電工基礎(chǔ) 第一節(jié) 復(fù)數(shù)的概念

1、第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念一、虛數(shù)單位一、虛數(shù)單位二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式一、虛數(shù)單位一、虛數(shù)單位求方程求方程欲使方程有解，欲使方程有解， 必須是一個(gè)有意義的數(shù)。必須是一個(gè)有意義的數(shù)。 012x的根。的根。12x得得可知在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程無解?？芍趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)方程無解。1x1一、虛數(shù)單位一、虛數(shù)單位 圖圖 9-1在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 參見圖參見圖 9-1 給出的直角坐標(biāo)系復(fù)數(shù)平面。在這個(gè)復(fù)數(shù)平面給出的直角坐標(biāo)系復(fù)數(shù)平面。在這個(gè)復(fù)數(shù)平面上定義上定義虛數(shù)單位虛數(shù)單位為為1j 注意：書寫時(shí)必須注意：書寫時(shí)必須j在數(shù)字前。在數(shù)字前。解方程解方程0522 xx得得21jx 上

2、式數(shù)字由實(shí)數(shù)與虛數(shù)組上式數(shù)字由實(shí)數(shù)與虛數(shù)組成，稱之為復(fù)數(shù)。成，稱之為復(fù)數(shù)。二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式 圖圖 9-1在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 一個(gè)復(fù)數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù) A有以下四種表達(dá)式。有以下四種表達(dá)式。1代數(shù)式代數(shù)式 ( (直角坐標(biāo)式直角坐標(biāo)式) ) A = a + jb式中，式中，a 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) A 的的實(shí)部實(shí)部，b 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) A 的的虛部虛部。 在直角坐標(biāo)系中，以橫坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中，以橫坐標(biāo)為實(shí)數(shù)軸，縱坐標(biāo)為虛數(shù)軸，這為實(shí)數(shù)軸，縱坐標(biāo)為虛數(shù)軸，這樣構(gòu)成的平面叫做樣構(gòu)成的平面叫做復(fù)平面復(fù)平面。任意。任意一個(gè)復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上表示一個(gè)復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上表示出來。

3、例如復(fù)數(shù)出來。例如復(fù)數(shù) A = 3 + j2 在復(fù)平在復(fù)平面上的表示面上的表示如圖如圖 9-1 所示。所示。3指數(shù)式指數(shù)式即即 A =rej 2極坐標(biāo)式極坐標(biāo)式二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式rA式中式中r叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)A的模，的模，叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)A的輻角。的輻角。 圖圖 9-1在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 4三角函數(shù)式三角函數(shù)式 在圖在圖 9-1 中，復(fù)數(shù)中，復(fù)數(shù) A 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為 ，因此可以寫成，因此可以寫成A= a + jb = r(cos jsin ) 式中式中22bar 從圖從圖 9-1 中可以看出中可以看出 )0 0( arctan)0 0( arct

4、an)0( arctanbaabbaabaab，復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) A 的實(shí)部的實(shí)部 a、虛部、虛部 b 與模與模 r 構(gòu)成一個(gè)直角三角形。構(gòu)成一個(gè)直角三角形。 二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式【例【例9-1】將下列復(fù)數(shù)改寫成極坐標(biāo)式：】將下列復(fù)數(shù)改寫成極坐標(biāo)式：( (1) )Z1 = 2； ( (2) ) Z2 = j5； ( (3) ) Z 3 = j9；( (4) ) Z4 = 10； ( (5) ) Z 5 = 3 j4； ( (6) ) Z6 = 8 j6( (7) ) Z7 = 6 j8； ( (8) ) Z8 = 8 j6。( (2) ) Z2 = j5 = 5/90 ( (3) ) Z3

5、 = j9 = 9/ 90 ( (4) ) Z4= 10 = 10/180 或或10/ 180 ( (“ ”號代表號代表 180 ) )( (1) ) Z1= 2 = 2/0 解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系式 Z = a + jb =|Z|/ ， ， = arctan，計(jì)算如下：，計(jì)算如下：22|baZ ab以上這四種表達(dá)式是可以相互轉(zhuǎn)換的，即可以從任一個(gè)式以上這四種表達(dá)式是可以相互轉(zhuǎn)換的，即可以從任一個(gè)式子導(dǎo)出其他三種式子。子導(dǎo)出其他三種式子。( (5) ) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1 ( (6) ) Z6 = 8 j6 = 10/ 36.9 ( (7) ) Z7 = 6 + j8

6、 = ( (6 j8) )= ( ( 10/ 53.1 ) ) = 10/180 53.1 = 10/126.9 ( (8) ) Z8 = 8 j6 = ( (8 + j6 ) ) = ( (10/36.9 ) ) = 10/ 180 + 36.9 = 10/ 143.1 。解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin ) = a + jb 計(jì)算計(jì)算：【例【例9-2】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)式】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)式( (直角坐標(biāo)式直角坐標(biāo)式) )：( (1) )Z1= 20/53.1 ；( (2) ) Z2 = 10/ 36.9 ；( (3) ) Z3 = 50

7、/120 ；( (4) ) Z4 = 8/ 120 。( (1) )Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1 ) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16( (2) )Z2 = 10/ 36.9 = 10(cos36.9 jsin36.9 )= 10(0.8 j0.6) = 8 j6( (3) ) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120 ) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3( (4) )Z4 = 8/ 120 = 8(cos120 jsin120 ) = 8( 0.5 0.866) = 4 j6.928三、共軛復(fù)數(shù)三、共軛復(fù)數(shù)1.1.定義：兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相同，僅虛部差定義：兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相同，僅虛部差一負(fù)號。一負(fù)號。2.2.表示方法：表示方法：AA與3.3.復(fù)數(shù)相等：復(fù)數(shù)相等：、代數(shù)式中：實(shí)部與實(shí)部一樣，虛部、代數(shù)式中：實(shí)部與實(shí)部一樣，虛部與虛部一樣。與虛部一樣。、極坐標(biāo)式中：模和輻角