高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應(yīng)用 2.2.1 條件概率學(xué)案 新人教A版選修23

1、2.2.1條件概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題知識點一條件概率100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長度合格，90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格，85件產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格令a產(chǎn)品的長度合格，b產(chǎn)品的質(zhì)量合格，ab產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格思考1試求p(a)，p(b)，p(ab)答案p(a)，p(b)，p(ab).思考2任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格(即b發(fā)生)，求它的長度(即a發(fā)生)也合格(記為a|b)的概率答案事件a|b發(fā)生，相當(dāng)于從90件質(zhì)量合格的產(chǎn)品中任取1件長度合格，其概率為p(a|b).思考3p(b)，p(ab)，p(a|b)間有怎樣的

2、關(guān)系答案p(a|b).梳理條件設(shè)a，b為兩個事件，且p(a)>0含義在事件a發(fā)生的條件下，事件b發(fā)生的條件概率記作p(b|a)讀作a發(fā)生的條件下b發(fā)生的概率計算公式縮小樣本空間法：p(b|a)公式法：p(b|a)知識點二條件概率的性質(zhì)1任何事件的條件概率都在0和1之間，即0p(b|a)1.2如果b和c是兩個互斥事件，則p(bc|a)p(b|a)p(c|a)1若事件a，b互斥，則p(b|a)1.(×)2事件a發(fā)生的條件下，事件b發(fā)生，相當(dāng)于a，b同時發(fā)生()類型一求條件概率例1現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求(1)第1次

3、抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率解設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件a，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件b，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件ab.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個，總的事件數(shù)n()a30.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有n(a)aa20，所以p(a).(2)因為n(ab)a12，所以p(ab).(3)方法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率p(b|a).方法二因為n(ab)12，n(a)20，所以p(b|a).反

4、思與感悟利用定義計算條件概率的步驟(1)分別計算概率p(ab)和p(a)(2)將它們相除得到條件概率p(b|a)，這個公式適用于一般情形，其中ab表示a，b同時發(fā)生跟蹤訓(xùn)練1某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()a0.8 b0.75 c0.6 d0.45考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率答案a解析設(shè)某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良是事件b，隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良是事件a，故所求概率為p(a|b)0.8.例2集合a1,2,3,4,5,6，甲、乙兩人各從a中任取一個數(shù)

5、，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率考點條件概率的定義及計算公式題點利用縮小基本事件空間求條件概率解將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15個在這15個中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9個，所以所求概率p.引申探究1在本例條件下，求

6、乙抽到偶數(shù)的概率解在甲抽到奇數(shù)的情形中，乙抽到偶數(shù)的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9個，所以所求概率p.2若甲先取(放回)，乙后取，若事件a：“甲抽到的數(shù)大于4”；事件b：“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”，求p(b|a)解甲抽到的數(shù)大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12個，其中甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2個所以p(b|a).反思與感悟?qū)⒃瓉淼幕臼录w

7、縮小為已知的條件事件a，原來的事件b縮小為ab.而a中僅包含有限個基本事件，每個基本事件發(fā)生的概率相等，從而可以在縮小的概率空間上利用古典概型公式計算條件概率，即p(b|a)，這里n(a)和n(ab)的計數(shù)是基于縮小的基本事件范圍的跟蹤訓(xùn)練25個乒乓球，其中3個新的，2個舊的，每次取一個，不放回地取兩次，則在第一次取到新球的條件下，第二次取到新球的概率為_考點條件概率的定義及計算公式題點利用縮小基本事件空間求條件概率答案解析設(shè)第1次取到新球為事件a，第2次取到新球為事件b，則p(b|a).類型二條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用例3把外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個其中，第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母

8、a,3個球標(biāo)有字母b；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母a的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母b的球，則在第三個盒子中任取一個球如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率考點條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用題點條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用解設(shè)a從第一個盒子中取得標(biāo)有字母a的球，b從第一個盒子中取得標(biāo)有字母b的球，r第二次取出的球是紅球，w第二次取出的球是白球，則容易求得p(a)，p(b)，p(r|a)，p(w|a)，p(r|b)，p(w|b).事件“試驗成功”表示為arbr，又事件ar與事件

