數(shù)列的十種典型遞推式

1、.1 十大遞推數(shù)列求通項(xiàng)：(1)等差數(shù)列：an=an-1+d 例1：已知：數(shù)列an中a1=1,an=an-1+3,(n2).求an的通項(xiàng)公式。 答an=3n-2.(2)等比數(shù)列： an=an-1q 例2：已知：數(shù)列an中a1=1,an=2an-1,(n2).求an的通項(xiàng)公式。 答an=. (3)似等差數(shù)列： an=an-1+f(n) 用疊加法。例3：已知：數(shù)列an中a1=1,an=an-1+3n+1,(n2).求an的通項(xiàng)公式。 答an=. (4)線性數(shù)列： an=pan-1+q 構(gòu)造等比數(shù)列。例4：已知：數(shù)列an中a1=3,an=2an-1-1,(n2).求an的通項(xiàng)公式。 答an=. (5

2、) 似等比數(shù)列： an=an-1f(n) 疊乘法。例5：已知：數(shù)列an中a1=3,an=nan-1,(n2).求an的通項(xiàng)公式。 答an=3n！. (6)三項(xiàng)遞推： an=pan-1+qan-2 設(shè)an+1-xan =y(an-xan-1),構(gòu)造一個(gè)或二個(gè)等比數(shù)列再通過等差數(shù)列或解方程組求出。例6：已知：數(shù)列an中a1=1,a2=3,an=3an-1-2an-2,(n3).求an的通項(xiàng)公式。 答an=2n-1.例7：已知：數(shù)列an中a1=1,a2=3,an=4an-1-4an-2,(n3).求an的通項(xiàng)公式。 答an=(n+1)2n-2.例8：已知：數(shù)列an中a1=1,a2=4,an=4an-

3、1-4an-2,(n3).求an的通項(xiàng)公式。 答an=n2n-1.例9：已知：數(shù)列an中a1=2,a2=3,an=5an-1-6an-2,(n3).求an的通項(xiàng)公式。 答an=3×2n-1-3n-1.例10：已知：數(shù)列an中a1=a,a2=b,an=an-1-an-2,(n3).求an的通項(xiàng)公式。 答周期為6.例11 (2006年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)(文史類)福建卷(新課程)（22）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列。 (7)似線性數(shù)列：an+1=pan+f(n) ，變?yōu)?，即化為（3）型。特別地型，還可以令，待定系

4、數(shù)x,y，構(gòu)造等比數(shù)列，要比通法簡(jiǎn)單。型，還可以令，待定系數(shù)x,y，構(gòu)造等比數(shù)列，要比通法簡(jiǎn)單。例12：已知：數(shù)列an中a1=5,an=3an-1+3n-1,(n2).求an的通項(xiàng)公式。 答(8)指數(shù)數(shù)列：an+1=pank ，取對(duì)數(shù)，化為（4）型。例13：已知：數(shù)列an中a1=4,an=an-13,(n2).求an的通項(xiàng)公式。 答an=.(9)分式遞推：。原理：設(shè)，先待定s,r的值，再取倒數(shù)。得：，令，化為：bn+1=abn+c型，下略。求法：在上述原理中，稱r為的特征根。特征根的求法除了按上述方法逐步進(jìn)行外，也可令，解關(guān)于x的方程，得出方程的根x1，x2即為特征根r1,r2.至此法（）令，

5、再根據(jù)原式中分子的的系數(shù)待定出s，既可求解。法（）令，得an=,將該式代入已知等式即得bn的遞推關(guān)系。先求出bn,再求an。 注：該法更容易用。例14（2006年奧林匹克競(jìng)賽山東省賽區(qū)預(yù)選賽19題，即最后一題）已知：數(shù)列an滿足an+1an+3an+1+an+4=0,(n2).（1）當(dāng)a1=-1時(shí), 求an的通項(xiàng)公式。（2）當(dāng)a1=-2.03時(shí),求an的最小值和最大值。（3）當(dāng)a2006是an中的最小項(xiàng)時(shí)，求a1的取值范圍。答（1）an=-2+.(2)a34最小為-5;a35最大為-.(3).例15 在數(shù)列an中，a1=4,且an+1=,求an。答：。例16 已知曲線C：，過C上一點(diǎn)作斜率為的

6、直線交曲線C于另一點(diǎn)，點(diǎn)列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中。（）求與的關(guān)系式；（）求證：是等比數(shù)列；（）求證：。答案：（），（），（）由（）知，（）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 。（）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上所述：。（10）f(an,Sn)=0 構(gòu)造f(an-1,Sn-1)=0,兩式相減。 （11）兩個(gè)數(shù)列的遞推。若數(shù)列an,bn滿足（n2）。構(gòu)造an+xbn=y(an-1+xbn-1)求解。例16 已知：數(shù)列an，bn滿足（n2）且a1=2,b1=3,求an,bn的通項(xiàng)公式。 答： .例17 已知：數(shù)列an，bn滿足（n2）且a1=10,b1=8,求an,bn的通項(xiàng)公式。答：an=9+ ,bn=. （12） 周期數(shù)列例1

7、8 已知：數(shù)列an中a1=a,a2=b,an=an-1-an-2,(n3).求an的通項(xiàng)公式。 答：a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b,a7=a,a8=b,故an是周期為6的數(shù)列。例19 已知：數(shù)列an中a1=a, an=,(n2).求an的通項(xiàng)公式。 答：故an是周期為3的數(shù)列。注：特別地，a1=0時(shí)，常為考題。例20 已知：數(shù)列an中a1=1, an=,(n2).求an的通項(xiàng)公式。答：a1=1, .故an是周期為6的數(shù)列。例21 已知：數(shù)列an中a1=a, an=,(n2).求an的通項(xiàng)公式。答：。故an是周期為4的數(shù)列。2 數(shù)列求和中常用的拆裂項(xiàng)方法。（1） 若an