淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用 3

1、 2014屆本科生畢業(yè)論文目 錄摘 要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words21. 數(shù)形結(jié)合思想方法概述31.1 數(shù)形結(jié)合思想的研究背景31.2 數(shù)形結(jié)合思想的概念31.3 數(shù)形結(jié)合思想的研究意義及作用42. 數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)、地位43. 數(shù)形結(jié)合的原則54. 數(shù)形結(jié)合在解題中的運(yùn)用54.1 由數(shù)思形54.2 以形思數(shù)95. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的一些教學(xué)措施126. 正確使用數(shù)形結(jié)合的思想12參考文獻(xiàn)13致 謝13淺談數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用 摘 要 數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本最主要的研究對(duì)象，數(shù)與形緊密相連，相互滲透.在一些特定的條件下相互轉(zhuǎn)化這就是“數(shù)形結(jié)合”思想.數(shù)形結(jié)合思想是一

2、種非常重要的數(shù)學(xué)解題方法，在數(shù)學(xué)學(xué)科中占有重要地位.它將幾何與代數(shù)相結(jié)合利用數(shù)形之間相互轉(zhuǎn)換，分析題中的數(shù)量關(guān)系化繁為簡(jiǎn)，化難為易.本文簡(jiǎn)要概述了數(shù)形結(jié)合的研究背景及意義，分析了數(shù)形結(jié)合在中學(xué)解題中的應(yīng)用.通過分析、比較和歸納充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在解題中的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)我們應(yīng)將數(shù)形結(jié)合思想融匯到實(shí)際教學(xué)的課堂中，加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提高學(xué)生的解題能力和思維能力.關(guān)鍵詞 數(shù)與形； 數(shù)形結(jié)合； 中學(xué)數(shù)學(xué)The combination of number and shape in the problem solving&

3、#160; applicationAbstract Number and shape are the two most fundamental and most important object of study in mathematics, and they have close relationship . In some specific conditions they can be converted to one another .which is named the combination of number and shape .Number and shape Union w

4、as thought of as a very important method of mathematical problem solving, occupies an important place in mathematics. It is a combination of geometry and algebra to use conversion between number and shape, analysis problem of the relation between the quantity ,change numerous for brief ,hard for eas

5、y . This article mainly introduces: the research background and significance of the combination of number and shape, and analyzes the application of the number and shape thought in problem solving in the middle school .Through the analysis ,comparison and induction, it shows the combination of numbe

6、r and shape thoughts characteristic and advantages in the problem solving. In the practical teaching of integrated classrooms we should form together with this thought to the classroom, training, and improve their awareness of the combination of number and shape, improving students ' ability to

7、solve problems and thinking ability.Key words Number and shape;   The combination of number and shapes   The mathematics of the middle school 0 引言 在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想中學(xué)階段的基本數(shù)學(xué)思想包括：分類討

8、論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、變換與轉(zhuǎn)化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等等中學(xué)數(shù)學(xué)中處處滲透著基本數(shù)學(xué)思想，如果能使它落實(shí)到學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)上，它就能在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能在這些數(shù)學(xué)思想方法中數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的方法，它貫穿于整個(gè)中學(xué)課程.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.”對(duì)于一些幾何信問題，如果我們想辦法將幾何圖形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，消弱或消除“形”的推理部分，使所要解決的“形”的問題歸結(jié)為數(shù)量關(guān)系的問題去研究.這樣的解題思路就比較明確，規(guī)律性比較強(qiáng)，因此也

9、就容易找到解決問題的方法.當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中，往往不是單一的，也不是絕對(duì)的.一方面，“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題去研究，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺啟示.另一方面，“數(shù)”的問題同樣也可以借助于“形”解決.將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.以獲得精確的結(jié)論，這樣“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透.不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要途徑.1 數(shù)形結(jié)合思想方法概述 1.1 數(shù)形結(jié)合思想的研究背景    數(shù)學(xué)以數(shù)量關(guān)系和空間形式作為研究的對(duì)象，而數(shù)和形即是

