幾類積分的運(yùn)算及其關(guān)系

1、安徽理工大學(xué)畢業(yè)論文本科畢業(yè)論文幾類積分的運(yùn)算及其關(guān)系 SEVERAL TYPES OF INTEGRAL OPERATORS AND THEIR RELATIONSHIP學(xué)院（部）： 理學(xué)院 專業(yè)班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)10-1學(xué)生姓名： 戴永紅 指導(dǎo)教師： 周小紅講師 2014年 5 月 30 日幾類積分計(jì)算及其關(guān)系 摘要本文首先通過(guò)積分的概念和性質(zhì)舉出了一些常見的積分。隨后對(duì)列舉出的每一種積分都給出了它們的一些概念、公式以及計(jì)算方法。接著討論了每一種積分相互之間的關(guān)系，其中包括了不定積分和定積分兩者之間的關(guān)系，曲面積分與二重積分兩者之間的關(guān)系，曲面積分與三重積分之間的關(guān)系，以及曲面積分與曲

2、線積分兩者之間的關(guān)系。隨后對(duì)本文所述的所有積分進(jìn)行了對(duì)比和總結(jié)。關(guān)鍵詞：定積分，不定積分，面積分，線積分，重積分，計(jì)算方法，關(guān)系ON THE CITY FESTIVALS MARKETING STRATEGYABSTRACTFirstly, through the introduction of the concept and nature of the integration of several common points. Subsequently points are given for each of its concepts, formulas and calculations i

3、n this area. Followed by a discussion of the relationship between various types of integration with each other, including the relationship between the indefinite integral and definite integral between the relationship between surface integrals and double integrals, between the surface and triple int

4、egrals, and surface integrals and the relationship between the curve pointsKEYWORDS：definite integral, indefinite integral, the area of re-integration, calculation method, the relationshipII目錄摘要IABSTRACTII緒論11. 概念與性質(zhì)1 1.1.不定積分1 1.2.定積分2 1.3.二重積分3 1.4.三重積分4 1.5.曲線積分5 1.6.曲面積分62. 積分的計(jì)算7 2.1.定積分的計(jì)算7 2.

5、2.二重積分的計(jì)算7 2.3.三重積分9 2.4.第一型曲線積分12 2.5.第二類曲線積分12 2.6.第一型曲面積分的計(jì)算12 2.7.第二型曲面積分的計(jì)算133. 幾類積分之間的關(guān)系14 3.1.定積分和線積分以及二重積分和面積分之間的聯(lián)系14 3.2.二重積分與線積分15 3.3.面積分與三重積分17 3.4.曲線積分與曲面幾分19結(jié)論22參考文獻(xiàn)23謝辭24I安徽理工大學(xué)畢業(yè)論文緒論古代歐洲就有許多的方面的記錄顯示著積分學(xué)的應(yīng)用。古希臘的數(shù)學(xué)家們?cè)趯?duì)于如何解決拋物弓形的面積，球的面積，螺線下面積以及螺旋雙曲面的體積等在生活中的一些常見的問(wèn)題中，就有著現(xiàn)代積分學(xué)思想的體現(xiàn)。其中阿基米德

6、以球體薄片的疊加以及外切圓柱相關(guān)的圓錐薄片疊加，然后經(jīng)過(guò)計(jì)算得出了球得體積公式。在我國(guó)三國(guó)時(shí)期，著名的數(shù)學(xué)家劉徽在面對(duì)解決面積和體積問(wèn)題的時(shí)候，是用出入相補(bǔ)以及以盈補(bǔ)虛的方法。而到了公元五世紀(jì)左右，我國(guó)的以為數(shù)學(xué)家祖沖之則提出了許多的解決類似問(wèn)題的方法，并得以應(yīng)用，以上的這些都有積分思想的體現(xiàn)，甚至可以說(shuō)是積分概念的雛形。直到十七世紀(jì)以后，積分的發(fā)展才迅速起來(lái)，在歐洲隨后也迎來(lái)了它發(fā)展的黃金時(shí)期。隨著牛頓的流數(shù)簡(jiǎn)論一書的發(fā)布，積分的就被眾多的人注意并研究，從而也標(biāo)志著微積分的誕生，此外，萊布尼茨對(duì)積分的發(fā)展也同樣做出了巨大的貢獻(xiàn)。隨著時(shí)間的推移，積分的發(fā)展越來(lái)越快，隨著柯西的在自己的研究中給出

