實(shí)數(shù)集完備性的基本定理課件

1、第七章第七章 實(shí)數(shù)的完備性實(shí)數(shù)的完備性 1 1 關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理 2 2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 1 1 關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理 一、區(qū)間套定理與柯西收斂準(zhǔn)則一、區(qū)間套定理與柯西收斂準(zhǔn)則 二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理 三、實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性三、實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性 若若 是一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)是一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)系中存在唯一的一點(diǎn) , ,nnab 構(gòu)成區(qū)間套的閉區(qū)間列是前一個(gè)構(gòu)成區(qū)間套的閉區(qū)間列是前一個(gè)套者后套者后一個(gè)， 一、區(qū)間套定理與柯西

2、收斂準(zhǔn)則一、區(qū)間套定理與柯西收斂準(zhǔn)則 （i）11,1,2,;nnnnababn (ii)lim()0nnnba 或簡(jiǎn)稱或簡(jiǎn)稱區(qū)間套區(qū)間套 這里的性質(zhì)（這里的性質(zhì)（i i）表明，）表明， 即各閉區(qū)間的端點(diǎn)滿足如下不等式即各閉區(qū)間的端點(diǎn)滿足如下不等式 1221nnaaabbb (1)(1) 定理定理7.17.1（區(qū)間套定理）（區(qū)間套定理） 使得使得 ,1,2,.nnab n 即即 ,1,2,.nnabn (2) (2) 設(shè)閉區(qū)間列設(shè)閉區(qū)間列 ,nnab 具有如下性質(zhì)具有如下性質(zhì) 則稱則稱 ,nnab為為閉區(qū)間套閉區(qū)間套， 定義定義1 1且有且有 分析分析 即要證明閉區(qū)間列即要證明閉區(qū)間列 ,1,

3、2,nnabn 有唯一的公共點(diǎn)，有唯一的公共點(diǎn)， 所以首先我們要至少找到一個(gè)公共點(diǎn)，所以首先我們要至少找到一個(gè)公共點(diǎn)， 式和單調(diào)有界定理可以知道數(shù)列式和單調(diào)有界定理可以知道數(shù)列 由（由（1 1） na和和 nb都存在極限，都存在極限， 只要證明這兩個(gè)數(shù)列極限相等且屬于所有的只要證明這兩個(gè)數(shù)列極限相等且屬于所有的 我們我們 ,1, 2,nnabn 則則找到一找到一個(gè)個(gè)公共點(diǎn)公共點(diǎn); ; 然后證明唯一性然后證明唯一性. . 證證由（）式，由（）式， na為遞增有界數(shù)列，為遞增有界數(shù)列， 依單調(diào)有界定理，依單調(diào)有界定理， na有極限有極限 , , ,1,2,.nan （3）同理，遞減有界數(shù)列也有極限

4、，同理，遞減有界數(shù)列也有極限， 并按區(qū)間套的條件并按區(qū)間套的條件（ii）有有 limlimnnnnba （4）且且 ,1,2,.nbn （5）聯(lián)合（聯(lián)合（3）、（）、（5）即得（）即得（2）式）式. 最后證明滿足（最后證明滿足（2）的）的 是唯一的是唯一的 設(shè)數(shù)設(shè)數(shù) 也滿足也滿足 ,1,2,.nnab n 區(qū)間套定理中要求各個(gè)區(qū)間都是區(qū)間套定理中要求各個(gè)區(qū)間都是閉區(qū)間閉區(qū)間，才能保證，才能保證定理的結(jié)論成立定理的結(jié)論成立,1,2,.nnban 由區(qū)間套的條件（由區(qū)間套的條件（ii）得）得 lim0,nnnba 故有故有 . 注注1 對(duì)于開(kāi)區(qū)間列，有可能不成立對(duì)于開(kāi)區(qū)間列，有可能不成立,如如 ,

