平直角坐標(biāo)系中的基本公式

1、解析幾何解析幾何是數(shù)學(xué)中最基本的學(xué)科之一是數(shù)學(xué)中最基本的學(xué)科之一, ,也是科學(xué)也是科學(xué)技術(shù)中最基本的數(shù)學(xué)工具之一技術(shù)中最基本的數(shù)學(xué)工具之一. .十七世紀(jì)初十七世紀(jì)初, ,法國(guó)法國(guó)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家迪卡兒和費(fèi)馬迪卡兒和費(fèi)馬首先認(rèn)識(shí)到解析幾何學(xué)產(chǎn)生首先認(rèn)識(shí)到解析幾何學(xué)產(chǎn)生的必要和可能的必要和可能. .他們通過(guò)把坐標(biāo)系引入幾何圖形中他們通過(guò)把坐標(biāo)系引入幾何圖形中, ,將幾何的基本元素將幾何的基本元素“點(diǎn)點(diǎn)”, ,與代數(shù)的基本研究對(duì)與代數(shù)的基本研究對(duì)象象“數(shù)數(shù)”對(duì)應(yīng)起來(lái)對(duì)應(yīng)起來(lái), ,從而將從而將幾何問(wèn)題幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為代數(shù)代數(shù)問(wèn)題問(wèn)題, ,將將曲線(xiàn)或曲面曲線(xiàn)或曲面轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為方程、函數(shù)方程、函數(shù)進(jìn)行解決

2、。進(jìn)行解決。由于變量數(shù)學(xué)的引進(jìn)，大大地推動(dòng)了由于變量數(shù)學(xué)的引進(jìn)，大大地推動(dòng)了微積分微積分的發(fā)的發(fā)展，使整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科有了重大進(jìn)步，那次解析幾展，使整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科有了重大進(jìn)步，那次解析幾何的產(chǎn)生，可說(shuō)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次飛躍何的產(chǎn)生，可說(shuō)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次飛躍. .解析幾何簡(jiǎn)介解析幾何簡(jiǎn)介象這樣規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)叫做數(shù)軸數(shù)軸。復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：(1)數(shù)軸的概念一、數(shù)軸上的基本公式一、數(shù)軸上的基本公式(2)數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)如果點(diǎn)p與實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為x,記作p(x).例如：數(shù)軸上的點(diǎn)m的坐標(biāo)為3，記作m(3),點(diǎn)n的坐標(biāo)為-2，記作n(-2).mn1

3、. 向量的定義向量的定義位移：位移：如果數(shù)軸上的任意一點(diǎn)a沿著軸的正向或負(fù)向移動(dòng)到另一點(diǎn)b,則說(shuō)點(diǎn)在軸上作了一次位移.點(diǎn)不動(dòng)則說(shuō)點(diǎn)作了零位移。位移是一個(gè)既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量位移向量，簡(jiǎn)稱(chēng)向量向量。ab從點(diǎn)到點(diǎn)的向量，記作：點(diǎn)叫做向量的起點(diǎn)，點(diǎn)叫做向量的終點(diǎn)線(xiàn)段的長(zhǎng)叫做向量的長(zhǎng)度，記作,abababab 注：向量的坐標(biāo)，在本書(shū)中用ab表示。如圖ab=3,ba=-3一般地，我們用實(shí)數(shù)表示數(shù)軸上的一個(gè)向量，這個(gè)實(shí)數(shù)就叫做向量的坐標(biāo)或數(shù)量。例如，圖中的向量可用正數(shù)3表示；反之，的坐標(biāo)為-3ba ab ab注意1：軸上向量的坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值為線(xiàn)段ab的長(zhǎng)度，即向量坐標(biāo)的絕對(duì)

4、值等于向量的長(zhǎng)度。ab單位向量:長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.2.兩個(gè)特殊向量：0|0|, 0零向量:長(zhǎng)度為零的向量(沒(méi)有確定方向).表示：4.相等的向量相等的向量數(shù)軸上同向且等長(zhǎng)的向量叫做相等的向量,abcd 注：相等的向量，它們的坐標(biāo)相等；反之，如果數(shù)軸上兩個(gè)向量的坐標(biāo)相等，則這兩個(gè)向量相等。ac=ab+bc在數(shù)軸上，如果點(diǎn)a作一次位移到點(diǎn)b，接著又點(diǎn)b再作一次位移到點(diǎn)c，則位移叫做位移與位移的和，記作ab ac bc ,acabbc 則對(duì)數(shù)軸上任意三點(diǎn)則對(duì)數(shù)軸上任意三點(diǎn)a，b，c，都具有關(guān)系：，都具有關(guān)系：5. 數(shù)軸上的公式數(shù)軸上的公式如何用向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)計(jì)算向量的坐標(biāo)？xo1x2x

