浙江專用高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率第4講隨機(jī)事件的概率學(xué)案10142168

1、- 1 -第第 4 4 講講隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率最新考綱1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性， 了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.知 識 梳 理1.頻率與概率(1)在相同的條件s下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件a是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件a出現(xiàn)的次數(shù)na為事件a出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件a出現(xiàn)的比例fn(a)nan為事件a出現(xiàn)的頻率.(2)對于給定的隨機(jī)事件a，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件a發(fā)生的頻率fn(a)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作p(a)，稱為事件a的概率，簡稱為a的概率.2.事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系如果事件a發(fā)生，則事件b一定

2、發(fā)生，這時(shí)稱事件b包含事件a(或稱事件a包含于事件b)ba(或ab)相等關(guān)系若ba且abab并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件a發(fā)生或事件b發(fā)生，稱此事件為事件a與事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件a發(fā)生且事件b發(fā)生，則稱此事件為事件a與事件b的交事件(或積事件)ab(或ab)互斥事件若ab為不可能事件，則稱事件a與事件b互斥ab對立事件若ab為不可能事件，ab為必然事件，那么稱事件a與事件b互為對立事件abp(ab)13.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0p(a)1.(2)必然事件的概率p(e)1.(3)不可能事件的概率p(f)0.

3、(4)互斥事件概率的加法公式如果事件a與事件b互斥，則p(ab)p(a)p(b).若事件b與事件a互為對立事件，則p(a)1p(b).診 斷 自 測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值.()- 2 -(3)若隨機(jī)事件a發(fā)生的概率為p(a)，則 0p(a)1.()(4)6 張獎(jiǎng)券中只有一張有獎(jiǎng)，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎(jiǎng)的概率小于乙中獎(jiǎng)的概率.()答案(1)(2)(3)(4)2.袋中裝有 3 個(gè)白球，4 個(gè)黑球，從中任取 3 個(gè)球，則：恰有 1 個(gè)白球和全是白球；至少有 1 個(gè)白球和全是黑球；至少有 1 個(gè)白

4、球和至少有 2 個(gè)白球；至少有 1 個(gè)白球和至少有 1個(gè)黑球.在上述事件中，是對立事件的為()a.b.c.d.解析至少有 1 個(gè)白球和全是黑球不同時(shí)發(fā)生， 且一定有一個(gè)發(fā)生.中兩事件是對立事件.答案b3.(2016天津卷)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12，甲獲勝的概率是13，則甲不輸?shù)母怕蕿?)a.56b.25c.16d.13解析設(shè)“兩人下成和棋”為事件a， “甲獲勝”為事件b.事件a與b是互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蕄p(ab)p(a)p(b)121356.答案a4.(2017威海模擬)圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出 2 粒都是黑子的概率為17，都是白子的概率是1235，則從

5、中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是_.解析由題意知，所求概率p1712351735.答案17355.袋中裝有 100 個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，從中任取一球，摸出紅球、白球的概率分別是 0.40 和 0.35，那么黑球共有_個(gè).解析任取一球是黑球的概率為 1(0.400.35)0.25，黑球有 1000.2525(個(gè)).答案256.(2017紹興一中檢測)口袋內(nèi)有一些大小、形狀完全相同的紅球、黃球和白球，從中任意摸- 3 -出一球，摸出的球是紅球或黃球的概率為 0.4，摸出的球是紅球或白球的概率為 0.9，那么摸出的球是黃球的概率為_；是白球的概率為_.解析設(shè)摸出紅球的概率是p(a)，

6、摸出黃球的概率是p(b)，摸出白球的概率是p(c)，p(a)p(b)0.4，p(a)p(c)0.9， p(c)1p(a)p(b)0.6，p(b)1p(a)p(c)0.1.答案0.10.6考點(diǎn)一隨機(jī)事件間的關(guān)系【例 1】 從 1，2，3，4，5 這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).上述事件中，是對立事件的是()a.b.c.d.解析從 1，2，3，4，5 這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有 3 種情況：一奇一偶，兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù).其中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個(gè)奇數(shù)這兩種情況

7、， 它與兩個(gè)都是偶數(shù)是對立事件.又中的事件可以同時(shí)發(fā)生，不是對立事件.答案c規(guī)律方法(1)本題中準(zhǔn)確理解恰有兩個(gè)奇數(shù)(偶數(shù))，一奇一偶，至少有一個(gè)奇數(shù)(偶數(shù))是求解的關(guān)鍵，必要時(shí)可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系.(2)準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念.互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但可以同時(shí)不發(fā)生.對立事件是特殊的互斥事件， 特殊在對立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生， 即有且僅有一個(gè)發(fā)生.【訓(xùn)練 1】 口袋里裝有 1 紅，2 白，3 黃共 6 個(gè)形狀相同的小球，從中取出 2 球，事件a“取出的 2 球同色”，b“取出的 2 球中至少有 1 個(gè)黃球”，c“取