5、 10,n雖然其中各個(gè)開(kāi)區(qū)間也是前一個(gè)包含后一個(gè)，雖然其中各個(gè)開(kāi)區(qū)間也是前一個(gè)包含后一個(gè)， 且且 ， 1lim(0)0nn但不存在屬于所有開(kāi)區(qū)間的公共點(diǎn)但不存在屬于所有開(kāi)區(qū)間的公共點(diǎn) 則由（）式有則由（）式有 前者是區(qū)間套定理本身?xiàng)l件的要求前者是區(qū)間套定理本身?xiàng)l件的要求 保證諸區(qū)間保證諸區(qū)間 后者則把后者則把證明整個(gè)區(qū)間證明整個(gè)區(qū)間 上所具有某性質(zhì)的問(wèn)題歸結(jié)為上所具有某性質(zhì)的問(wèn)題歸結(jié)為 點(diǎn)鄰域點(diǎn)鄰域 的性質(zhì)，的性質(zhì)， 應(yīng)用區(qū)間套定理的關(guān)鍵是針對(duì)要證明的數(shù)學(xué)命題，應(yīng)用區(qū)間套定理的關(guān)鍵是針對(duì)要證明的數(shù)學(xué)命題， 恰恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造區(qū)間套當(dāng)?shù)貥?gòu)造區(qū)間套.注注2 2 一方面，這樣的區(qū)間套必須是一方面，這樣的區(qū)

6、間套必須是閉閉、縮縮、套套，即閉區(qū)間列即閉區(qū)間列 . ,nnab滿足（滿足（i）11,1,2,;nnnnababn(ii)lim()0.nnnba另一方面，也是最重要的，要把欲證命題的本質(zhì)屬性保留在另一方面，也是最重要的，要把欲證命題的本質(zhì)屬性保留在區(qū)間套的每一個(gè)閉區(qū)間中，區(qū)間套的每一個(gè)閉區(qū)間中， 存在唯一公共點(diǎn)存在唯一公共點(diǎn) , (1,2,)nna bn , a b ( , )U 實(shí)現(xiàn)完滿整體向局部的轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)完滿整體向局部的轉(zhuǎn)化. 由（由（4）容易推的如下很有用的區(qū)間套性質(zhì)）容易推的如下很有用的區(qū)間套性質(zhì) . 使得在每個(gè)使得在每個(gè) 外只有數(shù)列外只有數(shù)列 中有限項(xiàng)中有限項(xiàng). 要使用區(qū)間套定理證

7、明充要使用區(qū)間套定理證明充分性，關(guān)鍵是如何構(gòu)造合適的區(qū)間套，使其公共點(diǎn)正好是數(shù)列分性，關(guān)鍵是如何構(gòu)造合適的區(qū)間套，使其公共點(diǎn)正好是數(shù)列的極限的極限. 對(duì)任給的對(duì)任給的 ,存在存在 ,使得對(duì)使得對(duì) ,的的 ， 0 存在存在 ,使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 0N nN ,(;)nnabU 作為區(qū)間套定理的應(yīng)用，我們來(lái)證明第二章中敘述而未證明的作為區(qū)間套定理的應(yīng)用，我們來(lái)證明第二章中敘述而未證明的“數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則（定理數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則（定理.）.即即 數(shù)列數(shù)列 收斂的充要條件是：收斂的充要條件是： na0 0N ,m nN 有有 . mnaa 分析分析 由數(shù)列極限定義易證得必要性；由數(shù)列極限定義易證

8、得必要性； 我們將對(duì)柯西列我們將對(duì)柯西列 構(gòu)造區(qū)間套構(gòu)造區(qū)間套 na ,nn ,nn na推論推論 若若 是區(qū)間套所確定的點(diǎn)則對(duì)任給是區(qū)間套所確定的點(diǎn)則對(duì)任給 ,(1,2,)nnabn 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)含有內(nèi)含有 中幾乎所有的項(xiàng)，中幾乎所有的項(xiàng)， 存在存在 ，使得使得對(duì)一切對(duì)一切 有有 , 即在區(qū)間即在區(qū)間 內(nèi)含有內(nèi)含有 中幾乎所有的項(xiàng)中幾乎所有的項(xiàng) 對(duì)任給的對(duì)任給的 ,存在存在 ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 證證必要性必要性設(shè)設(shè) 由數(shù)列極限定義由數(shù)列極限定義,lim.nnaA 0 0N ,m nN ,22mnaAaA 因而因而 .22mnmnaaaAaA 充分性充分性按假設(shè)按假設(shè),對(duì)任給的對(duì)任給的 ,0