7、了積分的定義，從此之后，積分就作為一個(gè)正式的獨(dú)立的個(gè)體，從而它也就在微分中分離了出來(lái)。1. 概念與性質(zhì)1.1.不定積分、定義：設(shè)函數(shù)與F在區(qū)間I上都是有定義。如果，那么稱為在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。函數(shù)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為在I上的不定積分，記作。 上式中的表示的是積分號(hào)，表示的是為被積函數(shù)，表示的是被積表達(dá)式，表示的是積分變量。、基本公式： 、基本結(jié)論： 1.2.定積分、定義：如果是在區(qū)間上的一個(gè)有界函數(shù)，且在區(qū)間上隨意的插入若干分點(diǎn)（此次插入個(gè)） 把區(qū)間來(lái)進(jìn)行劃分，并記為。在每一個(gè)所分割劃分的區(qū)間上隨意的任取一點(diǎn)，隨后作和，那么就有： 其中，記為的最大數(shù)，也就是：那么只要當(dāng)時(shí)，如果的極限

8、是存在的，而且這個(gè)極限對(duì)于在區(qū)間上的怎樣的劃分以及對(duì)于在小區(qū)間上怎樣取點(diǎn)的都沒(méi)有任何關(guān)系時(shí)，那么就稱這個(gè)極限是在區(qū)間上的定積分。記為： 上式中稱為被積函數(shù)；稱為被積表達(dá)式；x叫做積分變量； 叫做積分區(qū)間；a為積分下限； b為積分上限；、推論：如果在區(qū)間上是有可積函數(shù)，那么在區(qū)間上的函數(shù)一定是有界的。、性質(zhì): 如果函數(shù)它是區(qū)間上的一個(gè)可積函數(shù)，而且是一個(gè)實(shí)數(shù)，那么函數(shù)它在區(qū)間上也是一個(gè)可積函數(shù)，并且有：如果函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上都是可積的函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間同樣是可積的，并且有：如果函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上都是可積的函數(shù)，那么則有函數(shù)在區(qū)間上同樣是可積的。如果函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)可積的函數(shù)，那么則有函數(shù)在區(qū)

9、間上也同樣是可積的。如果有，而且函數(shù)在區(qū)間上都是可積的函數(shù)，那么函數(shù)在區(qū)間上也同樣是可積，而且有：如果可積函數(shù)，那么則有如果函數(shù)是在區(qū)間上的可積函數(shù)，那么有如果函數(shù)，在區(qū)間上都是連續(xù)的，而且在區(qū)間上不變號(hào)，那么在區(qū)間中至少有一點(diǎn)，使得：如果函數(shù)是在區(qū)間上的可積函數(shù)，作，那么同樣的函數(shù)是在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。1.3.二重積分如果函數(shù)在封閉的區(qū)域D中是有界的 ，我們可以把有界的封閉區(qū)域D劃分分割成為n個(gè)任意的小區(qū)域： 上面的不僅僅表示第i個(gè)小區(qū)域, 而且也表示第i個(gè)小區(qū)域的面積,則為其本身的直徑。那么就有：作乘積則有： 作和則有： 如果 的極限是存在的,那么我們就把這個(gè)極限值稱為是函數(shù)在有界區(qū)域D上

