n維正態(tài)分布的定義及性質(zhì)

1、概率論維正態(tài)分布的定文及性質(zhì)維正態(tài)分布的定義及性質(zhì)（概率論基礎(chǔ)（李賢平），Page234）定義稱“維隨機(jī)變©%=（%,X2,.,Xn）服從參數(shù)為的畀維正態(tài)分布，記為XN（a,B）,如果他有密度/U，x2,.,xn）=（2才） 2（打B、 exp|_ 扣 _ a ）7 BTy其中， = kt是"X階疋定對(duì)稱矩陣，detB是它的行列式，而A是它的逆矩陣，記作A = a為任意實(shí)值列向量，即如果我們用黑體的小寫字母記列向暈，以黑體的大寫字母記矩陣，則有稱矩陣B為對(duì)稱的，如果B =，即htj = h.；Reproduction ForbiddenConfidentialPage 1

2、of 3概率論稱對(duì)稱矩陣B為正定的，如果對(duì)丁任意列向暈"仏有aTBa>0,其中等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)<r是向帚:。如果B正定，則detB存在，且det>0,且*也是正定矩陣（小寫代數(shù), 居于馬,Page272）o定理4.6.2 X的任一子向也服從正態(tài)分布，分布為N（N&），其中刁=仏，縱，厲丫，g為保留B的第出行及笫k，h，.,列所得的川階矩陣。如特別地，X,服從一維11二態(tài)分布血）。定理表明，多維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布。定理4.6.3 a及B分別是隨機(jī)向量X的數(shù)學(xué)期果及協(xié)方差矩陣，即a 廠 E（Xj<j<n； hjk = CovX.,Xk

3、）= £（X . - a. Xk - ak ）| l<j,k<n由定理可知，“維1E態(tài)分布完全由它的前面二階矩確定。定理4.6.4XpX2,.,Xn獨(dú)立的充耍條件是它們兩兩不相關(guān)。定理4.6.6 X = （X1,X2.,Xj服從維正態(tài)分布N（a,B）的充耍條件是它的任何一個(gè)線性組合Y =ljXj服從一維正態(tài)分布N工工l；bn利用定理466可以通過一維正態(tài)隨機(jī)變最來研究多維正態(tài)變起，在有些場(chǎng)介這提供了很大的方便。定理4.6.7若X = （X1,X2,.,Xj服從畀維正態(tài)分布Ng、B,而C為任意的mxn陣，則Y = CX服從加 維正態(tài)分布，N（Ca,<7B<y）.

4、定理4.6.7表明正態(tài)變量在線性變換下還是正態(tài)變量，這個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)稱為正態(tài)變量的線性變換不變 性。推論一 若X =（X】,X2，.,X”）服從維正態(tài)分布則存在一個(gè)正交變換U ,使得Y = UX是一個(gè)具有獨(dú)立止態(tài)分布分量的隨機(jī)向量，它的數(shù)學(xué)期果為Ua ,而它的方差分量是B的特征值。證明 從矩陣論知道，對(duì)丁實(shí)對(duì)稱矩陣，存在正交陣U,使UBUT = Df其中，a 0 . 0、0 d= . 0D= 2 <° 0 -這里，你心心是B的特征值。若B得秩為r,則有廣個(gè)特征值不為零。此處的U是以特征向暈 為列構(gòu)成的正交陣。把這里的作為定理4.6.7中的變換矩陣，即可證明該推論。從推論一看出，若得秩

5、為r<n,則正態(tài)分布退化到一個(gè)/維子空間上。推論一說明，對(duì)丁多維正態(tài)變暈，可以進(jìn)行正交變換，使其既保持正態(tài)性不變乂讓各分暈獨(dú)立， 這種方法在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中十分有用。因?yàn)樽儞Q后得到的正態(tài)分布的各隨機(jī)變暈之間的協(xié)方差為0,即bJk=Cov（Xj,Xk）=0, jHk,這 說明兩兩相關(guān)，即得X；,X,.,X：獨(dú)立（定理4.64）.例8（概率論基礎(chǔ)（李賢平人Pagel61）若（X|,XJ服從二維1E態(tài)分布，其密度函數(shù)為其中 = 0,a = 0 ,即有a令(cosa smtz、(Xlcosa+ X. sin a、-sin a costz< /IxJIXisma+Xcos 色(0<a <2)則化,5)的聯(lián)介密度函數(shù)為：心小2鳥為;_ "3 +。；) 其中，.cos2 a 宀 cos a sin « sin2 aA = ；_ 2p+ erf66 a;cosasina sin2 a-cos2 a cosasina -云p云-sin2 a c cosasina cos2 a+ 2p+ 丐嘰 a;由上式看出，二維正態(tài)隨機(jī)變量（X”XJ經(jīng)過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)而得到的隨機(jī)變最化上）仍然服從正態(tài)分 布。進(jìn)一步，若選&使得tan2a = 4,則8=0,因此乙上獨(dú)立。這說明二元正態(tài)分布可經(jīng)適當(dāng) 的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相互獨(dú)立的止態(tài)分布之積。推論二在正交變