9、 0N n N nNaa ,NNaa na (這里及以下這里及以下,為敘述簡(jiǎn)單起見(jiàn)為敘述簡(jiǎn)單起見(jiàn),我們用我們用“ 中幾乎中幾乎所有的項(xiàng)所有的項(xiàng)”表示表示“ 中除有限項(xiàng)外的所項(xiàng)中除有限項(xiàng)外的所項(xiàng)”). na na據(jù)此據(jù)此，令令 則存在則存在 ，1,2 1N1111,22NNaa na記這個(gè)區(qū)間為記這個(gè)區(qū)間為11,. 則存在則存在 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)含有內(nèi)含有 中中幾乎所有的項(xiàng)幾乎所有的項(xiàng).再令再令21,2 21()NN 222211,22NNaa na記記2222112211,22NNaa 它也含有它也含有 中幾乎所有的項(xiàng)，中幾乎所有的項(xiàng)， na且滿足且滿足1122221,.2 及及繼續(xù)依次令繼續(xù)

10、依次令311,22n 照以上方法得一閉區(qū)間列照以上方法得一閉區(qū)間列 ,nn 其中每個(gè)區(qū)間都含其中每個(gè)區(qū)間都含 中幾乎所有的項(xiàng)，中幾乎所有的項(xiàng)， na且滿足且滿足11,1, 2,nnnnn 110,2nnnn 本證明中的關(guān)鍵是構(gòu)造合適的區(qū)間套，使其公共點(diǎn)正好是數(shù)本證明中的關(guān)鍵是構(gòu)造合適的區(qū)間套，使其公共點(diǎn)正好是數(shù)列的極限列的極限.即即 是區(qū)間套是區(qū)間套. ,nn 由區(qū)間套定理，存在唯一的一個(gè)數(shù)由區(qū)間套定理，存在唯一的一個(gè)數(shù) ,(1,2,).nnn 現(xiàn)在證明數(shù)現(xiàn)在證明數(shù) 就是數(shù)列就是數(shù)列 的極限的極限. na事實(shí)上，由定理事實(shí)上，由定理7.17.1的推論，的推論， 對(duì)任給的對(duì)任給的 ，存在，存在

11、使得當(dāng)使得當(dāng) nN 時(shí)有時(shí)有0 0,N ,( ; ).nnU 因此在因此在 內(nèi)含有內(nèi)含有 中除有限項(xiàng)外的所有項(xiàng)中除有限項(xiàng)外的所有項(xiàng).( ; )U na這就證得這就證得 .limnna 注意本證明中構(gòu)造區(qū)間套的方法，我們可由此體會(huì)到注意本證明中構(gòu)造區(qū)間套的方法，我們可由此體會(huì)到在處理具體問(wèn)題時(shí)構(gòu)造區(qū)間套的思想方法在處理具體問(wèn)題時(shí)構(gòu)造區(qū)間套的思想方法. .注注 若若 的臨域內(nèi)都含有的臨域內(nèi)都含有 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)則稱中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)則稱 為集為集 的一個(gè)的一個(gè)聚點(diǎn)聚點(diǎn). 點(diǎn)集點(diǎn)集 只有一個(gè)聚點(diǎn)只有一個(gè)聚點(diǎn) 存在存在 在在 中至中至多包含中多包含中 有限多個(gè)點(diǎn)有限多個(gè)點(diǎn). 又若又若 為開(kāi)區(qū)間為開(kāi)區(qū)間(a,b

