等差數列的前n項和公式

1、-作者xxxx-日期xxxx等差數列的前n項和公式【精品文檔】等差數列的前n項和公式教學設計 一、教學內容分析等差數列的前n項和公式是高等教育出版社數學基礎模塊下冊第六章的重要內容之一，本節(jié)課主要研究如何應用倒序相加法推導等差數列的前n項和公式以及該求和公式的應用等差數列在現實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的一類問題同時，求數列前n項和也是數列研究的基本問題，通過對公式推導，可以讓學生進一步掌握從特殊到一般的研究問題方法。它反映了從特殊到一般的數學思維形式，這對發(fā)展學生的思維能力、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識等方面有著重要的作用。二、學情分析任教的班級是一年級物流專業(yè)。1

2、、知識基礎：在本節(jié)課之前學生已經掌握了等差數列的通項公式，理解等差數列的基本性質，小學時對高斯算法有所了解，這三者形成了學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，為新課學習提供了基礎；2、認知水平與能力：學生初步具有一定的邏輯思維能力，但思維不夠深刻、片面、不嚴謹，對問題解決的一般性思維過程認識模糊3、班級學生特點：多數學生能積極主動參與數學學習，動手操作能力較強。但缺乏自信，同時渴望表現，渴望肯定。三、設計思想 建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動地建構知識的過程，因此，應該讓學生在具體的問題情境中經歷知識的生成與發(fā)展，讓學生利用自己的原有認知結構中相關的知識與經驗，自主地在教師的引導下促進對新知識的建

3、構在教學過程中，根據教學內容，從張丘建算經中等差數列的求和問題及泰姬陵陵寢三角形圖案中的圓寶石談起，結合小學高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的前n項和的求法以問題驅動任務完成為主線，通過設計一些從簡單到復雜、從特殊到一般、從具體到抽象的問題，層層鋪墊，步步深入，組織和啟發(fā)學生通過觀察、類比、聯想、猜測、實踐操作獲得公式的推導思路，并且充分引導學生展開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思考、學會學習四、教學目標 1、知識目標： 掌握等差數列的前n項和公式，并能用公式解決簡單的問題； 2、能力目標： 通過公式的探索、發(fā)現，體驗從特殊到一般的研究

4、方法，培養(yǎng)學生觀察猜想、類比分析、歸納總 結和邏輯推理的能力，滲透方程（組）思想.3、情感目標： 通過生動有趣的數學史故事，激發(fā)學生求知的欲望和探究的熱情，滲透數學文化，增強學生愛國主義情感。 五、教學重點和難點 重點：探索并掌握等差數列前n項和公式，學會用公式解決一些簡單問題； 難點：等差數列前n項和公式推導思路的獲得；關鍵點：首尾配對法引出倒序相加法.六、教學過程設計（一）創(chuàng)設情景，喚起學生知識經驗的感悟和體驗上節(jié)課同學們已經學習了等差數列的概念、通項公式和性質。其實，早在我國北朝時，張丘建在張丘建算經中就給出了等差數列的一些問題，例如：今有女子不善織布，每天所織的布以同數遞減，初日織五尺

5、，末一日織一尺，共織三十日，問共織幾何？這個涉及等差數列求和問題，本節(jié)課學習等差數列前n項和公式。世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？這個問題化為數學問題就是求1+2+3+100=？200多年前，被譽為“數學王子”的德國數學家高斯在10歲時，當老師提出這個問題后，很快就說出了答案，這是小學時就知道的一個故事，高斯的算法非常高明，請你想想他是怎樣算的？學情預設方案一：1+2+3+4+100=5050（逐個求和）。點評：方法可行，但是對于項數較多或數字較大的數列求和則不方便。方案二：（1

6、+100）+（2+99）+（3+98）+（50+51）=10150=5050 點評：方法巧妙。高斯就是這種方法。方案三：利用計算機“Excel”中的“”求得結果。點評：此法具有時代性，符合專業(yè)特點?！驹O計意圖】情境學習理論認為：數學學習總是與一定的知識背景，即“情境”相聯系通過富于人文氣息的歷史素材和有趣的數學史故事，激發(fā)學生求知的欲望和探究的熱情，并且可引導學生共同探討高斯算法更一般的應用，為新課的講解作鋪墊同時，方案三的提出使得教學具有針對性、時代性，體現職業(yè)教育課改理念。（二）由易到難，在自主探究與合作中學習問題1：第1層到第51層一共有多少顆寶石？該題組織學生分組討論，在合作中學習，并

7、把小組發(fā)現的方法一一呈現學情預設 學生可能出現以下求法方法1：原式（12252751）26方法2：原式（12350）51方法3：原式（125051+52）52方法4：原式0125051學生若將奇數個項問題轉化為偶數個項求解，教師應進行充分肯定與表揚【設計意圖】這是求奇數個項和的問題，若簡單地摹仿高斯算法，將出現不能全部配對的問題，借此滲透化歸思想 問題2：求1+2+n=？學情預設 學生通過激烈的討論后，發(fā)現n為奇數時不能配對，可能會分n為奇數、偶數的情況分別求解，教師如何引導學生避免討論成為該環(huán)節(jié)的關鍵啟發(fā)：讓學生利用班級收集起來的礦泉水瓶，擺出等差數列求和模型。引導學生理解高斯首尾配對法是“

