第二十五講輔助圓

1、-作者xxxx-日期xxxx第二十五講輔助圓【精品文檔】第二十五講 輔助圓 在處理平面幾何中的許多問題時，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決而我們需要的圓并不存在(有時題設中沒有涉及圓；有時雖然題設涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓>，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出來，添補輔助圓的常見方法有：zy6uLCVvwib5E2RGbCAP 1利用圓的定義添補輔助圓； 2作三角形的外接圓； 3運用四點共圓的判定方法： (1>若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個頂點共圓 (2>同底同側張等角的三角形，各頂點共圓 (3>若四邊形ABCD的對角線相交

2、于P，且PA·PC=PB·PD，則它的四個頂點共圓 (4>若四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線相交于P，且PA·PBPC·PD，則它的四個頂點共圓zy6uLCVvwip1EanqFDPw【例題求解】【例1】如圖，直線AB和AC與O分別相切于B、C，P為圓上一點，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，那么P到BC的距離為 zy6uLCVvwiDXDiTa9E3d思路點撥 連DF，EF，尋找PD、PE、PF之間的關系，證明PDFPFE，而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關鍵zy6uLCVvwiRTCrpUDGiT注

3、：圓具有豐富的性質(zhì)：(1>圓的對稱性；(2>等圓或同圓中不同名稱量的轉化； (3>與圓相關的角；(4>圓中比例線段適當發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復雜性，有時在圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓” zy6uLCVvwi5PCzVD7HxA【例2】 如圖，若PA=PB，APB=2ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，PD=3，則AD·DC等于( > zy6uLCVvwijLBHrnAILg A6 B7 C12 D16思路點撥 作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應用創(chuàng)設了條件注：到一個定點等距離的幾

4、個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法【例3】 如圖，在ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：ABC的外心O與A，P，Q四點共圓 zy6uLCVvwixHAQX74J0X思路點撥 先作出ABC的外心O，連PO、OQ，將問題轉化為證明角相等【例4】 如圖，P是O外一點，PA切O于A，PBC是O的割線，ADPO于D求證：思路點撥 因所證比例線段不是對應邊，故不能通過判定PBD與PCD相似證明PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D共圓，這樣連OB，就得多對相似三角形，以此達到證明的目的zy6uLCVvwiLDAYtRy

5、KfE注：四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉移，而且可直接運用圓的性質(zhì)為解題服務zy6uLCVvwiZzz6ZB2Ltk【例5】如圖，在ABC中，高BE、CF相交于H，且BHC=135°，G為ABC內(nèi)的一點，且GB=GC，BGC3A，連結HG，求證：HG平分BHFzy6uLCVvwidvzfvkwMI1思路點撥 經(jīng)計算可得A=45°，ABE，BFH皆為等腰直角三角形，只需證GHB=°zy6uLCVvwirqyn14ZNXI 由BGC=3A=

6、135°=GHC，得B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉化靈活的特點證明注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解學力訓練1如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)一點，且OPB=45°，PA：PB=5：14，則PB的長為 zy6uLCVvwiEmxvxOtOco2如圖，在ABC中，AB=AC=2，BC邊上有100個不同的點Pl、P2，P100，記<i=1，2，100），則= zy6uLCVvwiSixE2yXPq53設ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF，且其垂心H不與任一頂點重合，則由點A、B、C、D、

7、E、F、H中某四點可以確定的圓共有( > zy6uLCVvwi6ewMyirQFL A3個 B4個 C5個 D6個 4如圖，已知OA=OB=OC，且AOB=BOC，則ACB是BAC的( > A倍 B是倍 C D 5如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=998，CD=1001，AD=1999，點P在線段AD上，滿足條件的BPC=90°的點P的個數(shù)為( >zy6uLCVvwikavU42VRUs A0 B1 C2 1 D不小于3的整數(shù)6如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，SABC= 18，SDEC=2，則COSC等于( >zy6uLCVvwiy6v3ALoS89 A3 B C D7如圖；已知H是ABC三條高的交點，連結DF，DE，EF，求證：H是DEF的內(nèi)心8如圖，已知ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TDAB，TEAC求證：(1>AHD=AHE；(2> 9如圖，已知在凸四邊形ABCDE中，BAE=3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=求證：BAC=CAD=DAK，VghUZB5wvbM2ub6vSTnP10如圖，P是O外一點，PA和PB是O的切線，A，B為切點，P O與AB交于點M，過M任作O的弦CD求證：CPO=DPOVghUZB5wvb0YujCfmUCw11如圖，已知點P是O外一點，PS、PT是O的兩條切線