12、)(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)以及端內(nèi)每一點(diǎn)以及端點(diǎn)點(diǎn)a、b都是都是S的聚點(diǎn)；的聚點(diǎn)； 任何有限數(shù)集也任何有限數(shù)集也沒(méi)有聚點(diǎn)沒(méi)有聚點(diǎn). (它可以屬于它可以屬于 也可也可以不屬于以不屬于 )定義定義2 2 設(shè)設(shè) 為數(shù)軸上的點(diǎn)集為數(shù)軸上的點(diǎn)集 為定點(diǎn)為定點(diǎn) S SS S S點(diǎn)集點(diǎn)集 有兩個(gè)聚點(diǎn)有兩個(gè)聚點(diǎn) 和和1( 1)nSn 11 21; 1Sn 0; S而正整數(shù)集而正整數(shù)集 沒(méi)有聚點(diǎn)，沒(méi)有聚點(diǎn)，N 注注1 點(diǎn)集的點(diǎn)集的 聚點(diǎn)可以屬于聚點(diǎn)可以屬于 ，也可以不屬于，也可以不屬于 ；SSS注注2設(shè)設(shè) 是數(shù)集，不是的是數(shù)集，不是的 聚點(diǎn)聚點(diǎn) SS00 0( ;)U S二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理二、聚點(diǎn)定理與有限覆

13、蓋定理 則其極限則其極限 稱為稱為S S的一個(gè)的一個(gè)聚點(diǎn)聚點(diǎn). . 若點(diǎn)若點(diǎn) 的任何鄰域的任何鄰域 內(nèi)都含有內(nèi)都含有 中異于中異于 的點(diǎn)，的點(diǎn)，聚點(diǎn)概念的另兩個(gè)等價(jià)定義如下聚點(diǎn)概念的另兩個(gè)等價(jià)定義如下 定義定義 2對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集 ， S S 即即 ， ( ; )US 則則 稱為稱為S的一個(gè)的一個(gè)聚點(diǎn)聚點(diǎn). 定義定義2 若存在各項(xiàng)互異的收斂數(shù)列若存在各項(xiàng)互異的收斂數(shù)列 ， nxS limnnx 關(guān)于以上三個(gè)定義等價(jià)性的證明，我們簡(jiǎn)述如下關(guān)于以上三個(gè)定義等價(jià)性的證明，我們簡(jiǎn)述如下. .1 1）定義）定義2 2 定義定義 是顯然的是顯然的; ;2 2 2）定義）定義 定義定義2 2也不難得到也不難

14、得到; ;2 3 3）定義）定義 定義定義 . . 2 2 而取而取 則是為了保證點(diǎn)則是為了保證點(diǎn)列的各相互異性列的各相互異性. .令令 , , , ,則存在則存在 且顯然且顯然 . . 則對(duì)任給的則對(duì)任給的 , ,存在存在 ，證證 設(shè)設(shè) 為為 ( (按定義按定義) )的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), , S211min(,)2x 0 ( ; )oxUS 令令 則存在則存在 11 11( ;);oxUS 令令 22( ;)oxUS 21;xx 11min(,)nnxn 則存在則存在 且且 ( ;),onnxUS 11,nnxxx 與與互互異異無(wú)限地重復(fù)以上步驟，得到中各項(xiàng)互異的數(shù)列無(wú)限地重復(fù)以上步驟，得到中各項(xiàng)

15、互異的數(shù)列. . 且由且由 , , 易見(jiàn)易見(jiàn) . . 1nnxn limnnx 注注 本證明中取本證明中取 , 為了保證數(shù)列收斂到為了保證數(shù)列收斂到 . .1nn 因此可以取其他的小量因此可以取其他的小量; ;1|nnx 注意這種技巧！注意這種技巧！故存在故存在 使得使得 , , 其中必有一子其中必有一子區(qū)間內(nèi)包含中無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，區(qū)間內(nèi)包含中無(wú)限多個(gè)點(diǎn)， 因?yàn)闊o(wú)限點(diǎn)集因?yàn)闊o(wú)限點(diǎn)集, ,故兩個(gè)區(qū)間中至少有一故兩個(gè)區(qū)間中至少有一個(gè)含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)個(gè)含有中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn), ,記此子區(qū)間為記此子區(qū)間為 . .把區(qū)間把區(qū)間 二等分，二等分，S , Sa b ,baS0,M ,SM M 11,a bM M 22

