向量與坐標(biāo)知識點總結(jié)

1、解析幾何復(fù)習(xí)知識點總結(jié)第一章 向量與坐標(biāo)第一節(jié) 向量的概念： 空間中具有大小和方向的量叫做空間向量。向量的大小叫做向量 的長度或模（ moduius） 。規(guī)定，長度為 0 的向量叫做 零向量 ，記為 0.模為 1 的向量稱為單位向量。與向量 a 長度相等而方向相反的向量，稱為 a 的相反向量。記為 -a 方向相等且模相等的向量稱為相等向量。長度為一個單位（即模為 1）的向量，叫做 單位向量 與向量 a 同向，且長度為單位 1 的向 量，叫做 a 方向上的單位向量，記作 a0， a0=a/|a|。1 共線向量定理兩個空間向量 a,b 向量 （b 向量不等于 0）， a b 的充要條件是存在唯一的

2、 實數(shù) ，使 a=b2 共面向量定理如果兩個向量 a,b 不共線， 則向量 c 與向量 a,b 共面的 充要條件 是： 存在唯一的一對實 數(shù) x,y, 使 c=ax+by3 空間向量分解定理如果三個向量 a、b、c 不共面， 那么對空間任一向量 p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x， y，z，使 p=xa+yb+zc 。任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底， 零向量 的表示唯一。1.2 向量的加法三角形定則解決向量加減的方法： 將各個向量依次首尾順次相接， 結(jié)果為第一個向量的 起點指向最后一個向量的終點。平行四邊形定則解決向量加法的方法：將兩個向量平移至公共起點， 以向量的兩條邊作平行四邊形

3、，向量的加法結(jié)果為公共起點的對角線。平行四邊形定則解決向量減法的方法： 將兩個向量平移至公共起點， 以向量的兩條邊作 平行四邊形，結(jié)果由減向量的終點指向被減向量的終點。(平行四邊形定則只適用于兩個非零非共線向量的加減。)坐標(biāo)系解向量加減法：在直角坐標(biāo)系里面 ,定義原點為向量的起點 .兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向 量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差若向量的表示為(x,y)形式 ,A(X1,Y1) B(X2,Y2) ，則 A+B= (X1+X2 ，Y1+Y2 )， A-B= (X1-X2 ，Y1-Y2 ) 簡單地講：向量的加減就是向量對應(yīng)分量的加減。類似于物理的正交分解。向量加法的 運算律 ：交換律： a

4、+b=b+a；結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c)。減法如果 a、b 是互為相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量為 0OA-OB=BA. 即“共同起點，指向被向量的減法減”a=(x,y) b =(x',y') 則 a- b =(x-x',y-y').如圖： c=a-b 以 b 的結(jié)束為起點， a 的結(jié)束為終點。交換律： a+(-b)=a-b1.3 向量的數(shù)乘實數(shù) 和向量 a 的叉乘乘積是一個向量 ，記作 a，且 a = 當(dāng) >0時， a 的方向與 a 的方向相同；當(dāng) <0時， a 的方向與 a 的方向相反；當(dāng) =0時，

5、 a=0，方向任意。當(dāng) a=0 時，對于任意實數(shù) ，都有 a=0 。注：按定義知，如果 a=0，那么 =0或 a=0 。實數(shù) 叫做向量 a 的系數(shù) ，乘數(shù)向量 a 的幾何意義就是將表示向量 或壓縮。當(dāng) >1 時，表示向量 a 的有向線段在原方向( >0)或反方向( 來的 倍當(dāng) <1 時，表示向量 a 的有向線段在原方向( >0)或 ××反方向 原來的 倍。實數(shù) p 和向量 a 的點乘乘積是一個數(shù)。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律結(jié)合律： ( a )·b =(a·b )=( a ·b) 。*a。a 的有向線段伸長<0)

6、上伸長為原<0)上縮短為向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：( +a)=a+a.數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)： a(+b)=a+b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實數(shù) 0且a=b，那么 a=b。 如果 a0且 a= a， 那么 = 。需要注意的是：向量的加減乘除運算滿足實數(shù)加減乘除運算法則。1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解如果 V是一個線性空間， 如果存在不全為零的系數(shù) c1, c2, ., c n F，使得 c1v1+ c2v2+ . + cnvn= 0，那么其中有限多個向量 v1, v2, ., v n稱為線性相關(guān) 的.反之，稱這組向量為 線性無關(guān) 的。更一般的， 如果有無窮多個向量，

