布爾代數(shù)入門

1、布爾代數(shù)入門布爾代數(shù)是計算機的基礎。沒有它，就不會有計算機。布爾代數(shù)發(fā)展到今天，已經(jīng)非常抽象，但是它的核心思想很簡單。本文幫助你理解布爾代數(shù)，以及為什么它促成了計算機的誕生。我依據(jù)的是編碼的奧妙的第十章。這是一本好書，強烈推薦。一、數(shù)理邏輯的起源19世紀早期，英國數(shù)學家喬治布爾( George Boole, 1815 1864)突發(fā)奇想：人的思想能不能用數(shù)學表達？此前，數(shù)學只用于計算，沒有人意識到，數(shù)學還能表達人的邏輯思維。兩千年來，哲學書都是用文字寫的。比如，最著名的三段論：所有人都是要死的，蘇格拉底是人，所以，蘇格拉底是要死的。喬治布爾認為，這種推理可以用數(shù)學表達，也就是說，哲學書完全可以

2、用數(shù)學寫。這就是數(shù)理邏輯的起源。二、集合論喬治布爾發(fā)明白工具，叫做“集合論"(Set theory )。他認為，邏輯思維的基礎是一個個集合( Set ) ，每一個命題表達的都是集合之間的關系。比如，所有人類組成一個集合R,所有會死的東西組成一個集合D。所有人都是要死的集合論的寫法就是：R X D = R集合之間最基本的關系是并集和交集。 乘號( X) 表示交集， 加號 ( +)表示并集。上面這個式子的意思是，R與D的交集就是Ro同樣的，蘇格拉底也是一個集合S,這個集合里面只有蘇格拉底一個成員。蘇格拉底是人/ 等同于S X R = S上面式子的意思是，蘇格拉底與人類的交集，就是蘇格拉底

3、。將第一個式子代入第二個式子，就得到了結論。S X (R X D)= (S X R) X D= S X D= S這個式子的意思是， 蘇格拉底與會死的東西的交集， 就是蘇格拉底，即蘇格拉底也屬于會死的東西。三、集合的運算法則前面的三段論比較容易，一眼就能看出結論。但是，有些三段輪比較復雜，不容易立即反應過來。請看下面這兩句話。" 鴨嘴獸是卵生的哺乳動物。鴨嘴獸是澳洲的動物。 "你能一眼得到結論嗎？鴨嘴獸X卵生=鴨嘴獸鴨嘴獸x澳洲=鴨嘴獸將第一個式子代入第二個，就會得到：鴨嘴獸X卵生x澳洲= 鴨嘴獸/ 相當于卵生 x 澳洲 = 鴨嘴獸 + 其他因此， 結論就是 " 有

4、的卵生動物是澳洲的動物 " ， 或者 " 有的澳洲的動物是卵生動物 " 。還有更不直觀的三段論。" 哲學家都是有邏輯頭腦的，一個沒有邏輯頭腦的人總是很頑固。請問結論是什么？這道題會用到新的概念：全集和空集。集合A 和所有不屬于它的元素(記作-A)構成全集(I ),這時A和-A的交集就是一個空集(0)A + (-A) = IA X (-A) = 0因此，有下面的公式。B= B X I= B X (A + -A)= B X A + B X (-A)回到上面那道題。哲學家 X 邏輯 =哲學家無邏輯 X 頑固 =無邏輯根據(jù)第一個命題，可以得到下面的結論。哲學家

5、X 無邏輯= （ 哲學家 X 邏輯 ） X 無邏輯= 哲學家X （邏輯 X 無邏輯 ）= 哲學家X 0= 0即哲學家與沒有邏輯的人的交集，是一個空集。根據(jù)第二個命題，可以得到下面的結論。無邏輯 X 頑固= 無邏輯 X 頑固 X （ 哲學家 + 非哲學家 ）=無邏輯X頑固X哲學家+ 無邏輯 X 頑固 X 非哲學家= 0 X 頑固 + 無邏輯 X 頑固 X 非哲學家=無邏輯X頑固X非哲學家= 無邏輯也就是說，最終的結論如下。無邏輯 X 頑固 X 非哲學家 = 無邏輯/ 相當于頑固 X 非哲學家 = 無邏輯 + 其他結論就是頑固的人與非哲學家之間有交集。通俗的表達就是：一些頑固的人，不是哲學家，或者

6、一些不是哲學家的人，很頑固。由此可見，集合論可以幫助我們得到直覺無法得到的結論，保證推理過程正確，比文字推導更可靠。四、 集合論到布爾代數(shù)既然命題可以用集合論表達，那么邏輯推導無非就是一系列集合運算。由于集合運算的結果還是集合，那么通過判斷個體是否屬于指定集合，就可以計算命題的真?zhèn)?。一名顧客走進寵物店，對店員說： " 我想要一只公貓，白色或黃色均可；或者一只母貓，除了白色，其他顏色均可；或者只要是黑貓，我也要。 "這名顧客的要求用集合論表達，就是下面的式子。公貓 X ( 白色 + 黃色 )+ 母貓 X 非白色+ 黑貓店員拿出一只灰色的公貓，請問是否滿足要求？布爾代數(shù)規(guī)定，

7、個體屬于某個集合用 1 表示， 不屬于就用 0 表示。 灰色的公貓屬于公貓集合，就是1，不屬于白色集合，就是0。上面的表達式變成下面這樣。1 X (0 + 0)+ 0 X 1+ 0= 0因此，就得到結論，灰色的公貓不滿足要求。這就是布爾代數(shù)：計算命題真?zhèn)蔚臄?shù)學方法。五、布爾代數(shù)的運算法則布爾代數(shù)的運算法則與集合論很像。交集的運算法則如下。1 X 1 = 1 1 X 0 = 00 X 0 = 0并集的運算法則如下。1 + 1 = 11 + 0 = 10 + 0 = 0集合論可以描述邏輯推理過程，布爾代數(shù)可以判斷某個命題是否符合這個過程。人類的推理和判斷，因此就變成了數(shù)學運算。20 世紀初，英國科學家香農(nóng)指出，布爾代數(shù)可以用來描述電路，或者說，電路可以模擬布爾代數(shù)。于是，人類的推理和判斷，就可以用電路實現(xiàn)了。這就是計算機的實現(xiàn)基礎。六、布爾代數(shù)的局限雖然布爾代數(shù)可以判斷命題真?zhèn)?，但是無法取代人類的理性思維。原因是它有一個局限。它必須依據(jù)一個或幾個已經(jīng)明確知道真?zhèn)蔚拿}，才能做出判斷。比如，只有知道"所有人都會死 &