10、的二重積分,記作 。即 ： 上式中 為被積函數(shù),為被積表達(dá)式,為面積元素,x,y為積分變量,D為積分區(qū)域,為積分和式。1.4.三重積分如果函數(shù)在空間閉區(qū)域是有定義的且在有界,我們把有界區(qū)域劃分為n個(gè)任意的小區(qū)域：上面的不僅僅表示第i個(gè)小區(qū)域,而且也表示它所在的小區(qū)域的體積。隨后我們?cè)诿總€(gè)被分割小區(qū)域上隨意的任取一點(diǎn),作乘積則有 ：作和得： 設(shè)為這n個(gè)小區(qū)域中最大的直徑。,如果 的極限是存在的,那么這個(gè)極限值被稱為函數(shù)在有界空間區(qū)域上的三重積分,記作： ,即： 上式中叫作體積元素。1.5.曲線積分第一型曲線積分設(shè)L為xoy平面上的一條可求長(zhǎng)度的光滑曲線弧,為定義在L上有界函數(shù),分割曲線L，在光滑

11、曲線弧L內(nèi)任意地插入n+1個(gè)點(diǎn), 那么就把L劃分為n個(gè)可求長(zhǎng)度的小弧段,那么我們可以設(shè)第i個(gè)小弧段弧長(zhǎng)度為是在弧上任意取的一點(diǎn),記作為： ，作和則有： ，如果 的極限是存在的，那么這個(gè)極限值就稱為函數(shù)在可求長(zhǎng)度光滑曲線弧L上的第一型曲線積分,記作。即： 其中為被積函數(shù)， L為積分弧段。第二型曲線積分如果L是一條光滑的或著是逐段光滑的曲線，而且是在上的連續(xù)有界函數(shù)，然后用分點(diǎn)沿著一確定方向把光滑曲線從起點(diǎn)開始劃分，劃分成個(gè)有向弧段，設(shè)。然后在每一個(gè)有向弧段上任意的取一點(diǎn)，作和則有：那么可知為起點(diǎn)，為終點(diǎn)。我們?cè)O(shè)，此時(shí)的表示為有向線段的長(zhǎng)度。如果當(dāng)時(shí)，和的極限為，而且極限與的怎樣劃分都沒(méi)有關(guān)系，與

12、點(diǎn)的如何選擇也無(wú)任何關(guān)系，那么就稱是沿光滑曲線按一確定方向上的第二型曲線積分，記為：1.6.曲面積分第一型曲面積分設(shè)是光滑的曲面，是在上的有界函數(shù)，用任意的曲線對(duì)進(jìn)行分割，將劃分割成n個(gè)小曲面，也表示為第 i個(gè)小塊曲面的面積 ，在上任意取定一點(diǎn)，作和得： 我們?cè)O(shè)是上面所有被分割劃分的小塊曲面中直徑最大的， 如果當(dāng)時(shí)，所取的極限值是存在的，那么就說(shuō)這個(gè)極限值是函數(shù)在上的曲面積分，并記作:，即：第二型曲面積分我們?cè)O(shè)是無(wú)重點(diǎn)的光滑曲面的方程，并且區(qū)域是由光滑曲面在平面上的投影為邊界且由逐段光滑曲線而圍成的，當(dāng)我們選定曲面的一側(cè)，那么我們也能確定它的定向?，F(xiàn)在我們可以將有向曲面以任意的方法劃分為小塊。

13、然后設(shè)是在坐標(biāo)軸平面上的投影，那么可以在區(qū)域得到一個(gè)相應(yīng)分割。若是選的上側(cè)，那么此時(shí)所有都是正的，若選的是下側(cè)，那么此時(shí)所有的都算是負(fù)的。我們?cè)O(shè)是定義在光滑曲面上的有界函數(shù)，且在上任意的取一點(diǎn)，作和則有：上式中表示的面積。由上面可知，是有符號(hào)的，其符號(hào)的正負(fù)是由所選曲面的側(cè)面來(lái)確定的。令為的直徑，則：。如果當(dāng)時(shí)，存在極限且極限是，極限是與曲面的如何劃分的沒(méi)有任何關(guān)系的，而且也與點(diǎn)的如何選擇沒(méi)有任何的關(guān)系，那么就稱是沿光滑曲面選定的一側(cè)上的第二型曲面積分，記為： 我們也可以將投影到平面或者投影到平面上，然后可以得到兩個(gè)類似的第二型曲面積分： 或 2. 積分的計(jì)算2.1.定積分的計(jì)算基本公式如果是