7、我們稱這無窮多個 向量是線性無關(guān)的，如果其中任意有限多個都是線性無關(guān)的。分解定理平面向量分解定理：如果 e1 、 e2 是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么對于這一平面 內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使 a=1e1 +2e2我們把不平行向量 e1、e2 叫做這一平面內(nèi)所有向量的一 基底 。定比分點公式定比分點公式 (向量 P1P=·向量 PP2 )設(shè) P1、 P2 是直線上的兩點， P 是直線上不同于 P1、P2 的任意一點。則存在一個任意 實數(shù) 且不等于 -1，使 向量 P1P=·向量 PP2 ，叫做點 P 分有向線段 P1P2 所成的比。若 P1 ( x1,y1)

8、，P2(x2,y2) ，P(x,y) ，則有OP=(OP1 +OP2 )/(1+ ；)(定比分點 向量公式 )x=(x1+ x2)/(1+ ),y=(y1+ y2)/(1+ 。()定比分點坐標(biāo)公式)我們把上面的式子叫做有向線段 P1P2 的 定比分點公式三向量共面的充要條件是他們線性相關(guān)空間任何四個向量總是線性相關(guān)空間四個以上向量總是線性相關(guān)1.5 標(biāo)架與坐標(biāo) 三個坐標(biāo)面把 空間分成八個部分，每個部分叫做一個 卦限。含有 x 軸正半軸 、y軸正半軸、 z 軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在 xoy 面的上方，按 逆時針 方向 確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五

9、、六、七、八卦限?？臻g向量的八個卦限的符號x+-+-+y+-+-z+-空間 的一個定點 O ，連同三個不共面的有序 向量 e1，e2 ，e3 的全體，叫做空間中的一 個標(biāo)架，記做 O；e1，e2，e3。如果 e1，e2，e3 都是單位向量，那么 O；e1，e2，e3 就叫做笛卡兒標(biāo)架。兩兩互相垂直的標(biāo)架叫做笛卡兒直角標(biāo)架。在一般情況下，O ；e1，e2 ， e3叫做仿射標(biāo)架。標(biāo)架一般是完全決定空間坐標(biāo)系來用的，所以空間坐標(biāo)系也可以用標(biāo)架O； e1，e2，e3來表示，這時候點 O 就可以叫做坐標(biāo)原點，而向量 e1，e2， e3 都叫做坐標(biāo)向量。當(dāng)空間取定標(biāo)架 O；e1，e2 ，e3后，空間全體向

10、量的集合或者全體點的集合與全體有 序三數(shù)組 x，y，z 的集合具有一一對應(yīng)的關(guān)系， 這種一一對應(yīng)的關(guān)系就叫做空間向量或點的 一個坐標(biāo)系。此時，向量或點關(guān)于標(biāo)架 O ；e1 ， e2 ，e3 的坐標(biāo)，也稱為該向量或點關(guān)于由 這標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系的坐標(biāo)。標(biāo)架是空間坐標(biāo)系的向量化。笛卡爾坐標(biāo)系 (Cartesian) - 系統(tǒng)用 X 、 Y 和 Z 表示坐標(biāo)值。柱坐標(biāo)系 (Cylindrical) - 系統(tǒng)用半徑、 theta (q) 和 Z 表示坐標(biāo)值。球坐標(biāo)系 (Spherical) - 系統(tǒng)用半徑、 theta (q) 和 phi (f) 表示坐標(biāo)值。1.6 向量在軸上的射影設(shè)向量 AB 的始

11、點 A 和終點 B 在軸 l 上的射影分別為 A'和 B'，那么向量 A'B '叫做向量 AB 在軸 l 上的射影向量，記做射影向量 lAB射影 lAB =|AB |COS，=（l，AB ）1.7 兩向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b ，則角 AOB 稱作向量 a 和向量 b 的夾 角，記作 a,b 并規(guī)定 0a,b 定義：兩個向量的 數(shù)量積 （內(nèi)積 、點積 ）是一個數(shù)量（沒有方向），記作a·b。若 a、b 不共線，則 a·b =| a | ·|b| ·cos a， b （依定義有： cos