10、相互關(guān)聯(lián)的，又可以相互轉(zhuǎn)化.   早在數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期，人們?cè)诙攘块L(zhǎng)度、面積和體積的過程中，就把數(shù)和形式聯(lián)系起來了.我國宋元時(shí)期，系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問題代數(shù)畫化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形之間的幾何關(guān)系表達(dá)成代數(shù)式之間的代數(shù)關(guān)系.  “數(shù)形結(jié)合”一詞正式出現(xiàn)在華羅庚先生于1964年1月撰寫的談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的科普小冊(cè)子中.“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用大致又可以分為兩種情形：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種是“以形助數(shù)”.“以數(shù)解形”就是有些圖形過于簡(jiǎn)單，直觀觀察看不出什么規(guī)律，這時(shí)就需要給圖形賦值，比如邊長(zhǎng).角度等等.“以形助數(shù)”是指把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化

11、為可視化圖形，可避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法.1.2 數(shù)形結(jié)合思想的概念  數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想和方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系  數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題

12、便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷 數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中應(yīng)用廣泛，如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀可以輕松的找到解題途徑，同時(shí)也避免了復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過程這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野  數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：首先要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)

13、學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；然后是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；最后是正確確定參數(shù)的取值范圍  縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果1.3 數(shù)形結(jié)合思想的研究意義及作用    數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)教學(xué)中有著重要的研究意義.首先，“數(shù)形結(jié)合”能更好幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握與記憶.例如：在研究函數(shù)時(shí)，可以利用函數(shù)圖形來記憶有關(guān)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，像函數(shù)的定義域.值域.單調(diào)性.奇偶性.周期性.有界性以及凹凸性等. 其次，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直

14、覺思維能力.第三，數(shù)形結(jié)合思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.第四，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.  “數(shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)言之就是：見到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合對(duì)啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用.在中學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合已成為一條重要的教學(xué)原則.2 數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)、地位  所謂數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，一方面借助數(shù)的精確性來闡述形的某些屬性，另一方面借助形的直觀性來闡述數(shù)量之間的關(guān)系.“書缺形，少直觀；形缺

15、數(shù)，難入微”，這是華羅庚教授對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻，透徹的闡釋.集體的說，就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的背景、數(shù)量關(guān)系、圖形特征或使“數(shù)”的問題，借助“形”去觀察；或?qū)ⅰ靶巍钡膯栴}，借助“數(shù)”去思考，這種解決的思想稱為數(shù)形結(jié)合思想.  事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合思想，就是用聯(lián)系的觀點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的圖形，利用圖形的性質(zhì)和規(guī)律，解決“數(shù)”的問題；或?qū)D形的部分信息或全部信息轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的信息，弱化或消除“形”的推理，從而將“形”的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系來解決.利用數(shù)形結(jié)合，能夠有效地講解有關(guān)基本概念、定理，培養(yǎng)學(xué)生的能力，解題中運(yùn)用它能夠使復(fù)雜的問題“形象”、明了化，提高學(xué)生分

16、析，解決問題的能力等. 3 數(shù)形結(jié)合的原則 (1)等價(jià)性原則 等價(jià)性原則是指代數(shù)性質(zhì)與幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換應(yīng)該是等價(jià)的，否則解題會(huì)出現(xiàn)漏洞.有時(shí)由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)的圖形性質(zhì)只是一種直觀而顯淺的說明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo). (2)雙向性原則 雙向性原則是進(jìn)行幾何直觀分析，又進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析是一種天真的誤解. (3)簡(jiǎn)單性原則 簡(jiǎn)單性原則指找到解題思路之后，至于用幾何方法還是代數(shù)方法或者兼用兩種方法來敘述，取決于那種方法更加優(yōu)美、更加簡(jiǎn)單或更便于達(dá)到教學(xué)目的.而不是像一種流行的模式那樣：代數(shù)問題用幾何方法，幾

17、何問題用代數(shù)方法.4 數(shù)形結(jié)合在解題中的運(yùn)用4.1 由數(shù)思形 例1 已知全集|取不大于30的質(zhì)數(shù)，集合是全集的兩個(gè)子集，且,求集合. 解 由于本題涉及的集合較多，所以我們通過畫圖求解.如圖1：371119 29217513 23圖1 ，用圖形表示出來，及，得， ，. 例2 已知集合|,其中.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_. 解析 本題如果單純的用代數(shù)計(jì)算比較繁瑣，可利用數(shù)形結(jié)合思想解決.本題的實(shí)質(zhì)是圓在直線的上方如圖2所示： 圖2設(shè)，代入，得-,即，即對(duì)任意恒成立，故只要，即 解得 -,故填 例3 設(shè)a分別是方程 和的根，則_. 解析 用代數(shù)法解方程是很難解出來的但用數(shù)形結(jié)合的方法就很好解