14、在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且是的原函數(shù)，即=，那么則有：定積分的換元公式設(shè)是在上的連續(xù)函數(shù)，令。其中，是在閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)，則有：定積分的分部積分公式如果，在區(qū)間上均是連續(xù)的，則有：2.2.二重積分的計(jì)算化二重積分為二次積分如果函數(shù)是在區(qū)域上的可積函數(shù)，而且對(duì)任意的在區(qū)間上的，均有： 那么則有： 簡(jiǎn)單區(qū)域：區(qū)域的邊界線和與軸或者軸相平行的直線相交最多有兩個(gè)交點(diǎn)，亦或者是區(qū)域的一些邊界線是與軸或者軸平行的直線段。由此可見，函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)時(shí)，則有： 極坐標(biāo)計(jì)算二重積分將區(qū)域表示為：，則： 我們可以設(shè)方程為：化成二次積分后則有： 如果是處于積分區(qū)域內(nèi)時(shí)，那么積分限為： 如果的邊界曲線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)時(shí)，那么此

15、時(shí)積分限應(yīng)為： 二重積分的變量替換設(shè)函數(shù)設(shè)區(qū)域在平面上且在區(qū)域內(nèi)對(duì)和對(duì)都連續(xù)偏導(dǎo)，隨著點(diǎn)在區(qū)域上變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的在平面上的點(diǎn)也在區(qū)域內(nèi)變動(dòng)。我們?cè)O(shè)函數(shù)讓之間建立了相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并且在區(qū)域上，則有: 其定理為：如果函數(shù)在平面上的內(nèi)是連續(xù)的，我們可以設(shè) 是在區(qū)域上對(duì)和對(duì)都連續(xù)偏導(dǎo)，由可以把變換為，并且的變換都是一一對(duì)應(yīng)的，又設(shè)則有:2.3.三重積分當(dāng)積分區(qū)域是長(zhǎng)方體時(shí)如果區(qū)域長(zhǎng)方體上是可積的，且對(duì)任意的在上的含多變量積分都存在，那么則有:上等式右邊的逐次積分可簡(jiǎn)記為：然后我們可以使用逐次積分的計(jì)算公式，按照上述這種計(jì)算方式，我們就可以將三重積轉(zhuǎn)化分為首先計(jì)算一個(gè)二重積分，然后再計(jì)算一個(gè)定積分來(lái)進(jìn)行

16、計(jì)算：當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橐话銋^(qū)域時(shí)假設(shè)空間區(qū)域?yàn)橐豢汕篌w積，且空間的邊界曲面與任意的平行于坐標(biāo)軸的直線最多相交兩點(diǎn)。為定義在空間區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)。可以考慮將三重積分化分成逐次積分。如果空間區(qū)域的曲線方程為和，空間區(qū)域在上的投影為，那么則有：如果在平面上的區(qū)域是由和兩個(gè)曲線所圍成的，那么我們可以依照二重積分轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算方法得：=其實(shí)積分區(qū)域是由這幾個(gè)不等式來(lái)確定的。我們也可以試著把積分區(qū)域投影到其他的平面（或平面），也可以得到上面類似的公式。三重積分的換元其實(shí)三重積分的變量替換與二重積分的換元是差不多的，我們可以設(shè)變換：且 我們?cè)O(shè)上式中的函數(shù)在區(qū)域和區(qū)域上使得點(diǎn)與點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這些