12、a,b=a·b / |a| ·|b |）；若 a、b 共 線，則 a·b =± a b。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示： a ·b =x·x'+y ·y'。向量的數(shù)量積的運算律a·b=b ·a（交換律 ）（ a） · b= （a（關(guān)·于b）數(shù)乘法的 結(jié)合律 ）（a+b） ·c=a·c+b·c（分配律 ）向量的數(shù)量積的性質(zhì)a·a=|a|的 平方 。ab=a·b=0。|a·b | a| ·|b |（。該公式證明如

13、下： |a·b|=| a| ·|b | ·|cos 因|為 0 |cos | ，所1以| a·b | a| ·|b|）向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點1向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即： （a ·b ） ·c a·（b ·c ）；例如： （a ·b ）2 a2·b2。2向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a ·b=a ·c（a0），推不出 b=c。3|a·b|與|a| ·|b|不等價4由 |a|=|b| ，不能推出 a=b ，也不能推出 a=-b，但反

14、過來則成立。1.8 兩向量的向量積定義：兩個向量 a 和 b 的 向量積向量的幾何表示（外積、 叉積）是一個向量，記作 a×b（這里 “×并”不是乘號，只是一種表示方法，與“·不同，也可記做 “”）。若 a、b 不共線，則 a×b 的模是： a×b=|a| ·|b| ·sina，b； a×b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、 b 和 a×b 按這個次序構(gòu)成 右手系 。若 a、b 垂直，則 a×b=|a|*|b| （此處與數(shù)量積不同，請注意），若a×b=0 ，則 a、b 平行 。向

15、量積即兩個不共線非零向量所在平面的一組法向量。運算法則：運用三階行列式設(shè) a,b,c 分別為沿 x,y,z 軸的單位向量A=（x1,y1,z1）B= （x2,y2,z2 ）則 A*B=a b cx1 y1 z1x2 y2 z2向量的向量積性質(zhì)：a×b是以 a和 b 為邊的平行四邊形面積。a×a=0 。a 平行 b = a×b=0向量的向量積運算律a×b=b×a( a) ×b =( a ×b ) = a×( b )a×( b+c ) = a ×b+a×c.( a+b ) ×c=

16、a×c+b× c.上兩個分配律分別稱為左分配律和右分配律。 在演算中應(yīng)注意不能交換 “×號”兩側(cè)向量 的次序。如： a×( 2b ) =b×(2a)和 c×(a+b)=a ×c+b×c 都是錯誤的！注：向量沒有 除法，“向量 AB/ 向量 CD”是沒有意義的。1.9 三向量的混合積定義：給定空間三向量 a、b、c，向量 a、b 的向量積 a×b，再和向量 c 作數(shù)量積 (a×b) ·c，所得的數(shù)叫做三向量 a、b、c 的混合積，記作 (a,b,c)或(abc )，即(abc )=( a

17、, b, c)=( a ×b ) ·c混合積具有下列性質(zhì)：1三個不共面向量 a、b 、c 的混合積的絕對值等于以 a、b、c 為棱的平行六面體的體 積 V，并且當(dāng) a、b、c 構(gòu)成右手系時混合積是 正數(shù)；當(dāng) a、b、c 構(gòu)成左手系時，混合積是 負數(shù)，即(abc )=V(當(dāng) a、b、c 構(gòu)成右手系時 =1；當(dāng) a、b、c 構(gòu)成左手系時 =-1)2上性質(zhì)的推論：三向量 a、b、c 共面的 充要條件 是 (abc )=03(abc )=(bca )=( cab )=-(bac )=-( cba )=-( acb )例題正方形 ABCD,EFGA,CHIK 首尾相連， L 是 EH

18、 中點，求證 LBGK ？設(shè) AE=a 向量 , AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2,b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'* EH=-a+c+c'+bLB=EH/2-b-c= -a-c+c'-b /2, GK=-a'+c'+c+b' 從*： -a-c+c'-b ·-a'+c'+c+b'