了？請(qǐng)說(shuō)明理由.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432152】思路探究：解決本題關(guān)鍵是構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列：一個(gè)是每年的養(yǎng)雞只數(shù)的平均值構(gòu)成的數(shù)列，一個(gè)是每年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列解

8、由題圖可知，從第1年到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列，記為an，公差為d1，且a11，a62；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)也成等差數(shù)列，記為bn，公差為d2，且b130，b610；從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列cn，則cnanbn.(1)由a11，a62，得得a21.2；由b130，b610，得得b226.c2a2b21.2×2631.2，即第2年養(yǎng)雞場(chǎng)有26個(gè)，全縣出產(chǎn)雞31.2萬(wàn)只(2)c6a6b62×1020<c1a1b130，到第6年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年縮小了 規(guī)律方法1在實(shí)際問(wèn)題中，若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問(wèn)題，可考慮利用數(shù)列方

9、法解決，若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決2在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵量跟蹤訓(xùn)練2某市出租車(chē)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4 km(不含4 km)計(jì)費(fèi)10元如果某人乘坐該市的出租車(chē)去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付車(chē)費(fèi)_元232根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車(chē)的行程大于或等于4 km時(shí)，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一個(gè)等差數(shù)列an來(lái)計(jì)算車(chē)費(fèi)令a111.2，表示4 km處的車(chē)費(fèi)，公差d1.2，那么當(dāng)出租車(chē)行至14 km處時(shí)，n11，此時(shí)需要支付車(chē)費(fèi)a1111.2(111)×1

10、.223.2(元)等差數(shù)列的性質(zhì)探究問(wèn)題1在等差數(shù)列an中，若an3n1，那么a1a5a2a4嗎？a2a5a3a4成立嗎？由此你能得到什么結(jié)論？該結(jié)論對(duì)任意等差數(shù)列都適用嗎？為什么？提示：由an3n1可知a1a5a2a4與a2a5a3a4均成立，由此有若m，n，p，qn*且mnpq，則amanapaq.對(duì)于任意等差數(shù)列an，設(shè)其公差為d.則amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因mnpq，故amanapaq對(duì)任意等差數(shù)列都適用2在等差數(shù)列an中，如果mn2r，那么aman2ar是否成立？反過(guò)來(lái)呢？提示：若mn2r(m，n

11、，rn*)，則amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d2a1(2r2)·d2a1(r1)d2ar，顯然成立；在等差數(shù)列an中，若aman2ar，不一定有mn2r，如常數(shù)列3已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則：(1)若將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？(3)如果取出數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？提示：(1)、(2)、(3)中所得到的數(shù)列都還是等差數(shù)列，其中(1)中的公差為d，(2)中的公差為2d，(3)

12、中的公差為7d.已知an為等差數(shù)列，a158，a6020，求a75.思路探究：選用哪條性質(zhì)求解更為簡(jiǎn)便？a15，a30，a45，a60，a75成等差數(shù)列嗎？解法一：(利用隔項(xiàng)成等差數(shù)列)因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，a15為首項(xiàng)，則a60為第四項(xiàng)，所以a60a153d，得d4，所以a75a60d24.法二：(利用首項(xiàng)與公差)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a60a1545d，所以20845d，所以d，a75a1560d860×24.母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)本例中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列an中，若a58，a1020”

13、，求a15.解法一：因?yàn)閍5，a10，a15成等差數(shù)列，所以a5a152a10.所以a152a10a52×20832.法二：因?yàn)閍n為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，所以a10a55d，所以2085d，所以d.所以a15a105d205×32.2本例中的條件變?yōu)椤癮n，bn都是等差數(shù)列，若a1b17，a3b321”求a5b5的值解(1)法一：設(shè)數(shù)列an，bn的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212×735.法二：數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，數(shù)

14、列anbn也構(gòu)成等差數(shù)列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2×217a5b5，a5b535.規(guī)律方法等差數(shù)列運(yùn)算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量.(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)，若滿足mnpq2r(m，n，p，q，rn*)，則amanapaq2ar.易錯(cuò)警示：對(duì)于新構(gòu)造的等差數(shù)列，要注意判斷其公差和首項(xiàng).當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1在等差數(shù)列an中，若a3a5a7a9a11100，則3a9a13的值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432153】a20b30c40 d50ca3a11a5a92a7，a3a5a7

15、a9a115a7100，a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.2已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477且ak13，則k_.18a4a7a103a717，a7.又a4a5a13a1411a977，a97.故d.aka9(k9)d13，137(k9)×，k18.3在首項(xiàng)為31，公差為4的等差數(shù)列中，絕對(duì)值最小的項(xiàng)是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432154】1可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an354n.則當(dāng)n8時(shí)an>0；當(dāng)n9時(shí)an<0.又a83，a91.故絕對(duì)值最小的項(xiàng)為a91.4一架飛機(jī)在起飛時(shí)，第一秒滑行了2 m，以后每秒都比前一秒多滑行4 m，又知離地前一秒滑行了58 m，則這架飛機(jī)起飛所用的時(shí)間為_(kāi)秒15飛機(jī)每秒滑行的距離組成等差數(shù)列，記為an，其中a12，d4，an58，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d，得24(n1)58，所以n15(秒)5已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432155】解法一：設(shè)這三個(gè)數(shù)為a，b，c(a<b<c)，則由題意得，解得法二：設(shè)這三