17、函數(shù)在區(qū)域和區(qū)域上都連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。那么此時(shí)其逆變換為：因此利用三重積分的還原法則可以得：其體積元素為：當(dāng)在區(qū)域上的某條曲線，或者某些點(diǎn)上或者某塊曲面上等于零時(shí)，而在其余的點(diǎn)為非零食時(shí)，換元法仍然是成立的。在下面是介紹的一些我們經(jīng)常使用的的替換公式：柱面坐標(biāo)的變換我們假設(shè)空間上有一點(diǎn)在空間系坐標(biāo)中的平面上有投影，且投影為，如果經(jīng)過(guò)的極坐標(biāo)是，那么我們就稱是的柱面坐標(biāo)，其中，是平面與平面的交角，是點(diǎn)到軸的距離，由上所述我們可知它所在的空間中三個(gè)坐標(biāo)面為：，即經(jīng)過(guò)軸的半平面，為其與平面的夾角；，也就是以柱面坐標(biāo)系中的軸為軸的圓柱面，其半徑為；，即垂直于軸的平面。那么則有：，此時(shí)，那么在柱面坐標(biāo)系下，其

18、體積元素為。因此在變換柱面坐標(biāo)時(shí)有:上面就是所述積分的柱面坐標(biāo)的變量公式。然后我們可以通過(guò)上文所述的逐次積分的方法來(lái)對(duì)三重積分進(jìn)行計(jì)算。我們通常是將區(qū)域投影在的平面上，在上的投影，可以將三重積分化為： 球面坐標(biāo)的變換我們假設(shè)空間上的點(diǎn)在平面上的投影為，為有向線段與空間坐標(biāo)抽軸正向之間的夾角，是平面與平面之間的夾角，那么就是點(diǎn)的球面坐標(biāo)由上所述我們可以知道它的三個(gè)坐標(biāo)面分別為：，就是球心是原點(diǎn)的球面；，就是頂點(diǎn)是原點(diǎn)，中心軸是軸的圓錐面； ，是經(jīng)過(guò)軸的半平面。我們?cè)O(shè)點(diǎn)在上的垂直投影是P，且設(shè)那么可知的極坐標(biāo)為，又在這個(gè)三角形中，有，。由此我們就可知點(diǎn)的直角坐標(biāo)和其球面坐標(biāo)兩者之間的關(guān)系為：，其中

19、，經(jīng)過(guò)變換為：在球面坐標(biāo)中，其體積元素為：那么我們可以得到：上文的所述的就是它的計(jì)算方法和計(jì)算公式2.4.第一型曲線積分我們先假設(shè)函數(shù)是在光滑曲線上有定義且連續(xù)的，則光滑曲線的方程為： 然后我們可以使用求解弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，將第一型線積分變換成定積分的形式來(lái)進(jìn)行計(jì)算：還有就是，假如是光滑的曲線，而且它的方程表達(dá)式是：，那么則有：2.5.第二類曲線積分我們可以試著利用線積分和定積分之間的轉(zhuǎn)換，然后再進(jìn)行計(jì)算：我們首先可以設(shè)光滑曲線的方程為： 然后設(shè)當(dāng)從增加到時(shí)，從點(diǎn)沿著方向上移動(dòng)到點(diǎn)且所有的曲線自己不相交，那么將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分的公式為：我們?cè)O(shè)空間曲線的方程表達(dá)式為 ，而且當(dāng)從到單調(diào)遞增時(shí)，且

20、從點(diǎn)連續(xù)的移動(dòng)到點(diǎn)，如果有在上是連續(xù)的，且在上也是連續(xù)的，那么就有：2.6.第一型曲面積分的計(jì)算我可以先利用曲面的面積的表達(dá)式然后再把第一型曲面積分變換成為二重積分，則有：當(dāng)用參數(shù)的形式來(lái)表示曲面的方程：，如果曲面是沒(méi)有重點(diǎn)，也就是說(shuō)曲面上的點(diǎn)和上的點(diǎn)都是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，與此同時(shí)函數(shù)都是在上的對(duì)和都連續(xù)偏導(dǎo)的函數(shù)，而且它的矩陣在上的秩是，則有：這里 2.7.第二型曲面積分的計(jì)算我們可以利用顯示方程來(lái)表示這個(gè)光滑曲面，那么可知點(diǎn)是在坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域。然后設(shè)積分是在曲面的上側(cè)取的，那么投影在平面上的面積都是正的。又點(diǎn)是在上，那么則有，于是：那么則可以將化成二重積分的積分和。如果在平面上的投影是