16、,a b1122,abab 22111()2babaM 應(yīng)用區(qū)間套定理來(lái)證聚點(diǎn)定理應(yīng)用區(qū)間套定理來(lái)證聚點(diǎn)定理定理定理. .( (魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯(Weierstrass)(Weierstrass)聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理) ) 實(shí)軸上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)實(shí)軸上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn). .分析分析 為有界點(diǎn)集，為有界點(diǎn)集， 繼續(xù)上述步驟，可得一區(qū)間套，再證繼續(xù)上述步驟，可得一區(qū)間套，再證其公共點(diǎn)即為的聚點(diǎn)其公共點(diǎn)即為的聚點(diǎn) . .證證為有界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集, ,記記現(xiàn)將等分為兩個(gè)子區(qū)間現(xiàn)將等分為兩個(gè)子區(qū)間. . 且且 則其中至少有一個(gè)子區(qū)間則其中至少有一個(gè)子區(qū)間含有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)

17、，含有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，再將再將 等分為兩個(gè)子區(qū)間，等分為兩個(gè)子區(qū)間，22,a b33,a b2233,a ba b 33221()22Mbaba ,.nnab111,1,2,20(),2nnnnnnnababnMban 則取出這樣的一個(gè)子區(qū)間，則取出這樣的一個(gè)子區(qū)間，記為記為 . . 將此等分子區(qū)間的手續(xù)無(wú)限地進(jìn)行下去，得到一個(gè)區(qū)間列將此等分子區(qū)間的手續(xù)無(wú)限地進(jìn)行下去，得到一個(gè)區(qū)間列 它滿足它滿足 且其中每一個(gè)閉區(qū)間都含且其中每一個(gè)閉區(qū)間都含 中無(wú)窮中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)多個(gè)點(diǎn). .即即 是區(qū)間套，是區(qū)間套， ,nnab S由區(qū)間套定理，由區(qū)間套定理， 存在唯一的一點(diǎn)存在唯一的一點(diǎn) ,1,2,.nnabn

18、于是由定理于是由定理7.17.1的推論，的推論， 對(duì)任給的對(duì)任給的 , ,存在存在0 0,N 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) nN ,( ; )nnabU 從而從而 內(nèi)含有內(nèi)含有 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)， ( ; )U S按定義按定義2 2 為為 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). . S推論推論（致密性定理）（致密性定理） 有界數(shù)列必有收斂子列有界數(shù)列必有收斂子列證證 設(shè)設(shè) 為有界數(shù)列為有界數(shù)列 nx若若 中有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng)，中有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng)， nx則由這些項(xiàng)組成的子列是一個(gè)常數(shù)列，而常數(shù)列總是收則由這些項(xiàng)組成的子列是一個(gè)常數(shù)列，而常數(shù)列總是收斂的斂的 當(dāng)當(dāng) 有有先證明先證明 是有界的是有界的. .設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 滿足柯西

19、條件滿足柯西條件. . 點(diǎn)集點(diǎn)集 至少有一個(gè)聚點(diǎn)，記為至少有一個(gè)聚點(diǎn)，記為 存在存在 的一個(gè)收斂子列（以為其極限）的一個(gè)收斂子列（以為其極限）. . 于是按定義于是按定義 ， 則則 在數(shù)軸上的在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集必為有界無(wú)限點(diǎn)集，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集必為有界無(wú)限點(diǎn)集，若數(shù)列若數(shù)列 不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng)，不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng)，作為致密性定理的應(yīng)用，我們用它重證數(shù)列的柯西收斂作為致密性定理的應(yīng)用，我們用它重證數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則中的充分性準(zhǔn)則中的充分性 . nx nx nx 2 nx na na11mNnN 及及11.nNaa 11111| | | 1.nnNNnNNNaaaaaaaa 121max,1