18、決了.依題意，分別作出函數(shù) 及的圖像.如圖3 1       O1 圖3曲線與，與的交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)即為，可知、關(guān)于直線對(duì)稱，由方程組得C的坐標(biāo)為（2,2） 例4 如果實(shí)數(shù)滿足等式，那么的最大值為（ ）A B C D 解析 乍一看，形式上是一道代數(shù)題，站在代數(shù)的角度看，令人茫然無措，對(duì)關(guān)系式化為，很自然地與圓的方程聯(lián)系起來，而恰為點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，這便把問題與“形”結(jié)合起來.問題相當(dāng)于如下的幾何問題：動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求直線的斜率的最大值.觀察圖形易得：當(dāng)在第一象限，并且與圓相切時(shí)，的斜率最大，如圖4 PC 圖4這時(shí) 即 的斜率最大值為

19、. 例5 設(shè)變量在區(qū)間(0,1)中取值，試證：<1.+A 解析 本題直接證不好證明，由左邊的輪換式可以聯(lián)想到面積，由于變量在區(qū)間(0,1)中取值構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形.將這些關(guān)系統(tǒng)一在一個(gè)不等式中，可得到如下簡(jiǎn)潔而優(yōu)美的解法.  圖5如圖5，正三角形邊長(zhǎng)為1，設(shè)點(diǎn)分別在邊BC、CA和AB上，且有, , , 則， ， =, =, =+<+<即 <1，結(jié)論得證.4.2 以形思數(shù) 例6 在正的外接圓弧內(nèi)任取一點(diǎn)，連求證； ； ； 圖6 解析 如果單純的用幾何方法證明的話需要分別證明這幾個(gè)結(jié)論，比較繁瑣.但用代數(shù)方法則可以統(tǒng)一完成.首先由、知， 應(yīng)是二次方程的兩個(gè)

20、根，其中為正的邊長(zhǎng).因而有 ， .這就啟示我們用余弦定理.證明: 記正的邊長(zhǎng)為，首先 時(shí)可以直接驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，分別在,中用余弦定理，有 =,及 , 即 這表明 PB ，PC是二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.由韋達(dá)定理有 又由方程有實(shí)數(shù)根，知判別式非負(fù) 即 又由將 代入得 =即 例7 （2008海南卷，理科）已知點(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)，的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ ） 解析 點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí), 點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和也取得最小值,這樣就可以把點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)為到準(zhǔn)線的距離求出如圖7.  圖7

21、解 點(diǎn)，在拋物線的內(nèi)部,要使點(diǎn)到點(diǎn)的 距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值,根據(jù)拋物線的定義知,須使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線 距離之和取得最小,即垂直準(zhǔn)線時(shí)最小.則æ故選5 正確使用數(shù)形結(jié)合的思想  “數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象，不僅統(tǒng)一而且對(duì)立.所以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，我們要注意“數(shù)”與“形”的原則.在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，我們不能只做草圖，所以在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解題時(shí)應(yīng)注意三個(gè)問題： 1、要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義，以及曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系 2、通過坐標(biāo)系做好“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化3、準(zhǔn)確確定變量的取

22、值范圍  通過以上的探討，我們應(yīng)經(jīng)初步領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合在解題中的美妙所在了.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的廣泛應(yīng)用，滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程之中，在解題時(shí)我們需要平時(shí)多注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，有意識(shí)地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)思維水平.參考文獻(xiàn)1李晉彪. 談?wù)剶?shù)形結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用J. 太原教育學(xué)院學(xué)報(bào) , 2003,12(3):06-09 .2羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論M.陜西:陜西師范大學(xué)出版社.1996.385-407.3 王繁. 淺談初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想J. 成都教育學(xué)院學(xué)報(bào)2006，6(4):10-12. 4 張宏良. 淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想J. 衡水學(xué)院學(xué)報(bào)2005(2):13-15. 5喬家瑞.高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧(第一版M）.北京:首都師范大學(xué)出版社,1994.120-1