21、，而且的最大的直徑是，那么當(dāng)時(shí)，也是趨近于零的，從而就有：這就是我們將延著曲面上的積分變換成為曲面在坐標(biāo)內(nèi)所在的上的投影所在的區(qū)域的二重積分。這個(gè)二重積分所在區(qū)域內(nèi)的被積函數(shù)是由函數(shù)中的替換成曲面方程而得到的。當(dāng)我們用曲面的下側(cè)是，則曲面的積分就會(huì)變號(hào)，則有:-那么同理有：上面的兩個(gè)公式中，等式右面的正負(fù)號(hào)的選定和上面所說(shuō)的都是一樣。我們同樣設(shè)曲面的參數(shù)方程為，那么我們也可以把第二型面積分變換成二重類型積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)槲覀儗⒁陨蟽蓚€(gè)公式代入到曲面積分的公式里，則有：上式中的是平面中能夠可以變化的區(qū)域。3. 幾類積分之間的關(guān)系3.1.定積分和線積分以及二重積分和面積分之間的聯(lián)系由上面的計(jì)算方

22、式中我們可知第一型線積分和第二型線積分都可以轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，但是第一型線積分和第二型線積分之間是有著明顯的區(qū)別，即：我們可以從上述它的性質(zhì)以及其定義上來(lái)看，定積分是與第一型線積分有點(diǎn)相似，但是這一次我們總會(huì)始終假定a<b，那么也就是說(shuō)我們總是認(rèn)為大于0。上面也就說(shuō)明了區(qū)間a，b上的方向是和坐標(biāo)軸的方向一致。所以，在有上面假設(shè)的情況下，我們的等式:才是成立的，也就是說(shuō)：如果我們變換了它的的方向，那么由它計(jì)算出來(lái)的結(jié)果的符號(hào)也需要進(jìn)行相應(yīng)的改變的。由此可知定積分實(shí)際上是歸屬第二型線積分的。由上可知第一型線積分和第二型線積分轉(zhuǎn)化變換成定積分時(shí)，實(shí)際上就是線積分之間的相互轉(zhuǎn)換變化。如果當(dāng)定積

23、分的a是比定積分的b小時(shí)，那么第一型線積分被轉(zhuǎn)換為定積分時(shí)是可以被認(rèn)為是同型積分之間的相互轉(zhuǎn)換變化，它的被積表達(dá)式里的符號(hào)是不會(huì)有任何變化的。上面的表述已經(jīng)從另一個(gè)角度解釋了第一型線積分轉(zhuǎn)化成定積分總是要求上限不是不能小于下限的。當(dāng)我們把上面所假設(shè)的“a<b”取消掉的時(shí)候，定積分就是屬于第二型線積分了，又因?yàn)榈诙头e分被轉(zhuǎn)換成為定積分的時(shí)侯仍然是歸屬于同型積分之間的相互轉(zhuǎn)化，因此被積表達(dá)式里的符號(hào)是不會(huì)有任何變化的。但是此時(shí)是要求線型積分路徑的方向的，有必要限制定積分對(duì)的方向有一個(gè)一一段的階段，這是在帽是定積分和積分線性路徑的開始和結(jié)束的一對(duì)一。我們有曲線方程， 如果此時(shí)它在x軸上是有投影而且其投影的有向線段的方向是和坐標(biāo)軸上的x軸的方向是在同一個(gè)方向上的時(shí)侯，那么我們就可以知道定積分的a是比它的b小；當(dāng)曲線方程在坐標(biāo)軸上的x軸上的有投影線段的方向是和坐標(biāo)軸上x軸的方向是不相同的時(shí)候，那么它的a是比它的b大的。其它形式的曲線方程也是類似的。同樣的，我們可以利用上面