8、出的 2 球至少有 1 個(gè)白球”，d“取出的 2 球不同色”，e“取出的 2 球中至多有 1 個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號為_.a與d為對立事件；b與c是互斥事件；c與e是對立事件；p(ce)1；p(b)p(c).解析當(dāng)取出的 2 個(gè)球中一黃一白時(shí)，b與c都發(fā)生，不正確.當(dāng)取出的 2 個(gè)球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事件c與e都發(fā)生，則不正確.顯然a與d是對立事件，正確；ce不一定為必然事件，p(ce)1，不正確.由于p(b)45，p(c)35，所以不正確.答案- 4 -考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率【例 2】 (2016全國卷)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本

9、年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的 200 名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記a為事件： “一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)” ，求p(a)的估計(jì)值；(2)記b為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的 160%” ，求p(b)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.解(1)事件a發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于 2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于 2的頻率為60502000.55，故p(a)的估計(jì)值為

10、0.55.(2)事件b發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于 1 且小于 4，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于 1 且小于 4 的頻率為30302000.3，故p(b)的估計(jì)值為 0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的 200 名續(xù)保人的平均保費(fèi)為 0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為 1.192 5a.規(guī)律方法(1)解題的關(guān)鍵是根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析滿足條件的事件發(fā)生的頻數(shù)，計(jì)算頻率，用頻率估計(jì)概率.(2

11、)頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)(概率)，因此有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.【訓(xùn)練 2】 (2015北京卷)某超市隨機(jī)選取 1 000 位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“”表示購買， “”表示未購買.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁- 5 -1002172003008598(1)估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買 3 種商品的概率；(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙

12、、丁中哪種商品的可能性最大？解(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這 1 000 位顧客中有 200 位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為2001 0000.2.(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這 1 000 位顧客中，有 100 位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有 200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了 2 種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買 3 種商品的概率可以估計(jì)為1002001 0000.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為2001 0000.2，顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為1002003001 0000.6， 顧客同時(shí)購

13、買甲和丁的概率可以估計(jì)為1001 0000.1.所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.考點(diǎn)三互斥事件與對立事件的概率【例 3】 某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的 100 位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1 至4 件5 至8 件9 至12 件13 至16 件17 件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時(shí)間/(分鐘/人)11.522.53已知這 100 位顧客中一次購物量超過 8 件的顧客占 55%.(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過 2 分鐘的概率(將頻率視為

14、概率).解(1)由已知得 25y1055，x3045，- 6 -所以x15，y20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體， 所收集的 100 位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為 100 的簡單隨機(jī)樣本， 顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為1151.5302252.5203101001.9(分鐘).(2)記a表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過 2 分鐘”，a1，a2，a3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為 1 分鐘”、“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為 1.5 分鐘”、“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為 2 分鐘”.將頻率視為概率得p(a1)151

15、00320，p(a2)30100310，p(a3)2510014.因?yàn)閍a1a2a3，且a1，a2，a3彼此是互斥事件，所以p(a)p(a1a2a3)p(a1)p(a2)p(a3)32031014710.故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過 2 分鐘的概率為710.規(guī)律方法(1)求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來.結(jié)算時(shí)間不超過 2 分鐘的事件，包括結(jié)算時(shí)間為 2 分鐘的情形，否則會計(jì)算錯(cuò)誤.(2)求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由p(a

16、)1p(a)求解.當(dāng)題目涉及“至多”、“至少”型問題，多考慮間接法.【訓(xùn)練 3】 某商場有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)中，購滿 100 元商品得 1 張獎(jiǎng)券，多購多得.1 000 張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng) 1 個(gè)，一等獎(jiǎng) 10 個(gè)，二等獎(jiǎng) 50 個(gè).設(shè) 1 張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為a，b，c，求：(1)p(a)，p(b)，p(c)；(2)1 張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(3)1 張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.解(1)p(a)11 000，p(b)101 0001100，p(c)501 000120.故事件a，b，c的概率分別為11 000，1100，120.(2)1 張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、

17、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng).設(shè)“1 張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為m，則m- 7 -abc.a，b，c兩兩互斥，p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c)110501 000611 000.故 1 張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為611 000.(3)設(shè)“1 張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件n，則事件n與“1 張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對立事件，p(n)1p(ab)111 0001100 9891 000.故 1 張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為9891 000.思想方法1.對于給定的隨機(jī)事件a， 由于事件a發(fā)生的頻率fn(a)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率p(a)，因此可以用頻率fn(a)來估計(jì)概率p(a).2.對立事件不僅兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，而且二者必有一個(gè)