9、br互斥，故由概率的加法公式，得p(arbr)p(ar)p(br)p(r|a)p(a)p(r|b)p(b)××0.59.反思與感悟當(dāng)所求事件的概率相對較復(fù)雜時，往往把該事件分成兩個(或多個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用p(bc|a)p(b|a)p(c|a)便可求得較復(fù)雜事件的概率跟蹤訓(xùn)練3在某次考試中，要從20道題中隨機抽出6道題，若考生至少能答對其中4道題即可通過，至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀成績的概率考點條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用題點條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用解記事件a為“該

10、考生6道題全答對”，事件b為“該考生答對了其中5道題，另一道答錯”，事件c為“該考生答對了其中4道題，另2道題答錯”，事件d為“該考生在這次考試中通過”，事件e為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則a，b，c兩兩互斥，且dabc，eab，可知p(d)p(abc)p(a)p(b)p(c)，p(ad)p(a)，p(bd)p(b)，p(e|d)p(a|d)p(b|d).故獲得優(yōu)秀成績的概率為.1已知p(b|a)，p(ab)，則p(a)等于()a. b. c. d.考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率答案c解析因為p(b|a)，所以p(a).2市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠

11、產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是()a0.665 b0.564 c0.245 d0.285考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率答案a解析記事件a為“甲廠產(chǎn)品”，事件b為“合格產(chǎn)品”，則p(a)0.7，p(b|a)0.95，p(ab)p(a)·p(b|a)0.7×0.950.665.3從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件a“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件b“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則p(b|a)等于()a. b. c. d.考點條件概率的定義及計算公式題點利用縮小基本事件空間

12、求條件概率答案b解析p(a)，p(ab)，p(b|a).4假定生男、生女是等可能的，一個家庭中有兩個小孩，已知有一個是女孩，則另一個小孩是男孩的概率是_考點條件概率的定義及計算公式題點利用縮小基本事件空間求條件概率答案解析一個家庭的兩個小孩只有4種可能：男，男，男，女，女，男，女，女，由題意可知這4個基本事件的發(fā)生是等可能的，所求概率p.5拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，記事件a為“藍(lán)色骰子的點數(shù)為4或6”，事件b為“兩枚骰子的點數(shù)之和大于8”，求：(1)事件a發(fā)生的條件下事件b發(fā)生的概率；(2)事件b發(fā)生的條件下事件a發(fā)生的概率考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率解拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，

13、事件總數(shù)為6×636，事件a的基本事件數(shù)為6×212，所以p(a).由于36634554>8,466455>8，5665>8,66>8.所以事件b的基本事件數(shù)為432110，所以p(b).事件ab的基本事件數(shù)為6.故p(ab).由條件概率公式得(1)p(b|a).(2)p(a|b).1條件概率：p(b|a).2概率p(b|a)與p(ab)的區(qū)別與聯(lián)系：p(ab)表示在樣本空間中，計算ab發(fā)生的概率，而p(b|a)表示在縮小的樣本空間a中，計算b發(fā)生的概率用古典概型公式，則p(b|a)，p(ab).一、 選擇題1某班學(xué)生考試成績中，數(shù)學(xué)不及格的占15%

14、，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語文也不及格的概率是()a0.2 b0.33 c0.5 d0.6考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率答案a解析記“數(shù)學(xué)不及格”為事件a，“語文不及格”為事件b，p(b|a)0.2，所以數(shù)學(xué)不及格時，該生語文也不及格的概率為0.2.2將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件a兩個點數(shù)互不相同，b出現(xiàn)一個5點，則p(b|a)等于()a. b. c. d.考點條件概率的定義及計算公式題點利用縮小基本事件空間求條件概率答案a解析出現(xiàn)點數(shù)互不相同的共有6×530(種)，出現(xiàn)一個5點共有5×210(種)