5、abxo1x2xab依軸上點(diǎn)的坐標(biāo)定義，ob=,oa=,有：2x1x2x1xab=-設(shè)是數(shù)軸上的任意一個(gè)向量，如圖，o是原點(diǎn)，點(diǎn)a的坐標(biāo)為，點(diǎn)b的坐標(biāo)為，則ob=oa+ab,或ab=ob-oa1x2x用d(a,b)表示a,b兩點(diǎn)的距離，根據(jù)這個(gè)公式可以得到，數(shù)軸上兩點(diǎn)數(shù)軸上兩點(diǎn)a,b的距離公式是的距離公式是d（a,b）=ab= - 2x1x(假)(真)(假)(真)例3判斷下列命題的真假判斷下列命題的真假：1.1.單位向量都相等；單位向量都相等；2.2.起點(diǎn)不同起點(diǎn)不同, ,但方向相同且模相等的幾個(gè)向量相等但方向相同且模相等的幾個(gè)向量相等；3.3.若若 則則 ；ba ba4.若若，則則；cbba

6、, ca1.判斷一個(gè)量是否為向量：判斷一個(gè)量是否為向量：就是要判斷該量既_又_.2.向量的表示向量的表示:可用_或_表示.3.兩個(gè)特殊向量?jī)蓚€(gè)特殊向量:零向量是指_的向量;單位向量是指_的向量.4.相等向量相等向量:兩相等向量的方向_長(zhǎng)度_.有大小有大小有方向有方向有向線(xiàn)段有向線(xiàn)段字母字母長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為0長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1相同相同相等相等向量的模是可以進(jìn)行大小比較的向量的模是可以進(jìn)行大小比較的;向量是不能向量是不能比較大小的比較大小的. 有大小有大小 | |ab5.向量能不能比較大小向量能不能比較大小?小結(jié)小結(jié)：二、平面直角坐標(biāo)系中的基本公式二、平面直角坐標(biāo)系中的基本公式1、兩點(diǎn)間的距離公式、兩點(diǎn)間

7、的距離公式(1)原點(diǎn)o(0,0)與任意一點(diǎn)a(x，y)之間的距離a(x，y)xyox1a當(dāng)a不在坐標(biāo)軸上時(shí)，22( ,)d o axy當(dāng)a在坐標(biāo)軸上時(shí)，公式也成立（2）任意兩點(diǎn)a（x1,y1)，b（x2,y2)之間的距離公式x xo oy yab1bb2 2a1 12ac當(dāng)ab不平行于坐標(biāo)軸，也不在坐標(biāo)軸上時(shí)，從點(diǎn)a和點(diǎn)b分別向x軸，y軸作垂線(xiàn)1212,bb ,bb ,aa aa 和1121122212 a (x ,0), a (0,),( ,0),(0,)yb xbybbaac垂足分別為其中直線(xiàn)和相交于點(diǎn)112122212221221222221212121a(x ,y ),b(x ,y )

8、 d(a,b)= ()() +acabxxbca byyabacbcxxyyxxyy在直角 acb中， 由勾股定理計(jì)算兩點(diǎn)之得： 由間的距離公此得到式顯然，當(dāng)ab平行于坐標(biāo)軸或在坐標(biāo)軸上時(shí)，公式仍然成立。x xo oy yab1bb2 2a1 12ac求兩點(diǎn)間距離的步驟：求兩點(diǎn)間距離的步驟： （1）給兩點(diǎn)的坐標(biāo)賦值：（2）計(jì)算兩個(gè)坐標(biāo)的差，并賦值給另外兩個(gè)變量，即1122?,?,?,?;xyxy2121, y=y;xxxy 22dxy（3）計(jì)算（4）給出兩點(diǎn)的距離d.(2,-4),b(-2,3),d(a,b).a例1、已知求1212212122222,2,4,3, 2 24, 3 ( 4) 7

9、 d(a,b)= ( 4)765.xxyyxxxyyyxy 解：2a(1,2),b(3,4),c(5,0), abc例 、已知點(diǎn)求證是等腰三角形。222222( , )(3 1)(42)8 ( ,)(5 1)(02)20 ( ,)(53)(04)20 ac = bc ,a,b,cabcd a bd a cd b c證明：因?yàn)樗?又可驗(yàn)證不共線(xiàn)，所以是等腰三角形。22223abcd+bd =2(ab +ad ).ac例 、已知，求證：2222222222222(0,0),b(a,0),c(b,c),d(b-a,c). ab =a ,(), ,(2 ), 4aadb acacbc bdbacac

10、bd證明：取a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab所在的直線(xiàn)為x軸建立 平面直角坐標(biāo)系xoy，依據(jù)平行四邊形的 性質(zhì)可設(shè)點(diǎn)a,b,c,d的坐標(biāo)為 a 所以2222222222222222242(2a2), 2a2,2().bcabbcababadbcabacbdabad所以xyoabcd(a,0)(b,c)(b-a,c)2、中點(diǎn)公式、中點(diǎn)公式.11221212121121122212a(x , ),b(x ,),m(x,y)ab,(x ,0),(0,), (x ,0),(0,), (x,0),(0,y)yybb bbmm mmybbymm已知設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)a,b,m分別向x軸、y軸作垂線(xiàn)aa aa垂足分別為 aa.ambo1a2a1b2b1m2m1211221212111122221212mab ,.,. 2 2 ,mmaba bamm b a mxxym bxxxx yyyyyxy因?yàn)?是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，即所以即中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式.ambo