20、,NNMaaaa 故由聚點(diǎn)定理，故由聚點(diǎn)定理，證證 為此為此, ,取取 則存在正整數(shù)則存在正整數(shù)N，由此得由此得令令 因而當(dāng)因而當(dāng) 時(shí)得到時(shí)得到()km nkK 于是，由致密性定理，有界于是，由致密性定理，有界數(shù)列數(shù)列 必有收斂子列必有收斂子列.nnaM 均均有有 na ,lim.kknnkaaA 且且0,0, ,Km n kK 存存在在同同有有(),2nmaa 由由柯柯西西條條件件|(lim).2kknnkaAaA 由由22kknnnnaAaaaA lim.nnaA 則對(duì)一切正整數(shù)則對(duì)一切正整數(shù) 對(duì)任給的對(duì)任給的這就證明了這就證明了 使得使得 當(dāng)當(dāng) 時(shí)有時(shí)有 . . 對(duì)每一對(duì)每一點(diǎn)點(diǎn) ，都可

21、確定正數(shù)，都可確定正數(shù) （它依賴于（它依賴于 與與 ），）， 若其中開(kāi)區(qū)間的個(gè)數(shù)是無(wú)限（有限）的，則稱若其中開(kāi)區(qū)間的個(gè)數(shù)是無(wú)限（有限）的，則稱 為為 的一個(gè)的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋無(wú)限開(kāi)覆蓋（有限開(kāi)覆蓋）（有限開(kāi)覆蓋） 則稱則稱 為為 的一個(gè)的一個(gè)開(kāi)覆蓋開(kāi)覆蓋，或，或 稱稱 覆蓋覆蓋 若若 中任何一點(diǎn)都中任何一點(diǎn)都含在含在 中至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，中至少一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)， （即（即 的的每一個(gè)元素都是形如每一個(gè)元素都是形如 的開(kāi)區(qū)間）的開(kāi)區(qū)間）定義定義3 3 設(shè)設(shè) 為數(shù)軸上的點(diǎn)集，為數(shù)軸上的點(diǎn)集， 為開(kāi)區(qū)間的集合為開(kāi)區(qū)間的集合SHH( ,) SHHSSHSH在具體問(wèn)題中，一個(gè)點(diǎn)集的開(kāi)覆蓋常由該問(wèn)題的某些條件所

22、在具體問(wèn)題中，一個(gè)點(diǎn)集的開(kāi)覆蓋常由該問(wèn)題的某些條件所確定確定例如，若函數(shù)例如，若函數(shù) 在在 內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，f( , )a b則給定則給定 ，0 (;)xxUx x x( , )xa b ()()fxfx 這樣就得到一個(gè)開(kāi)區(qū)間集這樣就得到一個(gè)開(kāi)區(qū)間集 ,( , )xxHxxxa b 它是區(qū)間它是區(qū)間 的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋( , )a b 同樣，其中至少有一個(gè)子同樣，其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用區(qū)間不能用 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)蓋中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)蓋 則其中至少有一個(gè)子區(qū)間則其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用不能用 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋. . 將將 等分為兩個(gè)子區(qū)間，等分為兩個(gè)子區(qū)

23、間， 從而導(dǎo)致區(qū)從而導(dǎo)致區(qū)間套中某區(qū)間可用一個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋的矛盾間套中某區(qū)間可用一個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋的矛盾. . 若閉區(qū)間不能用有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，把若閉區(qū)間不能用有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，把這區(qū)間二等分，這區(qū)間二等分， 則從則從 中可選中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋 假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即不能用假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即不能用 中有限中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋 設(shè)設(shè) 為閉區(qū)間為閉區(qū)間 的一個(gè)（無(wú)限）開(kāi)覆蓋，的一個(gè)（無(wú)限）開(kāi)覆蓋，H , a b , a bHH ,a b , a bH定理定理. . （海涅（海涅博雷爾（博雷爾（HeineBorelHeineBorel）有限覆蓋定理）有限覆