8、首尾配”，也可說是“尾首配”。鼓勵學生操作，嘗試完成“首尾配”；（多媒體演示）在建筑中堆放的鋼材形成的三角形圖案左側倒放一個全等的三角形與原圖補成平行四邊形 通過以上啟發(fā)學生再自主探究，相信容易得出解法：1 + 2 + 3 +（n1） + n n +（n1）+ （n2）+ + 2 + 1_ (n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1)【設計意圖】在動手操作過程中，借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學生記憶深處的東西，為倒序相加法的出現提供了一個直接的模型。實現“做中學、做中教”的課改理念。該方法在生活中也有應用，體現教學貼近學生、貼近生活、貼近專業(yè)“三貼近”

9、原則，進一步體會倒序相加法的合理性。問題3： 在公差為d的等差數列an中，定義前n項和Sn=a1+a2+an，如何求Sn？讓學生觀察問題2的結果猜測求和公式，鼓勵學生類比問題2的解決方法完成對公式的推導。由前面的大量鋪墊，學生應容易得出如下過程：方案一：Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)d Sn=an + (and) +（an2d）+an(n1)d (公式1) 方案二：若m+n=p+q,則am+an=ap+aq （公式2） 組織學生討論：在公式1中若將an=a1+（n1）d代入又可得出哪個表達式?即： 【設計意圖】在等差數列前n項和公式的推導過程中，通過問題獲得

10、知識，讓學生經歷“提出問題分析問題解決問題”的過程. 【歸納小結】等差數列前n項和公式:師生共同剖析公式結構特點，明確知三求Sn,并引導學生由公式的結構特征類比聯想到梯形面積公式.【設計意圖】利用圖形的直觀性，深化對公式的記憶與理解。（三）設置典例，促進學生對公式的應用例1、在等差數列an中， （1）已知：a1=1，a10=10，求S10 ; （2）已知：a1=3，d = -2，求S10例2、已知等差數列an中，d=2，an=1，Sn= -8，求n.小結：在兩個求和公式中,各有五個元素,只要知道其中三個元素,結合通項公式就可求出另兩個元素.【設計意圖】“順”用公式，讓學生熟悉公式的要素與結構，

11、加深對公式的基本量意義的認識； “變”用公式可以培養(yǎng)學生思維的高度靈活性,滲透方程思想;小結及時給學生學法指導.（四）反饋調控，實現學生對知識的掌握1、教材P10練習；2、下面，大家試著給同桌出一個等差數列，然后用公式求出它的前n項和。典型展示：（1）1+2+3+n=？（2）1+3+5+（2n-1）=？（3）2+4+6+2n=？【設計意圖】拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實現“以人為本”的教育理念。 3、張丘建算經中關于等差數列求和問題：“今有女子不善織布，每天所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，共織

12、三十日，問共織幾何？”。 （術曰：并初、末織布數，半之，余以乘織訖日數，即得。）【設計意圖】體會付出就有回報。（五）回顧反思，深化知識組織學生分組共同反思本節(jié)課的教學內容及思想方法，小組之間互相補充完成課堂小結，實現對等差數列前n項和公式的再次深化1.等差數列前n項和公式：2.在兩個求和公式中,各有五個元素,只要知道其中三個元素,結合通項公式就可求出另兩個元素.； 【設計意圖】歸納總結，完成知識的建構； （六）布置作業(yè): 1、必做題：教材P11習題A組5、6題； 【設計意圖】鞏固知識，發(fā)現和彌補課堂學習中的不足，培養(yǎng)學生自覺學習的習慣. 2、課后思考：張丘建算經中關于等差數列求和又一問題：“今

13、有女子善織布，逐日所織的布以同數 遞增，初日織五尺，計織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？”。（一匹為四丈，一丈為十尺） 【設計意圖】為學有余地的學生思維發(fā)展提供平臺，進一步了解古代中國在數學方面取得的偉大成就，喚起生的愛國熱情。七、板書設計：¦¦¦¦¦¦¦¦¦¦ 等差數列的前n項和 張邱建算經問題1：問題2:一、等差數列的前n項和Sn二、公式推導（問題3）三、剖析公式公式1：公式2：四、例題及解答八、教學反思： 本節(jié)課沒有因為職專學生基礎知識薄弱，學習能力不強而直接給公式，否則的話，就如同波利亞所說的“帽子里跳出的兔子”。倒序相加法也只不過是美麗的傳說。所以在教學中對教材靈活處理，不回避教學困難，通過分解難點，迎難而上，通過師生共同努力，很好完成了教、學任務。師生之情、生生之誼在也合作交流中得到融洽，培育和諧的可持續(xù)發(fā)展的教學生態(tài)環(huán)境。體現了“以人為本”、“做中學、做中教”教學理念。