15、，所以p(b|a).37名同學(xué)站成一排，已知甲站在中間，則乙站在末尾的概率是()a. b. c. d.考點條件概率的定義及計算公式題點利用縮小基本事件空間求條件概率答案c解析記“甲站在中間”為事件a，“乙站在末尾”為事件b，則n(a)a，n(ab)a，所以p(b|a).4盒中裝有6件產(chǎn)品，其中4件一等品，2件二等品，從中不放回地取兩次，每次取1件，已知第二次取得一等品，則第一次取得二等品的概率為()a. b. c. d.考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率答案d解析設(shè)“第二次取得一等品”為事件a，“第一次取得二等品”為事件b，則p(ab)，p(a)，所以p(b|a)×

16、;.5在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機投擲一個點m(其坐標(biāo)為x)，若a，b，則p(b|a)等于()a. b. c. d.考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率答案a解析p(a).ab，p(ab)，p(b|a).6甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件a為“三個人去的景點不相同”，b為“甲獨自去一個景點”，則概率p(a|b)等于()a. b. c. d.考點條件概率的定義及計算公式題點利用縮小基本事件空間求條件概率答案c解析由題意可知n(b)c2212，n(ab)a6.所以p(a|b).7已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需

17、要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()a. b. c. d.答案d解析方法一設(shè)事件a為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件b為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則p(a)，p(ab)×，則所求概率為p(b|a).方法二第1次抽到螺口燈泡后還剩余9只燈泡，其中有7只卡口燈泡，故第2次抽到卡口燈泡的概率為.二、填空題8某種元件用滿6 000小時未壞的概率是，用滿10 000小時未壞的概率是，現(xiàn)有一個此種元件，已經(jīng)用過6 000小時未壞，則它能用到10 000小時的概率為_考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式

18、求條件概率答案解析設(shè)“用滿6 000小時未壞”為事件a，“用滿10 000小時未壞”為事件b，則p(a)，p(ab)p(b)，所以p(b|a).9如圖，四邊形efgh是以o為圓心、1為半徑的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用a表示事件“豆子落在正方形efgh內(nèi)”，b表示事件“豆子落在扇形ohe(陰影部分)內(nèi)”， 則(1)p(a)_；(2)p(b|a)_.考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率答案(1)(2)解析正方形的面積為2，圓的面積為.(1)a表示事件“豆子落在正方形efgh內(nèi)”，p(a).(2)b表示事件“豆子落在扇形ohe(陰影部分)內(nèi)”，p(ab)，p(b|

19、a).10設(shè)某種動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 0.4，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，則它能活到25歲的概率是_考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率答案0.5解析設(shè)該動物活到20歲為事件a，活到25歲為事件b，則p(a)0.8，p(b)0.4，又p(ab)p(b)，所以p(b|a)0.5.11有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為_考點條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用題點條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用答案解析設(shè)事件a為“其中一瓶是藍(lán)色”，事件b為“另一瓶是紅色”，事件c為“另一瓶是黑色”，

20、事件d為“另一瓶是紅色或黑色”，則dbc且b與c互斥又p(a)，p(ab)，p(ac)，故p(d|a)p(bc|a)p(b|a)p(c|a).三、解答題12從1100共100個正整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的一個數(shù)不大于50，求此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率考點條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用題點條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用解設(shè)事件c為“取出的數(shù)不大于50”，事件a為“取出的數(shù)是2的倍數(shù)”，事件b為“取出的數(shù)是3的倍數(shù)”則p(c)，且所求概率為p(ab|c)p(a|c)p(b|c)p(ab|c)2×.13壇子里放著5個大小、形狀都相同的咸鴨蛋，其中有3個是綠皮的，2個是白皮的如果不放回地依次拿出2個鴨蛋，求：

21、(1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率考點條件概率的定義及計算公式題點直接利用公式求條件概率解設(shè)“第1次拿出綠皮鴨蛋”為事件a，“第2次拿出綠皮鴨蛋”為事件b，則第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋為事件ab.(1)從5個鴨蛋中不放回地依次拿出2個鴨蛋的總基本事件數(shù)為n()a20.又n(a)a×a12，于是p(a).(2)因為n(ab)3×26，所以p(ab).(3)由(1)(2)，可得在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為p(b|a).四、探究與拓展14先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別是1,2,3,4,5,6點)，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x，y，記事件a為“xy為偶數(shù)”，事件b為“x，y中有偶數(shù)且xy”，則概