24、蓋定理）分析分析用反證法，用反證法，其中必有一子區(qū)間不能用有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，其中必有一子區(qū)間不能用有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，由此可構(gòu)造區(qū)間套，其公共點(diǎn)屬于某個(gè)開(kāi)區(qū)間，由此可構(gòu)造區(qū)間套，其公共點(diǎn)屬于某個(gè)開(kāi)區(qū)間， 證證 用反證法用反證法記這個(gè)子區(qū)間為記這個(gè)子區(qū)間為 ，11,a b 則則 且且 11,a ba b 111(),2baba 再將再將 等分為兩個(gè)子區(qū)間，等分為兩個(gè)子區(qū)間，11,a b H由區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn)由區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn) 于是，由定理于是，由定理. .推論，當(dāng)推論，當(dāng)n充分大時(shí)有充分大時(shí)有 由于由于 是是 的一個(gè)開(kāi)覆蓋，故存在開(kāi)區(qū)間的一個(gè)開(kāi)覆蓋，故存在開(kāi)區(qū)間 使使 其中每一

25、個(gè)閉區(qū)間都不能用其中每一個(gè)閉區(qū)間都不能用 中有限中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋 即是即是 區(qū)間套，區(qū)間套，重復(fù)上述步驟并不斷地進(jìn)行下去，則得到一個(gè)閉區(qū)間重復(fù)上述步驟并不斷地進(jìn)行下去，則得到一個(gè)閉區(qū)間列列 , ,記這個(gè)子區(qū)間為記這個(gè)子區(qū)間為 ，22,ab 2211,a ba b 2221()2baba ,nnab 11,1,2,1()0(),2nnnnnnnababnbaban ,nna b ,1,2,.nnabn H,nnab( , ),H ( , ) 則則且且 它滿足它滿足 H ,nnab 定理定理. .的結(jié)論只對(duì)閉區(qū)間的結(jié)論只對(duì)閉區(qū)間 成立，而對(duì)開(kāi)區(qū)間成立，而對(duì)開(kāi)區(qū)間則不一定成立則不一

26、定成立 但不能從中選出有限個(gè)但不能從中選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋開(kāi)區(qū)間覆蓋 例如，開(kāi)區(qū)間集合例如，開(kāi)區(qū)間集合 構(gòu)成了開(kāi)區(qū)間構(gòu)成了開(kāi)區(qū)間 的一個(gè)開(kāi)覆蓋，的一個(gè)開(kāi)覆蓋， 這與這與挑選挑選 時(shí)的假設(shè)時(shí)的假設(shè)“不能用不能用 中有限個(gè)區(qū)間來(lái)覆蓋中有限個(gè)區(qū)間來(lái)覆蓋”相矛相矛盾盾 有限覆蓋定理的妙處在于將有限覆蓋定理的妙處在于將“無(wú)限無(wú)限”化為化為“有限有限”，它，它的的好處在以后的應(yīng)用中我們會(huì)看到好處在以后的應(yīng)用中我們會(huì)看到.這表明這表明 只須用只須用 中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間 就能覆蓋，就能覆蓋，,nnabH( ,) ,nnabH從而證得必存在屬于從而證得必存在屬于 的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間能覆蓋的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間能覆

27、蓋 H,a b注注1 1,a b1, 1(1 , 2 ,)1nn (0,1)(0,1)注注2 2三、實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性三、實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性 至此，我們已經(jīng)介紹了有關(guān)實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理，即至此，我們已經(jīng)介紹了有關(guān)實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理，即 即從其中即從其中任何一個(gè)命題都可推出其余的五個(gè)命題任何一個(gè)命題都可推出其余的五個(gè)命題 最后用區(qū)間套定理分最后用區(qū)間套定理分別證明余下的三個(gè)定理別證明余下的三個(gè)定理12345611.1.確界原理確界原理( (定理定理1.1);1.1);2.2.單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理( (定理定理2.9);2.9);3.3.區(qū)間套定理區(qū)間套定理( (定理定理7.1);7.1);4.4.有限覆蓋定理有限覆蓋定理( (定理定理7.3);7.3);5.5.聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理( (定理定理7.2);7.2);6.6.柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則( (定理定理2.10).2.10).在本書中在本書中, ,我們首先證明了確界原理，我們首先證明了確界原理， 由它證明單有界定理，由它證明單有界定理，再用單調(diào)有界定